湖南省娄底市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(a卷)有答案

2018 年上学期高二期末考试理科数学(A 卷)试题
时量:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(每小题5分,每小题只有一个正确选项) 1.已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={2,4,6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的 个数为( A.2 ) B.3 C.4 D.5

2.某班有学生 52 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知座位号 6 号,32 号,45 号的同学都在样本中,那么样本中还有一位同学的座位号是( A.16 B.19 C.24 ) D.36 )

3.a2+b2=1 是 asin θ+bcos θ≤1 恒成立的( A.必要不充分条件 C.充要条件
4 2 1

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.已知 a ? 2 3 , b ? 4 5 , c ? 25 3 ,则( A. c ? a ? b C. b ? c ? a

B. a ? b ? c D. b ? a ? c ) D. -1 )

5.已知函数 f(2x+1)=3x+11,则 f(1)的值等于( A.11 B. 5 C. 2

6.已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( 5 A. 3 C. 2 5 3 4 B.3 D. 21 3 )

7.等差数列{an}中,a3+a7=4,则{an}的前 9 项和等于( A. 18 C.﹣18 B. 27 D.﹣27

8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则( A. a=11 C. a=13 B. a=12 D. a=14



9.若将函数 f ? x ? 的图象向右平移 1 个单位长度后得到 g ? x ? 的图象,则称 g ? x ? 为 f ? x ? 的单位间 隔函数,那么函数 f ? x ? ? sin

?x
2

的单位间隔函数为(

)

1

??x ? A. g ? x ? ? sin ? ? 1? ? 2 ?

B. g ? x ? ? cos

?x
2

??x 1? C. g ? x ? ? sin ? ? ? ? 2 2?

D. g ? x ? ? ?cos

?x
2

10.已知向量 a , b 的夹角为 1200,且 a ? 2 , a ? 2b ? 2 7 ,则 b ? ( A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

)

11.已知 ? , ? 均为锐角, cos ?? ? ? ? ? ? A. ?
33 65

5 ?? 3 ?? ? ? ,sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? = 13 3? 5 6? ? ?

B.

33 65

C. ?

63 65

D.

63 65

12.已知点 A(?2, 0) , B(2, 0) , C (0, 2) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 ?ABC 分割为面积相等的两部分, 则 b 的取值范围是( A.(0, 2 ? 2 ) )
2 B. (2 ? 2, ] 3

C. (2 ? 2,1)

2 D. [ ,1) 3

二、填空题(每小题 5 分) 13.若集合 A={x|ax2-4x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________. 14. 若函数 f ? x ? ? {

? x ? 6, x ? 2 ( a ? 0 且 a ? 1) 的值域是 ? 4, ?? ? , 3 ? log a x, x ? 2

则实

数 a 的取值范围是__________.

15.如图,一栋建筑物的高为(30-10 3 )m,在该建筑物的正东 有一个通信塔 CD.在它们之间的地面点 M(B,M,D 三点共线)处 楼顶 A, 塔顶 C 的仰角分别为 15° 和 60° , 在楼顶 A 处测得塔顶 C 角为 30° ,则通信塔 CD 的高为________ m.

方向 测得 的仰

16.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 个几何体的外接球的表面积为________. 三、解答题 17. (本题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? 1? n ? N * ? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log4 an ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

则 这

2

18. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , C ? (1)若 ab ? 4a 2 ? c2 ,求
sinB 的值; sinA

?
3

.

(2)求 sinAsinB 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情况,从得分不低于 50 分的试卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数,满分 100 分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据, 解答下列问题:

(1)求 a、 b 的值; (2)若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听写比赛,并从中 选出 2 人做种子选手,求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率。

20. (本题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 (1)求证: (2)若 距离. , ; 与平面 成 角,求点 到平面 的 的底面为菱形, .

3

21. (本题满分 12 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 C,已知 AB=3 米,AD=1 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 16 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最 值. 小

22. (本题满分 12 分) 已知圆 C: x 2 ? ? y ? 1? ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0.
2

(1)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,若,求直线 l 的方程.

4

2018年上学期高二期末考试理科数学(A卷)参考答案 一、选择题
1.B 2. B 3. B 4. D 5. A 6. D 7.A 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C

二、填空题
13、0 或 2 14、 1 ? a ? 2 . 15、60 16π 16、 3

三、解答题
17、 (本题满分 10 分) 解: (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ,………………………………3 分 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 1,满足 an ? 2n?1 ,……………………………………4 分 ∴数列的通项公式为 an ? 2n?1 ? n ? N * ? .……………………………………5 分 (注:未检验 n ? 1 时,扣 1 分。 ) (2)由(1)得 bn ? log4 an ? 1 ? 则 bn?1 ? bn ?
n ?1 ,……………………………………6 分 2

n ? 2 n ?1 1 ? ? ,………………………………………………8 分 2 2 2
1 2

∴数列 ?bn ? 是首项为 1,公差 d ? 的等差数列,…………………………9 分 ∴ Tn ? nb1 ?
n ? n ? 1? 2 d? n 2 ? 3n .…………………………………………10 分. 4

5

6

22、 (本题满分 12 分) (1)证明:直线 m ? x ?1? ? y ?1 ? 0 ,经过定点 ?1,1? , 12 ? ?1 ? 1? ? 5 ,? 定点在圆内,故对 m ? R ,直线 l
2

与圆 C 总有两个不同的交点. ………4 分 (2)由圆心 ? 0,1 ? 到直线 mx ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 d ? 而圆的弦长………8 分 即,,, 解得:m=………10 分 故所求的直线方程为 x- y=0 或 x+y-2=0………12 分

m· 0 ?1 ? 1 ? m m ?1
2

?

m m2 ? 1

7


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