2010-2011学年第一学期温州十校联合体高一期中考试数学试卷

20102010-2011 学年第一学期温州十校联合体高一期中考试数学试卷
选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一. 合题目要求的 . 1.已知全集 U = R , 则正确表示集合 M = {?1, 0,1} 和 N = {x | x 2 ? 1 = 0} 关系的韦恩 (Venn) ( 图是 )

2.函数 f ( x ) = 1 ? x + lg( x + 1) 的定义域是( A. (? 1, 1] B. (-1,1) C.[-1,1]

) D. [1, ∞ ) + )
y y

3.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是(
y y

A1
x

B
x

C ) o
x o

D
x

4 、与函数 y = x 有相同图象的一个函数是( o o A. y =

x2

B. y = ( x ) 2

C. y =

x2 x

D. y = log a a x ( a > 0, a ≠ 1)

5.右图是函数 f ( x ) = a x 、 g ( x ) = x b 、 h( x ) = log c x (a、c 是不等于 1 的正实数) ,则 a、b、c 的大小关系是( ) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c 6.今有一组实验数据如下: D.c>b>a o

y

x

t

2 1.5

3 4.04

4 7.5

5 12

6 18.01

v

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律,其中最接近的一个是( ) A. v = log 2 t 7.函数 f ( x ) = ? A. ? 1
1

B. v = log 1 t
2

C. v =

t 2 ?1 2


D. v = 2t ? 2

? x ? 2 ( x < 2) ,则 f (100) = ? f ( x ? 1) ( x ≥ 2)
B.0 C.1

( D.2

8.给定函数① y = x 2 ,② y = log 1 ( x + 1) ,③ y =| x 2 ? 2 x | ,④ y = x +
2

1 ,其中在区间(0,1)上单调 x

递减的函数序号是 ( A.①③

) B .②③

C.②④

D.①④

+ 9.设 f(x)是 R 上的偶函数, 且在 [0, ∞ ) 上递增, 若 f(

1 )=0, 2

f (log 1 x) < 0 ,那么 x 的取值范围是
4

(

)

1 <x<1 D.x>2 2 1 2 x 10.已知函数 f ( x) = x + ax , g ( x) = 2 ? a ,且 < a < 1 ,则关于 x 的方程 lg f ( x ) = lg g ( x) 实数解 2
A.x>2 或 B. C. 的个数是( ) A.0 B.1 C.2 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11.已知幂函数 y = x 图象过点(2,8) ,则其解析式是
n

1 <x<1 2

1 <x<2 2

D.3

。 。 。 。 。

12.函数 y = 1 + log 2 x, ( x ≥ 2) 的值域是

13. 偶函数 y = f ( x) 在[-2,-1]上有最大值-2,则该函数在[1,2]上的最大值= 14.函数 y = log a ( 2 x ? 3) + 1 的图像恒过定点 P , 则点 P 的坐标是 15.若 f (x ) 是一次函数,在 R 上递减,且满足 f [ f ( x)] = 16 x + 9 ,则 f (x ) =
?

16.已知函数 f ( n) = log n +1 ( n + 2)( n ∈ N ) ,定义使 f (1) ? f ( 2) ? ? ? f ( k ) 为整数的数 k ( k ∈ N ? ) 叫做企盼 数,则在区间[1,50]内这样的企盼数共有 17.已知函数 f ( x ) = ? 个。 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围 .

? ?

( x ≤ 1) 2 ? x + 2(1 ? a ) x + 2 ( x > 1) ? ( 4 ? 3a )
x

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 8 分)求值: 8
? 1 3

+ log 3

1 + log 6 5 ? (log 5 2 + log 5 3) + 10 lg 3 27

19、 (本小题满分 8 分)已知集合 A = {x | 3 ≤ 3 x ≤ 27} , B = {x | log 2 x > 1} (1)分别 求 A I B , ( CR B ) U A ; (2)已知集合 C = x 1 < x < a ,若 C ? A ,求实数 a 的取值集合.



{

}

a ? ?0.1 + 15 ln a ? x , ( x ≤ 6) ? 20、 (本小题满分 10 分)有时可用函数 f ( x) = ? ? x ? 4.4 , ( x > 6) ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度, 其中 x 表示某学科知识的学习次数 x ∈ N ) 正实数 a 与学科知识有关。 ( ,
*

(1)当 x≥7 时,判断 f(x)的单调性,并加以证明。 (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127] , (127,133] 。当学习某 学科知识 5 次时,掌握程度是 70%,请确定相应的学科。 (参考数据: e
0.04

=1.04, e

0.4

=1.49)

21、 (本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的单调函数 f ( x ) 是奇函数,当 x > 0 时, f ( x ) = (1)求 f ( x ) 的解析式;

x ? 2x 3

(2)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t ? 2t ) + f (2t ? k ) < 0 恒成立,求实数 k 的取值范围
2 2

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = a ?

1 2 , g ( x) = f ( x) ? a 2 +1
x

(1) 若函数 f (x ) 为奇函数,求 a 的值。 (2)若 g ( 2 x ) ? a ? g ( x ) = 0 ,有唯一实数解,求 a 的取值范围。 (3)若 a = 2 ,则是否存在实数 m, n (m<n<0),使得函数 y = f (x ) 的定义域和值域都为 [ m, n] 。若存在, 求出 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

2010 学年第一学期温州十校联合体高一期中考试 数学答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 答 B A C D B C A C B D 案 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11、 y = x 3
…………… ………装……………………订……………………线………………………

12、 [2,+∞) 15、 ? 4 x ? 3

13、 16、 4

?2

14、

(2,1)

17、 [? 1,1) 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18. (本题 8 分) 解:原式 = ( 2 )
3 ? 1 3

+ log 3 3 ?3 + log 6 5 ? log 5 6 + 3 …………………4 分

=

1 ? 3 +1+ 3 2

……………………………3 分

=

3 2

…………… …………1 分

19.(本题 8 分) 解: (1) A = {x | 3 ≤ 3 x ≤ 27} = {x | 1 ≤ x ≤ 3} …………………1 分

B = {x | log 2 x > 1} = {x | x > 2} …………………………1 分
A I B = {x | 2 < x ≤ 3}
…………………………1 分

( CR B ) U A = {x | x ≤ 2} U {x | 1 ≤ x ≤ 3} = {x | x ≤ 3} ………2 分
(2)当 a ≤ 1时,C = φ, 此时C ? A ……………………………1 分 当 a > 1时,C ? A, 则1 < a ≤ 3 ……………………………1 分

3] 综上所述, a 的取值范围是 (? ∞, ……………………………1 分

20. (本题 10 分)1)∴当x ≥ 7时, f (x ) 单调递减。…………………1 分 证明 : (1)设 7 ≤ x1 < x 2 ,

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) = (1 ?

0 .4 0 .4 ) ? (1 ? ) x2 ? 4 x1 ? 4 …………………1 分[来源:Z#xx#k.Com]

=

0.4( x 2 ? x1 ) 0.4 0.4 ? = ……………… …2 分 x1 ? 4 x 2 ? 4 ( x1 ? 4)( x 2 ? 4)

Q 7 ≤ x1 < x 2 ,∴ ( x1 ? 4)( x 2 ? 4) > 0, x 2 ? x1 > 0

∴ f ( x 2 ) ? f ( x1 ) > 0 ∴当x ≥ 7时, f (x) 单调递减。…………………………1 分
(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得

a =0.7………………2 分 a?5

a = e 0.04 a?5

解得 a =

e 0.04 e 0.04 ? 1

× 5 = 26 × 5 = 130 ∈ (127,133] …….2 分

由此可知,该学科是丙学科……………..1 分

21、 (本题 12 分) 解: (1)Q 定义域为 R 的函数 f ( x ) 是奇函数 当 x < 0 时, ? x > 0 又Q 函数 f ( x ) 是奇函数

∴ f ( 0) = 0

(1 分) (1 分) (1 分)

∴ f ( ?x) =

?x ? 2? x 3

∴ f ( ?x) = ? f ( x)

∴ f ( x) =

x + 2? x 3

-------(1 分)

?x x ? 3 ?2 ? 综上所述 f ( x ) = ? 0 ?x ? + 2? x ?3
(2)Q f (1) = ?

( x > 0) ( x = 0) ( x < 0)
-------(1 分)

5 < f ( 0 ) = 0 且 f ( x ) 在 R 上单调 3
-------(2 分)

∴ f ( x ) 在 R 上单调递减
2 2

由 f (t ? 2t ) + f (2t ? k ) < 0 得 f (t 2 ? 2t ) < ? f (2t 2 ? k )

Q f ( x) 是奇函数
,又Q f ( x ) 是减函数
2

∴ f (t 2 ? 2t ) < f (k ? 2t 2 ) -------(1 分)
∴ t 2 ? 2t > k ? 2t 2

即 3t ? 2t ? k > 0 对任意 t ∈ R 恒成立----------------(2 分)

∴? = 4 + 12k < 0 得 k < ? 即为所求 ----------------(2 分)
22、解: (1)Q f ( x ) 为奇函数

1 3

∴ f (?x) = ? f ( x)
∴a = 1
----------------(2 分)

∴ f ( 0) = 0
(2)Q g ( x ) =

1 2x + 1 =? ----------------(1 分) 2 f ( x) ? a 22 x + 1 2x + 1 + a× = 0 ------(1 分) 2 2
2

∴ g ( 2 x ) ? ag ( x ) = ?
x

令 t = 2 > 0 ,则问题转化为方程 t ? at + 1 ? a = 0 在 ( 0, +∞ ) 上有唯一解。-----—————— ——————————————-(1 分) 令 h ( t ) = t ? at + 1 ? a ,则 h ( 0 ) ≤ 0
2

∴ a ≥ 1 ————————————————————-(2 分)
(3)法一:不存在实数 m 、 n 满 足题意。———————-(1 分)

f ( x) = 2 ?

2 2 +1
x

Q y = 2 x 在 R 上是增函数

∴ f ( x ) 在 R 上是增函数------------------------(2 分)

假设存在实数 m 、 n ( m < n < 0 ) 满足题意,有

2 ? ?2 ? 2m + 1 = mLLL (1) ? ? ? 2 ? 2 = n LLL ( 2 ) ? ? 2n + 1
Qm < 0

—————-(2 分)

∴ 0 < 2m < 1

∴0 < 2 ?

2 <1 2 +1
m

∴ (1) 式左边 > 0 ,右边 < 0 ,故 (1) 式无解。
同理 ( 2 ) 式无解。[来源:学科网 ZXXK] 故不存在实数 m 、 n 满足题意。—————-(2 分) 法二:不存在实数 m 、 n 满足题意。———————-(1 分) 易知 f ( x ) = 2 ?

2 2 +1
x

Q y = 2 x 在 R 上是增函数

∴ f ( x ) 在 R 上是增函数————-(2 分)
假设存在实数 m 、 n ( m < n < 0 ) 满足题意,有 ?

? f (m) = m ? [来源:学*科*网 Z*X*X*K] ? f (n) = n ?

即 m 、 n 是方程 f ( x ) = x 的两个不等负根。———-(1 分)[来源:学|科|网] 由2?

2 =x 2 +1
x

得 2 +1 = ?
x

2 x?2

令 h ( x ) = 2 + 1, g ( x ) = ?
x

2 ———-(1 分) x?2

Q 函数 g ( x ) 在 ( ?∞, 0] 上为单调递增函数 ∴ 当 x < 0 时, g ( x ) < g ( 0 ) = 1
而 h ( x ) > 1 ,∴ h ( x ) > g ( x )

∴ 方程 2 x + 1 = ?

2 在 ( ?∞, 0 ) 上无解 x?2 故不存在实数 m 、 n 满足题意。———-(2 分)

命卷人:陈健 联系电话:陈健

蔡秀萍 审核人:陈昆夔 蔡秀萍


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