【创新设计】(江苏专用)高考数学二轮复习 专题整合 1-1 函数、基本初等函数的图象与性质 理(

【创新设计】 (江苏专用)2015 高考数学二轮复习 专题整合 1-1 函 数、基本初等函数的图象与性质 理(含最新原创题,含解析)

一、填空题 1. 已知 f(x)=ln(1+x)的定义域为集合 M, g(x)=2 +1 的值域为集合 N, 则 M∩N=________. 解析 +∞). 答案 (1,+∞) 2.(2014·南京、盐城模拟)函数 f(x)=ln x+ 1-x的定义域为________. 解析 要使函数 f(x)=ln x+ 1-x有意义,则?
? ?x>0, ?1-x≥0, ?
x

由对数与指数函数的知识,得 M=(-1,+∞),N=(1,+∞),故 M∩N=(1,

解得 0<x≤1,即函数

定义域是(0,1]. 答案 (0,1] 3.(2014·南通、扬州、泰州、宿迁调研)若 loga 解析 由对数函数的真数大于 0 得 12

a-1

<1,则 a 的取值范围是________.

12 12 >0,解得 a>1,所以 loga <1 等价于 0< a-1 a-1

12 <a,解得 a>4. a-1 答案 (4,+∞) 4.(2013·镇江调研)已知函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则 a 的取值范围为 ________. 解析 根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解. 因为 y=log2(ax-1)在(1,2)
?a>0, ? ?a-1≥0 ?

上单调递增,所以 u=ax-1 在(1,2)单调递增,且恒大于 0,即? 答案 [1,+∞)

? a≥1.

5.(2014·镇江模拟)若 a=log3π ,b=log76,c=log20.8,则 a,b,c 由小到大的顺序为 ________. 解析 因为 a=log3π >1,0<b=log76<1,c=log20.8<0,故 c<b<a.

答案 c<b<a 1-x 6.(2014·宿迁模拟)已知函数 f(x)=loga (0<a<1)为奇函数,当 x∈(-1,a]时,函 b+x 数 f(x)的值域是(-∞,1],则实数 a+b 的值为________.

解析

由函数 f(x)=loga

1-x 1-x (0<a<1)为奇函数, 得 b=1.令 =t, x∈(-1, a], b+x 1+x

所以 t∈?

?1-a,+∞?.又 0<a<1,所以 y=log t,t∈?1-a,+∞?时单调递减,则值 ? a ?1+a ? ?1+a ? ? ?

1-a? 1- a 1-a ? 域?-∞,loga 1], 所以 loga =1, 即 =a, 解得 a= 2-1(舍负), ?=(-∞, 1+a? 1+ a 1+a ? 所以 a+b= 2. 答案 2
3

7.(2014·济南模拟)已知函数 f(x)=x +x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒 成立,则 x 的取值范围是________. 解析

f′(x)=3x2+1>0,∴f(x)在 R 上为增函数.

又 f(x)为奇函数,由 f(mx-2)+f(x)<0 知,f(mx-2)<f(-x).∴mx-2<-x,即 mx+x -2<0, 令 g(m)=mx+x-2, 由 m∈[-2,2]知 g(m)<0 恒成立, 可得? 2 -2<x< . 3 2? ? 答案 ?-2, ? 3
?g ? ?g ?



=-x-2<0, =3x-2<0,



?

?

8.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对? x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当 x1,

f x1 -f x2 x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有 <0,给出下列命题: x1-x2
①f(2)=0; ②直线 x=-4 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-4,4]上有四个零点; ④f(2 014)=0. 其中所有正确命题的序号为________. 解析 令 x=-2,得 f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得 f(-2)=0,因为函数 f(x)为

偶函数,所以 f(2)=0,①正确;因为 f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x),f(-4-x)=

f(-4-x+4)=f(-x)=f(x),所以 f(-4+x)=f(-4-x),即 x=-4 是函数 f(x)的
一条对称轴,②正确;当 x1,x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有

f x1 -f x2 <0,说明 x1-x2

函数 f(x)在[0,2]上是单调递减函数,又 f(2)=0,因此函数 f(x)在[0,2]上只有一个零 点,由偶函数知函数 f(x)在[-2,0]上也只有一个零点,由 f(x+4)=f(x),知函数的周 期为 4,所以函数 f(x)在(2,4]与[-4,-2)上也单调,因此,函数在[-4,4]上只有 2 个零点,③错;对于④,因为函数的周期为 4,即有 f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)

=0,④正确. 答案 ①②④ 二、解答题 9.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)的图象上任意一点 P 关于原点对称的 点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. 解 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点, 因为 Q(-x,-y)在 f(x)的图象上,所以-y=loga(-x+1), 即 y=-loga(1-x)(x<1). (2)f(x)+g(x)≥m, 1+x 即 loga ≥m. 1-x 1+x 设 F(x)=loga ,x∈[0,1). 1-x 由题意知,只要 F(x)min≥m 即可. 因为 F(x)在[0,1)上是增函数,所以 F(x)min=F(0)=0. 故 m 的取值范围是(-∞,0]. 10.已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a>0),F(x)=? 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0, ∴b=a+1, ∴f(x)=ax +(a+1)x+1. ∵f(x)≥0 恒成立, ∴?
?a>0, ? ? ?Δ = ?a>0, ? ? ?
2 2

?f ?

x ,x>0, x ,x<0.

?-f ?

若 f(-1)=0,

a+

2

-4a≤0,

即?

a-

2

≤0.
2

∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x +2x+1,
? ?x +2x+1 ∴F(x)=? 2 ?-x -2x- ?
2

x> x<



(2)由(1)知,g(x)=x +2x+1-kx=x +(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, ∴

2

2

k-2
2

≤-2 或

k-2
2

≥2,

解得 k≤-2 或 k≥6. 所以 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞). 11.(2013·苏北四市调研)已知函数 f(x)=e -e (x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t, 使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立?若存在, 求出 t; 若不存在,请说明理由.
2 2

x

-x

?1?x 且 y=ex 是增函数, ?1? x 解 (1)∵f(x)=e -? ? , y=-? ?x 是增函数, 所以 f(x)是增函数. 由 ?e? ?e?
于 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e -e =-f(x),所以 f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数,∴f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x∈R 恒成立 ?f(x -t )≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x -t ≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t +t≤x +x 对一切 x∈R 恒成立
2 2 2 2 2 2 2 2 -x

x

? 1?2 ? 1?2 ??t+ ? ≤?x+ ?min对一切 x∈R 恒成立 ? 2? ? 2?
1 ? 1?2 ??t+ ? ≤0?t=- . 2 2 ? ? 1 2 2 即存在实数 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立. 2


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