2016届高三数学一轮基础巩固 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”(含解析)北师大版

【走向高考】2016 届高三数学一轮基础巩固 第 1 章 第 3 节 全称量 词与存在量词、逻辑联结词“且” “或” “非” 北师大版

一、选择题 1.(文)(2014· 湖南高考改编)设命题 p:任意 x∈R,x2+1>0,则非 p 为( ) A.存在 x0∈R,x2 0+1>0 B.存在 x0∈R,x2 0+1≤0 C.任意 x0∈R,x2 0+1<0 D.任意 x∈R,x2+1≤0 [答案] B [解析] 全称命题的否定,要对结论进行否定,同时要把全称量词换成存在量词,故命题 p 的 否定为“存在 x0∈R,x2 0+1≤0”,所以选 B. (理)(2014· 湖南高考改编)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题① p 且 q;②p 或 q;③p 且(非 q);④(非 p)或 q 中,真命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ [答案] C [解析] 由不等式的性质可知,命题 p 是真命题,命题 q 为假命题,故①p 且 q 为假命题,②p 或 q 为真命题,③非 q 为真命题,则 p 且(非 q)为真命题,④非 p 为假命题,则(非 p)或 q 为假 命题,所以选 C. 2.(文)若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A.p 且 q 是真命题 B.p 或 q 是假命题 C.非 p 是真命题 D.非 q 是真命题 [答案] D [解析] 根据命题真值表知,q 是假命题,非 q 是真命题. (理)命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( ) A.p 或 q B.p 且 q C.q D.非 p [答案] B [解析] 命题 p 为假,命题 q 为真,故 p 且 q 为假. 3.如果命题“非(p 或 q)”是假命题,则下列命题中正确的是( ) A.p、q 均为真命题 B.p、q 中至少有一个为真命题 C.p、q 均为假命题 D.p、q 中至多有一个为真命题 [答案] B [解析] “非(p 或 q)”是假命题,则命题“p 或 q”为真,所以 p、q 中至少有一个为真命题. 4.(2013· 新课标Ⅰ)已知命题 p:任意 x∈R,2x<3x;命题 q:存在 x∈R,x3=1-x2,则下列命 题中为真命题的是( ) A.p 且 q B.非 p 且 q C.p 且非 q D.非 p 且非 q [答案] B [解析] 本题考查由“且”构成的复合命题的真假. 由函数 y=2x 与 y=3x 的图像可判断, 当 x<0
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时,2x>3x,p 为假,非 p 为真;由函数 y=x3 与 y=1-x2 的图像可判断 q 为真命题,所以非 p 且 q 为真命题,选 B. 5.(2014· 天津高考)已知命题 p:任意 x>0,总有(x+1)ex>1,则非 p 为( ) A.存在 x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.存在 x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.任意 x>0,总有(x+1)ex≤1 D.任意 x≤0,总有(x+1)ex≤1 [答案] B [解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题,“>”的否定为 “≤”知选 B. 6.下列各组命题中,满足“p 或 q 为真”,且“非 p 为真”的是( ) A.p:0=?;q:0∈? B.p:在△ABC 中,若 cos2A=cos2B,则 A=B; q:y=sinx 在第一象限是增函数 C.p:a+b≥2 ab(a,b∈R); q:不等式|x|>x 的解集为(-∞,0) x2 y2 1 D.p:圆(x-1)2+(y-2)2=1 的面积被直线 x=1 平分;q:椭圆 4 + 3 =1 的离心率为 e=2 [答案] C [解析] A 中,p、q 均为假,故“p 或 q 为假”,排除 A; B 中,cos2A=cos2B?1-2sin2A=1-2sin2B ?sin2A-sin2B=0?(sinA+sinB)(sinA-sinB)=0 ?A-B=0,故 p 为真,从而“非 p”为假,排除 B; C 中,p 为假,从而“非 p”为真,q 为真,从而“p 或 q”为真;D 中,p 为真,故非 p 为假. 二、填空题 7.(文)“若 a?M 或 a?P,则 a?M∩P”的逆否命题是__________________________. [答案] 若 a∈M∩P,则 a∈M 且 a∈P [解析] 命题“若 p 则 q”的逆否命题是“若非 q 则非 p”,本题中“a?M 或 a?P”的否定是“a∈M 且 a∈P”. (理)命题“如果 x-2+(y+1)2=0,则 x=2 且 y=-1”的逆否命题为________. [答案] 如果 x≠2 或 y≠-1,则 x-2+(y+1)2≠0 8.命题 p:{2}∈{1,2,3},q:{2}?{1,2,3},则对复合命题的下述判断:①p 或 q 为真;②p 或 q 为假;③p 且 q 为真;④p 且 q 为假;⑤非 p 为真;⑥非 q 为假.其中判断正确的序号是 ________.(填上你认为正确的所有序号) [答案] ①④⑤⑥ [解析] p:{2}∈{1,2,3},q:{2}?{1,2,3},p 假 q 真,故①④⑤⑥正确. 9.(文)命题“存在 x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为________. [答案] [-2 2,2 2] [解析] 由题意知命题“任意 x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,所以只需 Δ=9a2-4×2×9≤0, 即-2 2≤a≤2 2. (理)已知命题 p:任意 x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题非 p 是真命题,那么实数 a 的取值范围 是________. 1 [答案] a≤3

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[解析] 因为命题非 p 是真命题,所以命题 p 是假命题,而当命题 p 是真命题时,就是不等式
?a>0 ? 1 ax2+2x+3>0 对一切 x∈R 恒成立,这时应有? ,解得 a>3,因此当命题 p 是假 ? Δ = 4 - 12a<0 ?

1 命题,即命题非 p 是真命题时实数 a 的取值范围是 a≤3. 三、解答题 10.已知命题 p:存在实数 m,使方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根;命题 q:存在实数 m,使方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求 m 的取值范围. [分析] 利用已知条件构造关于 m 的不等式组,进而求得 m 的取值范围,注意命题真假的要 求.
?Δ=m2-4>0 ? [解析] 存在实数 m, 使方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根, 则? , 解得 m>2, ? ?m>0

即 m>2 时,p 真. 存在实数 m,使方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根, 则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 解得 1<m<3,即 1<m<3 时,q 真. 因“p 或 q”为真,所以命题 p、q 至少有一个为真, 又“p 且 q”为假,所以命题 p、q 至少有一个为假, 因此,命题 p、q 应为一真一假,即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真. ∴?
?m>2 ? ?m≤2 ? 或? ,解得 m≥3 或 1<m≤2. ? ?1<m<3 ? ?m≤1或m≥3

所以 m 的取值范围是 m≥3 或 1<m≤2.

一、选择题 1.下列命题: ①任意 x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则a>b”的逆否命题是真命题; ④若命题 p:任意 x∈R,x2+1≥1,命题 q:存在 x∈R,x2-x-1≤0,则命题 p 且(非 q)是真命 题. 其中真命题为( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ [答案] A [解析] 由 x2+2x>4x-3 推得 x2-2x+3=(x-1)2+2>0 恒成立,故①正确;根据基本不等式 1 1 c c 可知要使不等式 log2x+logx2≥2 成立需要 x>1, 故②正确; 由 a>b>0 得 0<a<b, 又 c<0, 可得a>b, 则可知其逆否命题为真命题,故③正确;④命题 p 是真命题,命题 q 是真命题,所以 p 且(非 q)为假命题.所以选 A.
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a 2.(2014· 乐平模拟)若函数 f(x)=x2+x(a∈R),则下列结论正确的是(

)

A.任意 a∈R, f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.任意 a∈R, f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.存在 a∈R, f(x)是偶函数 D.存在 a∈R, f(x)是奇函数 [答案] C [解析] 对于 A,只有当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,否则不成立; 对于 B,当 a≤0 时不成立; 对于 D,不存在 a(a∈R),使 f(x)是奇函数,因此只有 C 是正确的,即当 a=0 时,有 f(x)=x2 是一个偶函数,因此存在这样的 a,使 f(x)是偶函数. 二、填空题 3.给定下列几个命题: π 1 ①“x=6”是“sinx=2”的充分不必要条件; ②若“p 或 q”为真,则“p 且 q”为真; ③“等底等高的三角形是全等三角形”的逆命题. 其中为真命题的是________.(填上所有正确命题的序列号) [答案] ①③ π 1 1 π 5π π [解析] ①中, 若 x=6, 则 sinx=2, 但 sinx=2时, x=6+2kπ 或 6 +2kπ(k∈Z). 故“x=6”是“sinx 1 =2”的充分不必要条件,故①为真命题;②中,令 p 为假命题,q 为真命题,有“p 或 q”为真 命题,而“p 且 q”为假命题,故②为假命题;③为真命题. 4.命题:“任意 x∈R,存在 m∈Z,m2-m<x2+x+1”是________命题.(填“真”或“假”) [答案] 真 1 3 3 3 1 3 [解析] 由于任意 x∈R,x2+x+1=(x+2)2+4≥4,因此只需 m2-m<4,即-2<m<2,所以当 m=0 或 m=1 时,任意 x∈R,m2-m<x2+x+1 成立,因此命题是真命题. 三、解答题 5.判断下列命题的真假. (1)对任意的 x,y 都有 x2+y2≥2xy; (2)所有四边形的两条对角线都互相平分; (3)存在实数 a≠2 且 b≠-1,使 a2+b2-4a+2b≤-5; 4 (4)存在实数 x 使函数 f(x)=x+x (x>0)取得最小值 4. [解析] (1)是真命题,因为对任意实数 x,y,都有 x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,∴x2+y2≥2xy. (2)是假命题,只有平行四边形才满足两条对角线互相平分,如梯形就不满足这个条件. (3)是假命题,因为 a2+b2-4a+2b+5=(a-2)2+(b+1)2≥0,当且仅当 a=2,b=-1 时等号 成立,所以不存在实数 a,b,使(a-2)2+(b+1)2<0,即不存在实数 a≠2 且 b≠-1 使 a2+b2 -4a+2b≤-5. 4 (4)是真命题,因为存在实数 x=2>0,使函数 f(x)=x+ x (x>0)取得最小值 4.

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3 6.(文)设命题 p:函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增;q:关于 x 的方程 x2+2x+loga2= 0 的解集只有一个子集.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围. 3 [解析] 当命题 p 是真命题时,应有 a>1;当命题 q 是真命题时,关于 x 的方程 x2+2x+loga2 =0 无解, 3 3 所以 Δ=4-4loga2<0,解得 1<a<2. 由于 p 或 q 为真,则 p 和 q 中至少有一个为真;又由于 p 且 q 为假,则 p 和 q 中至少有一个 3 为假,所以 p 和 q 中一真一假,当 p 假 q 真时,不存在符合条件的实数 a;p 真 q 假时,a≥2. 3 综上所述,实数 a 的取值范围是 a≥2. (理)已知 c>0,设 p:函数 y=cx 在 R 上递减;q:不等式 x+|x-2c|>1 的解集为 R,如果“p 或 q”为真,且“(非 p)或(非 q)”也为真,求 c 的范围. [分析]

[解析] 由 p 知 0<c<1;
?2x-2c,x≥2c, ? 设 f(x)=x+|x-2c|=? ? x<2c. ?2c,

1 所以 f(x)的最小值为 2c,即 2c>1?c>2, 由于 p 或 q 为真,所以 p 和 q 中至少有一个为真,又“(非 p)或(非 q)”也为真,所以非 p 和非 q 中至少有一个为真,即 p 和 q 中至少有一个为假,故 p 和 q 中一真一假,所以 p 真 q 假或 p 假 q 真;

? 1? ? 1? 若 p 真 q 假,则 c 的范围是(0,1)∩ 0,2 = 0,2 ; ? ? ? ? ?1 ? 若 p 假 q 真,则 c 的范围是[1,+∞)∩ 2,+∞ =[1,+∞); ? ? ? 1? 因此 c 的范围是 0,2 ∪[1,+∞). ? ?

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