江苏省泰州市2015届高三下学期第二次模拟考试数学试题

江苏省泰州市 2015 届高三第二次模拟考试 数学试卷 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上. ) 1.若复数 (a ? 2) ? i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则 实数 a = 2.已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?a, 4? ,若 A ▲ . ▲ . B ? {1, 2,3, 4} ,则 A B ? ▲ . ▲ 3 .某高中共有 1200 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样 的方法从中抽取 48 人,那么高二年级被抽取的人数为 2 2 4.已知双曲线 x y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则 m ? 4 m 2 ▲ . . 5.执行右边的伪代码后,输出的结果是 i ?1 x?4 While i <10 x ? x ? 2i i ?i?3 End While Print x 第 5 题图 6.若圆柱的侧面积和体积的值都是 12π ,则该圆柱的高为 ▲ . 7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往 单位圆中投掷一点,若此 点到圆心的距离大于 1 1 ,则周末看电影;若 此点到圆心的距离小于 ,则周末 2 4 ▲ ▲ . . ▲ . 打篮球;否则就在家看书.那么小明周末在家看书的概率是 8.在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 4, a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 ,则 a7 ? 9.已知函数 y ? x2 ? 2x ? a 的定义域为 R ,值域为 [0,??) ,则实数 a 的取值集合为 ?x ? y ? 4 ? 0 ? 10.已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y ? 3 的取值范围是 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? ▲ . 11.设函数 f ( x) ? 3 sin( πx ? π π ) 和 g ( x) ? sin( ? πx) 的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 3 6 ▲ . 轴的交点分别为 M 、 N ,已知 O 为原点,则 OM ? ON ? 12.若斜率互为相反数且相交于点 P(1,1) 的两条直线被圆 O : x2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长之比为 条直线的斜率之积为 ▲ . ▲ 6 ,则这两 2 13.若函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 x ? a 在区间 [2, 4] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 . 14.在 ?ABC 中, D 为边 AC 上一点, AB ? AD ? 4, AC ? 6 ,若 ?ABC 的外心恰在线段 BD 上, 则 BC ? ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分) 已知向量 a ? (? , 1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) , 0 ? ? ? π . 2 2 (1)若 a ∥ b ,求角 ? 的大小; (2)若 a ? b ? b ,求 sin ? 的值. 16.(本题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在平 面互相垂直, AE ? BE ,点 M , N 分别是 AE, CD 的中点. E M A D B N C (1)求证: MN ∥平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 ADE . 17.(本题满分 14 分) 如图,某市有一条东西走向的公路 l ,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路 m .在施工过程中 发现在 O 处的正北 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以 A 为圆心,1 百米为半径设立一 个圆形保护区.为了连通公路 l 、 m ,欲再新建一条公路 PQ ,点 P 、 Q 分别在公路 l 、 m 上,且要求 PQ 与圆 A 相切. 北 Q A l m [来源:Zxxk.Com] O P 东 (1)当 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长; (2)当公路 PQ 长最短时,求 OQ 的长. 18.(本题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E : [来源:学.科.网] x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,与 x 轴平行的直线与椭 a 2 b2 圆 E 交于 B 、 C 两点,过 B 、 C 两点且分别与直线 AB 、 AC 垂直的直线相交于点 D .已知椭圆 E 的离 心率为 5 4 5 ,右焦点到右准线的距离为 . 3 5 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明点 D 在一条定直线上运动,并求出该直线的方程; (3)求 ?BCD 面积的最大值. y D O A B 19.(本题满分 16 分) 已知 an ? , bn ? , cn ? 都是各项不为零的数列,且满足 a1b1 ? a2b2 ? 数列 an ? 的前 n 项和, x C ? ? ? ? ? anbn ? cnS n ,n ? N? ,其中 Sn 是 ?c ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列. n (1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ?n ( ? 是不为零的常数) ,求证:数列 bn ? 是等差数列; ? ? ? (3)若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为常数, k ? N ) , bn ? c 2 , n ?)N? ,求证:对任意的 n ? 2, n ? N? , nk ? (n ? 数列 { ? bn } 单调递减. an 20.(本题满分 16 分) 己知 f ( x) ? ex ? a ln x ? a ,其中常数 a ? 0 . (1)当 a ? e

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