2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦同步训练 苏教版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学 第 3 章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的 正弦同步训练 苏教版必修 4
一、填空题 1.sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值是________. 4 3 2.若锐角 α 、β 满足 cos α = ,cos(α +β )= ,则 sin β 的值是________. 5 5 3.已知 cos α cos β -sin α sin β =0,那么 sin α cos β +cos α sin β 的值为________. π 4.若函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x,0≤x< ,则 f(x)的最大值为________. 2 5.在三角形 ABC 中,三内角分别是 A、B、C,若 sin C=2cos Asin B,则三角形 ABC 一定 是________三角形. 2 1 tan α 6.已知 sin(α +β )= ,sin(α -β )= ,则 的值是______. 3 5 tan β 3 5 7.在△ABC 中,cos A= ,cos B= ,则 cos C=________. 5 13 sin 68°-cos 60°sin 8° 8.式子 的值是________. cos 68°+sin 60°sin 8° 二、解答题 5 10 ,sin(α -β )=- ,α ,β 均为锐角,求 β . 5 10 π 3π 12 3 10.已知 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin 2α 的值. 2 4 13 5 π 3π ? 3π ? 5 ?π ? 3 11.已知 sin? +α ?= ,cos? -β ?= ,且 0<α < <β < ,求 cos(α +β ). 4 4 ? 4 ? 13 ?4 ? 5 9.已知 sin α = 三、探究与拓展 12 .证明: sin(α + β )sin(α - β ) = sin α - sin β ,并利用该式计算 sin 20°+ sin 80°·sin 40°的值.
2 2 2

1 1.- 2

答案 7 13 33 2. 3.±1 4.2 5.等腰 6. 7. 25 7 65 5 , 5

8. 3

9.解 ∵α 为锐角,sin α =

2 5 ∴cos α = . 5 π π ∵- <α -β < 且 sin(α -β ) 2 2 =- 10 , 10

3 10 ∴cos(α -β )= , 10 ∴sin β =sin[(β -α )+α ] =sin(β -α )cos α +cos(β -α )sin α 10 2 5 3 10 5 2 = × + × = , 10 5 10 5 2 π ∵β 为锐角,∴β = . 4 π 3π 10.解 因为 <β <α < , 2 4 π 3π 所以 0<α -β < ,π <α +β < . 4 2 12 3 又 cos(α -β )= ,sin(α +β )=- , 13 5 所以 sin(α -β )= 1-cos = 5 , 13
2 2

α -β



?12?2 1-? ? ?13?

cos(α +β )=- 1-sin ? 3?2 =- 1-?- ? ? 5? 4 =- . 5

α +β

所以 sin 2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β ) 5 ? 4? 12 ? 3? = ×?- ?+ ×?- ? 13 ? 5? 13 ? 5? 56 =- . 65

π 3π 11.解 ∵0<α < <β < , 4 4 3π 3 π π π ∴ < +α <π ,- < -β <0. 4 4 2 4 3 π 5 ? +α ?= ,cos?π -β ?=3, 又 sin? ? 13 ?4 ? 5 ? 4 ? ? ? 3 π π 12 4 ? ? ? ? ∴cos? +α ?=- ,sin? -β ?=- . 13 5 ? 4 ? ?4 ? ?π ? cos(α +β )=sin? + α +β ? ?2 ? ? ? 3π ? ?π ?? =sin?? +α ?-? -β ?? ?? 4 ? ?4 ?? ?3π ? ?π ? ? 3π ? ?π ? =sin? +α ?cos? -β ?-cos? +α ?sin? -β ? ? 4 ? ?4 ? ? 4 ? ?4 ? 5 3 ? 12? ? 4? = × -?- ?×?- ? 13 5 ? 13? ? 5? 33 =- . 65 12.证明 左边=sin(α +β )sin(α -β ) =(sin α cos β +cos α sin β )(sin α cos β -cos α sin β ) =sin α cos β -cos α sin β =sin α (1-sin β )-(1-sin α )sin β =sin α -sin α sin β -sin β +sin α sin β =sin α -sin β =右边. ∴sin(α +β )sin(α -β )=sin α -sin β . ∴sin 20°+sin 80°·sin 40° =sin 20°+sin(60°+20°)·sin(60°-20°) 3 2 2 2 2 =sin 20°+sin 60°-sin 20°=sin 60°= . 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


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