2017-2018学年高中数学选修2-1:3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系

3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系

考纲定位

重难突破

1.理解直线的方向向量与平面的 重点:求直线的方向向量、平

法向量,并能运用它们证明平 面的法向量.

行问题.

难点:用方向向量、法向量处

2.能用向量语言表述线线、线 理线线、线面、面面间的平行

面、面面的平行关系.

关系.

01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业

[自主梳理] 一、直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的向量. 2.平面的法向量的定义 直线l⊥α,取直线l的 方向向量a,则a叫作平面α的法向量.

二、空间中平行关系的向量表示 线线平行 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1), b=(a2,b2,c2),则l∥m? a∥b 线面平行 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向 量为u=(a2,b2,c2),则l∥α? a⊥u 面面平行 设α,β的法向量分别为u=(a1,b1,c1), v=(a2,b2,c2),则α∥β? u∥v

[双基自测]

1.给定下列命题:①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2?α∥β;

②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β?n1·n2=0;③若n是平面α的法向

量,且向量a?α,则a·n=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一

定不垂直.其中正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:①③④正确,②中由α∥β?n1∥n2. 答案:C

2.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )

A.(1,2,3)

B.(1,3,2)

C.(2,1,3)

D.(3,2,1)

解析:A→B=(2,4,6),且(2,4,6)=2(1,2,3),∴直线l的一个方向向量是(1,2,3).

答案:A

3.平面α外直线l的方向向量为a=(3,-2,4),平面α内两不共线向量m=(1,0,2), n=(1,-1,1),则l与α的关系是________. 解析:由(3,-2,4)=(1,0,2)+2(1,-1,1), 即a=m+2n.∴l与平面α平行. 答案:平行

探究一 利用方向向量和法向量判定线面位置关系 [典例1] (1)设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2 的位置关系: ①a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); ②a=(5,0,2),b=(0,1,0);

(2)设u,v分别是不同的平面α,β的法向量,根据下列条件判断α,β的位置关系: ①u=(-1,1,-2),v=???3,2,-12???; ②u=(3,0,0),v=(-2,0,0); (3)设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断平面α与l的位置 关系; ①u=(2,2,-1),a=(-6,8,4); ②u=(2,-3,0),a=(8,-12,0).

[解析] (1)①∵a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1), ∴a=-2b,∴a∥b,∴l1∥l2. ②∵a=(5,0,2),b=(0,1,0), ∴a·b=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2. (2)①∵u=(-1,1,-2),v=???3,2,-12???, ∴u·v=-3+2+1=0,∴u⊥v,∴α⊥β. ②∵u=(3,0,0),v=(-2,0,0), ∴u=-32v,∴u∥v,∴α∥β.

(3)①∵u=(2,2,-1),a=(-6,8,4), ∴u·a=-12-4+16=0, ∴u⊥a,∴l?α或l∥α. ②∵u=(2,-3,0),a=(8,-12,0), ∴u=14a,∴u∥a,∴l⊥α.

利用方向向量和法向量判定线面位置关系 (1)能熟练的判断两向量的共线与垂直. (2)搞清直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内 在联系. (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性.

1.根据下列各条件,判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置 关系. (1)直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2); (2)平面α,β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0); (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a=(1,-4,-3),u=(2,0,3).

解析:(1)∵a=(1,-3,-1),b=(8,2,2) ∴a·b=8-6-2=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2. (2)∵u=(1,3,0),v=(-3,-9,0), ∴v=-3u,∴u∥v,∴α∥β. (3)∵a=(1,-4,-3),u=(2,0,3), ∴a与u既不共线,也不垂直, ∴l与平面α斜交.

探究二 求平面的法向量 [典例2] 已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面α的 一个法向量. [解析] ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), ∴A→B=(1,-2,-4),A→C=(2,-4,-3). 设平面α的法向量是n=(x,y,z). 依题意,得n·A→B=0且n·A→C=0, 即?????x2-x-2y4-y-4z3=z=0,0. 令y=1,则x=2,z=0. ∴平面α的一个法向量是n=(2,1,0).

利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量,设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)选向量,在平面内选取两不共线向量. (3)列方程组,由n·A→B=0,n·A→C=0列方程组. (4)求法向量,赋值求法向量.

2.四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2, AD=1,求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 解析:∵AD,AB,AS是三条两两垂直的线段, ∴以A为原点,以A→D,A→B,A→S的方向分别为x轴,y轴, z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0), D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2), ∵AD⊥平面SAB, ∴A→D=(1,0,0)是平面SAB的一个法向量.

设平面SCD的法向量为n=(1,y,z), 则n·D→C=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0, ∴y=-12. 又n·D→S=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0, ∴z=12. ∴n=???1,-12,12???即为平面SCD的一个法向量.

探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中 点,求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F.
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0,0), A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1), B1(2,2,2), 所以F→C1=(0,2,1),D→A=(2,0,0),A→E=(0,2,1).

(1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量, 则n1⊥D→A,n1⊥A→E, 即?????nn11··DA→→EA==22yx11+=z01,=0,
得?????xz11==-0,2y1, 令z1=2,则y1=-1, 所以n1=(0,-1,2). 因为F→C1·n1=-2+2=0,所以F→C1⊥n1. 又因为FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(2)∵C→1B1=(2,0,0), 设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量. 由n2⊥F→C1,n2⊥C→1B1,得

?????nn22··FC→→C1B1=1=22yx2+2=z02=,0,

得?????xz22==-0,2y2.

令z2=2得y2=-1, 所以n2=(0,-1,2).因为n1=n2, 所以平面ADE∥平面B1C1F.

利用向量法证明空间平行问题的两条途径 一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的 共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向 量进行平行关系的证明.

3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C, B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
证明:如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x 轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, 则可求得M???0,1,12???, N???12,1,1???,D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0),

于是M→N=???12,0,12???,D→A1=(1,0,1),D→B=(1,1,0), 设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z), 则n·D→A1=0,且n·D→B=0,得?????xx++zy==00,. 取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1). 又M→N·n=???12,0,12???·(1,-1,-1)=0, ∴M→N⊥n.又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

向量法判定线面位置关系 [典例] 已知u是平面α的一个法向量,a是直线l的一个方向向量,若u=(4,1,5), a=(2,-8,0),l与α的位置关系是________. [解析] ∵u·a=4×2+1×(-8)+5×0=8-8=0, ∴u⊥a,∴l∥α或l?α. [答案] l∥α或l?α

[错因与防范] 1.本例易忽略l?α的情况,从而得出错误的答案l∥α. 2.直线l的方向向量l与平面α的法向量垂直:若直线与平面有公共点,则l?α; 若直线与平面无公共点,则l∥α.

[随堂训练]

1.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,a·n=12,n·b=14,则n=

() A.(-3,5,0)

B.(0,-1,3)

C.???-12,0,52 ??? 解析:设n=(0,y,z),

D.(0,1,5)

由题意得?????34yy++56zz==1124,, 解得?????zy==3-. 1, ∴n=(0,-1,3). 答案:B

2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是( )

A.(1,1,-1)

B.(1,-1,1)

C.(-1,1,1)

D.(-1,-1,-1)

解析:A→B=(-1,1,0),A→C=(-1,0,1).

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有

??-x+y=0, ???-x+z=0,

取x=-1,则y=-1,z=-1.

故一个法向量是(-1,-1,-1).

答案:D

3.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点

P中,在平面α内的是( )

A.(1,-1,1)

B.???1,3,32 ???

C.???1,-3,32 ???

D.???-1,3,-32 ???

解析:对于选项A, P→A =(1,0,1),则 P→A ·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对

于选项B,P→A=???1,-4,12???,则P→A·n=???1,-4,12???·(3,1,2)=0,验证可知C,D均 不满足P→A·n=0.

答案:B

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的 中点,建立空间坐标系,求平面EFG的一个法向量. 解析:建系如图,则E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),
G→E=(-2,1,1),G→F=(-1,-1,2).
设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,

??n·G→E=0, 则???n·G→F=0.

∴?????--2xx-+y+y+2zz==00,.

∴?????xy==zz., ∴n=(z,z,z),令z=1,此时n=(1,1,1), 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1).


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