【优化方案】2016年高中数学 第一章 算法初步 1.3算法案例学案 新人教A版必修3

1.3 算法案例

1.问题导航 (1)什么叫辗转相除法? (2)什么叫更相减损术? (3)辗转相除法与更相减损术的区别是什么? (4)什么是秦九韶算法? (5)学习了十进制,知道十进制是使用0~9十个数字,那么二进制、 五进制、七进制分别使用哪些数字? 2.例题导读 通过对例1的学习,学会用更相减损术求最大公约数; 通过对例2的学习,学会用秦九韶算法求多项式的值; 通过对例3的学习,学会如何将二进制化为十进制; 通过对例4的学习,学会如何将k进制化为十进制; 通过对例5的学习,学会如何将十进制化为二进制; 通过对例6的学习,学会十进制化为k进制的方法:即“除k取余 法”(k∈N,2≤k≤9).

1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法:又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公 约数的古老而有效的算法. (2)更相减损术:我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两 个正整数的最大公约数的算法. 2.秦九韶算法 它是一种用于计算一元n次多项 功能 式的值的方法 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x

改写后的形式

+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x +a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x +a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+… +a1)x+a0 从括号最内层开始,由内向外逐 层计算 v1=anx+an-1, v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, vn=vn-1x+a0, … 这样,求n次多项式f(x)的值就转 化为求n个一次多项式的值.

计算方法

  3.进位制 (1)进位制 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满几进 一”就是几进制,几进制的基数就是几. (2)其他进位制与十进制间的转化 ①其他进位制化成十进制 其他进位制的数化成十进制时,表示成不同位上数字与基数的幂的 乘积之和的形式. ②十进制化成k进制的方法——“除k取余法”.

1.用更相减损术求294和84的最大公约数时,需做减法运算的次数 是(  ) A.2          B.3

C.4 D.5 解析:选C.294-84=210,210-84=126,126-84=42,84-42= 42,共做4次减法运算. 2.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1 当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是(  ) A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5 答案:A 3.完成下列进位制之间的转化. (1)1 034(7)=________(10); (2)119(10)=________(6). 解析:(1)1 034(7)=1×73+0×72+3×7+4×70=368. (2)

∴119(10)=315(6). 答案:(1)368 (2)315 4.当所给的多项式按x的降幂排列“缺项”时,用秦九韶算法改写多 项式时,应注意什么? 解:所缺的项写成系数为零的形式,即写成0·xn的形式.

1.对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示. 2.表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示,如111 001(2)表 示二进制数,34(5)表示5进制数. 3.电子计算机一般都使用二进制. 4.利用除k取余法,可以把任何一个十进制数化为k进制数,并且操 作简单、实用. 5.通过k进制数与十进制数的转化,我们也可以将一个k进制数转化 为另一个不同基数的M进制数. 6.利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率.

       求最大公约数

用辗转相除法求612与468的最大公约数,并用更相减损术检验所得 结果. (链接教材P36例1) [解] 用辗转相除法: 612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4, 即612和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验: 612和468为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,117- 36=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9= 9, 所以612和468的最大公约数为9×2×2=36. 方法归纳

(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数,即利用带余除 法,用数对中较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小 的数构成新的数对,再利用带余除法,直到大数被小数除尽,则这时的 较小数就是原来两个数的最大公约数. (2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是:首先 判断两个正整数是否都是偶数.若是,用2约简,也可以不除以2,直接 求最大公约数,这样不影响最后结果.

1.(1)1 624与899的最大公约数是________. 解析:1 624=899×1+725, 899=725×1+174, 725=174×4+29, 174=29×6, 故1 624与899的最大公约数是29. 答案:29 (2)用辗转相除法求80和36的最大公约数,并用更相减损术检验所得 结果. 解:辗转相除法: 80=36×2+8,36=8×4+4,8=4×2+0. 故80和36的最大公约数是4. 用更相减损术检验: 80-36=44, 44-36=8, 36-8=28, 28-8=20, 20-8=12, 12-8=4, 8-4=4, ∴80和36的最大公约数是4.

       秦九韶算法及其应用

(2015·福州高一检测)用秦九韶算法写出当x=3时f(x)=2x5-4x3+3x2 -5x+1的值. [解] ∵f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1, v0=2, v1=2×3+0=6, v2=6×3-4=14, v3=14×3+3=45, v4=45×3-5=130, v5=130×3+1=391, 所以f(3)=391. 方法归纳 利用秦九韶算法将f(x)改写成如下形式f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x +…+a1)x+a0,其计算步骤为:先计算v1=anx+an-1,再计算v2=v1x +an-2,每次都是把上一次的结果乘以x再与下一个系数相加,其计算 量为乘法n次,加法n次.

2.利用秦九韶算法求多项式f(x)=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x -13当x=6时的值,写出详细步骤. 解:f(x)=(((((3x+12)x+8)x-3.5)x+7.2)x+5)x-13. v0=3, v1=v0×6+12=30,

v2=v1×6+8=188, v3=v2×6-3.5=1 124.5, v4=v3×6+7.2=6 754.2, v5=v4×6+5=40 530.2, v6=v5×6-13=243 168.2. 所以f(6)=243 168.2.

       进位制

(1)把二进制数101 101(2)化为十进制数; (2)把十进制数458转化为四进制数. (链接教材P41例3、例4) [解] (1)101 101(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=32+8 +4+1=45, 所以二进制数101 101(2)转化为十进制数为45. (2)  

458=13 022(4). [互动探究] 将本例(1)中的二进制数101 101(2)转化为三进制数. 解:101 101(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45,

∴45=1 200(3),∴101 101(2)=1 200(3). 方法归纳 (1)将k进制转化为十进制的方法是:先将这个k进制数写成各个数位 上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制的运算规则计算出 结果.(2)十进制转化为k进制,采用除k取余法,也就是除基数,倒取 余.

3.(1)二进制数算式1 010(2)+10(2)的值是(  ) A.1 011(2) B.1 100(2) C.1 101(2) D.1 000(2) 解析:选B.二进制数的加法是逢二进一,所以选B.

(2)下列各组数中最小的数是(  ) A.1 111(2) B.210(6) C.1 000(4) D.101(8) 解析:选A.统一化为十进制数为1 111(2)=15;210(6)=78;1 000(4)= 64;101(8)=65.

易错警示

因忽略零系数项而致误

利用秦九韶算法求多项式f(x)=x6-5x5+6x4+x2+3x+2当x=-2时 的值为(  ) A.320 B.-160 C.-320 D.300 [解析] 将多项式变式为f(x)=(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+3)x+ 2,v0=1,v1=-2+(-5)=-7,v2=-7×(-2)+6=20,v3=20×(-2) +0=-40,v4=-40×(-2)+1=81,v5=81×(-2)+3=-159,v6=- 159×(-2)+2=320. [答案] A [错因与防范] (1)考虑x=-2而认为多项式的值为负值. (2)易忽略多项式中系数为0的项,致使多项式改写不正确. (3)解题时注意多项式变形后有几次乘法和几次加法. (4)要注意所给多项式的项数,特别是系数为0的项.

4.(1)用秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x-8x2+6x4+5x5+3x6

在x=-4时的值时,v3的值为(  ) A.-144 B.-136 C.-57 D.34 解析:选B.根据秦九韶算法多项式可化为 f(x)=(((((3x+5)x+6)x+0)x-8)x+35)x+12. 由内向外计算v0=3; v1=3×(-4)+5=-7; v2=-7×(-4)+6=34; v3=34×(-4)+0=-136. (2)已知多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6,则f(2)= ________. 解析:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6. 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=3, v1=3×2+8=14, v2=14×2-3=25, v3=25×2+5=55, v4=55×2+12=122, v5=122×2-6=238, 所以当x=2时,多项式的值为238. 答案:238

1.下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中正确 的是(  ) A.都是偶数必须约简 B.可以约简,也可以不约简 C.第一步作差为156-72=84;第二步作差为72-84=-12 D.以上都不对 解析:选B.约简是为了使运算更加简捷,故不一定要约简,A错.C 中第二步应为84-72=12,故选B. 2.用辗转相除法计算294与84的最大公约数时,需要做的除法次数 是(  )

A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B.294=84×3+42,84=42×2,至此公约数已求出. 3.二进制数1 101 111(2)化成十进制数是________. 解析:1 101 111(2)=1×20+1×21+1×22+1×23+0×24+1×25+1×26= 111. 答案:111 4.若k进制数123(k)与十进制数38相等,则k=________. 解析:由k进制数123可知k≥4. 下面可用验证法: 若k=4,则38(10)=212(4),不合题意; 若k=5,则38(10)=123(5)成立,所以k=5. 答案:5

[A.基础达标] 1.45和150的最大公约数和最小公倍数分别是(  ) A.5,150           B.15,450 C.450,15 D.15,150 解析:选B.利用辗转相除法求45和150的最大公约数:150=45×3+ 15,45=15×3,45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为 15×(45÷15)×(150÷15)=450,故选B. 2.把67化为二进制数为(  ) A.1 100 001(2) B.1 000 011(2) C.110 000(2) D.1 000 111(2) 解析:选B.

∴把67化为二进制数为1 000 011(2). 3.(2015·三明高一检测)计算机中常用十六进制,采用数字0~9和字 母A~F共16个计算符号与十进制的对应关系如下表:

十 六 0 进 制

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

十 进 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 制 例如用十六进制表示D+E=1B,则(2×F+1)×4=(  ) A.6E B.7C C.5F D.B0 解析:选B.(2×F+1)×4用十进制可以表示为(2×15+1)×4=124,而 124=16×7+12,所以用十六进制表示为7C,故选B. 4.若用秦九韶算法求多项式f(x)=4x5-x2+2当x=3时的值,则需要做 乘法运算和加减法运算的次数分别为(  ) A.4,2 B.5,3 C.5,2 D.6,2 解析:选C.f(x)=4x5-x2+2=((((4x)x)x-1)x)x+2,所以需要做5次 乘法运算和2次加减运算. 5.(2015·青海调研)已知一个k进制的数132与十进制的数30相等,那 么k等于(  ) A.7或4 B.-7 C.4 D.都不对 解析:选C.132(k)=1×k2+3×k+2=k2+3k+2, ∴k2+3k+2=30,即k2+3k-28=0, 解得k=4或k=-7(舍去). 6.三个数72,120,168的最大公约数是________. 解析:由更相减损术,得 168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24, 故120和168的最大公约数是24. 而72-24=48,48-24=24, 故72和24的最大公约数也是24, 所以72,120,168的最大公约数是24. 答案:24 7.(2015·莱芜质检)已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6,用秦九韶算法, 则f(10)=________.

解析:f(x)=x3-2x2-5x+6 =(x2-2x-5)x+6 =((x-2)x-5)x+6. 当x=10时, f(10)=((10-2)×10-5)×10+6 =(8×10-5)×10+6 =75×10+6=756. 答案:756 8.(2015·福州高一检测)三进制数2022(3)化为六进制数为abc(6),则a +b+c=________. 解析:2 022(3)=2×33+0×32+2×31+2×30=62.

三进制数2022(3)化为六进制数为142(6), ∴a+b+c=7. 答案:7

9.已知函数f(x)=x3-3x2-4x+5,试用秦九韶算法求f(2)的值. 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=x3-3x2-4x+5 =(x2-3x-4)x+5 =((x-3)x-4)x+5. 把x=2代入函数式得 f(2)=((2-3)×2-4)×2+5=-7. 10.古时候,当边境有敌人来犯时,守边的官兵通过在烽火台上点火 向境内报告来犯敌人数,如图所示,烽火台上点火表示数字1,未点火 表示数字0,约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000,请你计算一 下,这组烽火台表示有多少敌人入侵?

解:由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2),它表示的十 进制数为11 011(2)=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=27,由于约定二 进制数对应的十进制数的单位是1 000,所以入侵的敌人的数目为27×1 000=27 000(人). [B.能力提升] 1.将十进制数389 化成四进制数的末位是 (  ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析:选A.389=4×97+1,即第一次用389除以4余1,而这就是最后 一位数字. 2.(2015·盐城质检)m是一个正整数,对于两个正整数a,b,如果a -b是m的倍数,则称a,b对模m同余,用符号a≡b(Mod m)表示,则下列 各式中不正确的为(  ) A.12≡7(Mod 5) B.21≡10(Mod 3) C.34≡20(Mod 2) D.47≡7(Mod 40)

解析:选B.逐一验证,对于A,12-7=5是5的倍数;对于B,21- 10=11不是3的倍数;对于C,34-20=14是2的倍数;对于D,47-7= 40是40的倍数,故选B. 3.324,243,135三个数的最大公约数是________. 解析:324=243×1+81, 243=81×3, 所以243与324的最大公约数是81. 又135=81×1+54, 81=54×1+27, 54=27×2+0, 所以135与81的最大公约数是27. 答案:27 4.在计算机的运行过程中,常常要进行二进制数与十进制数的转换与 计算.如十进制数8转换成二进制数是1 000,记作8(10)=1 000(2);二进 制数111转换成十进制数是7,记作111(2)=7(10)等.二进制的四则运算, 如11(2)+101(2)=1 000(2).请计算:11(2)×111(2)=________,10 101(2)+1 111(2)=________. 解析:由题可知,在二进制数中的运算规律是“满二进一”, ∴11(2)×111(2)=10 101(2), 10 101(2)+1 111(2)=100 100(2). 答案:10 101(2) 100 100(2) 5.有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g,现要将它们 分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,问每瓶最多装多 少? 解:先求147与343的最大公约数. 343-147=196, 196-147=49, 147-49=98, 98-49=49. 所以147与343的最大公约数是49. 再求49与133的最大公约数. 133-49=84, 84-49=35, 49-35=14, 35-14=21,

21-14=7, 14-7=7. 所以147,343,133的最大公约数为7. 所以每瓶最多装7 g. 6.(选做题)已知175(r)=125(10),求在这种进制里的数76(r)应记成十 进制的什么数? 解:∵1×r2+7×r1+5×r0=125, ∴r2+7r-120=0, ∴r=8或r=-15(舍去), ∴r=8. 76(r)=76(8)=7×81+6×80=62(10).


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