浙江省浦江中学2015届高三5月适应性考试数学(理)试题

绝密

考试结束前

2015 年 浦江中学高三适应性考试数学(理)试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 1 球的表面积公式 S ? 4?R 2 , 锥体的体积公式 V ? Sh , 3 其中 R 表示球的半径. 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 4 1 球的体积公式 V ? ?R 3 , 台体的体积公式 V ? h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 3 h 表示柱体的高. 其中 R 表示球的半径. 柱体的体积公式 V ? Sh , 其中 S1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积, 其中 S 表示柱体的底面积,
h 表示台体的高.

选择题部分(共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1. 已知集合 M ? ?0, x?, N ? ? 1,2?,若 M ? N ? ?2?,则 M ? N ? A. ?0, x,1,2? B. ?0,1,2? C.

?2,0,1,2?

D.不能确定

2. 已知 f ?x ? ? ? ? ,则“ x1 ? x2 ? 0 ”是“ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 1 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?1? ?2?

x

(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向右平移

? 6

个单位后得到函数 g ?x ? ? sin??x ? 的图像,则函数 f ( x) 的图像 A.关于直线 x ? C.关于点 (

5? 对称 12

B.关于直线 x ? D.关于点 (

? 对称 12

5? , 0 ) 对称 12

?
12

, 0 ) 对称

4.已知等比数列{ a n}首项为 1 ,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则下列结论正确的是 A. ?n ? N , S n ? a n ?1
?

B. ?n ? N , an ? an?1 ? an? 2

?

C. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?2 ? 2an0 ?1

D. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?3 ? an0 ?1 ? an0 ?2

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列说法正确的是 A. 当 m 与 ? 平行时,若 m 与 n 不平行,则 n 与 ? 不平行 B. 当 m 与 ? 平行时,若 ? 与 ? 不平行,则 m 与 ? 不平行 C. 当 ? 与 ? 平行时,若 m 与 ? 不平行,则 m 与 ? 不平行 D. 当 ? 与 ? 平行时,若 m 与 ? 不垂直,则 m 与 ? 不垂直 6.已知圆 C 的半径为 1,点 P 是圆 C 上的一定点, A, B 是圆 C 上的两个动点,且 PA ? PB , 则 PA ? PB 的最小值是 A. ?

??? ?

??? ?

1 3

B. ?

1 2

C. ?

2 2

D. ?

3 3
y P

7.如图, F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的 a2 b2
F1

左、右焦点,经过右焦点 F2 的直线与双曲线 C 的右支交于 P, Q 两点,且 PF2 ? 2 F2 Q , PQ ? F1Q ,则双曲线 C 的离心率是

O Q

F2

x

第 7题

A. 2

B. 3

C.

10 2

D.

17 3

8.过空间一点 O 与三棱锥 P-ABC 的三个侧面 PAB,PBC,PCA 所成的角都相等的平面个数有 A.1 个 B.3 个 C.4 个 D.8 个

非选择题部分 (共 110 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
:( 本 大 题 共 二 、 填 空 題 7

小题 , , 前4题 每 小 题 6分 , 后 3题每小题 4 分 , 共3 6 分 )
sin2

9.已 知 s i n ? -2cos ? = 0 则 t a n ? =
10.已知 f(x)= ,则 f(1)= ?log 2 (? x ? 1), x ? 0 ? ? f ( x ? 2), x ? 0

?=

f(f(100))=

3 1
主视图 侧视图

3 3
俯视图

? 2x ? y ? 0 ? 11. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,且 z ? x ? y 的最小值为 ?3 , ? x ? 2y ? m ?
值是 ;实数 m 的值为

则 x 2 ? y 2 的最小

12.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体各面中 直角三角形有 个,其几何体的体积为
2 2

.

13.过直线 x=2 上一点 P 作圆:x +y =1 的两条切线 PA,PB, 则 K PA ? K PB 的最小值为 14.设 x ,y ,z 均是正数,且 ( x ? z ? 1)( y ? z ? 1) =4 ,则 xy ? z ( x ? y ? z ) 的最大值为 15. 设 A、B、C 是抛物线 y ? x 2 上的三点,若直线 AB 过定点 ?- 1,0 ? ,直线 BC 过定点

?1, ? 2? ,则直线 AC 也过定点,其坐标为



三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16. ( 本 小 题 满 分 15 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 满 足

cos B 2a b ? ? ?0. cos C c c
(I)求 ? C 的大小; (II)求 sin A ? sin B 的取值范围
2 2

17. (本小题满分 15 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形,ADNM 是正方形, 平面 ADNM⊥平面 ABCD,∠DAB=60° ,AD=2, E 是 AB 的中点. (I )求证:AN∥平面 MEC; (II )在线段 MN 上是否存在点 P, 使二面角 P-EC-D 的大小为 若存在,求出 MP 的长;若不存在,请说明理由

? ? 3

18. (本小题满分 15 分)已知公差不为零的等差数列 {an } 中, a 1 =1,且 a 1 , a 2 , a 4 成等 比数列, (I)求数列 {an } 的通项公式; (II) 数列 ?bn ? 满足 bn ? ( ) an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 (?1) ? ? Tn ?
n n

1 2

n 对 2n

一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围。
?

(III)设数列 ?

?

? 61 1 的前 n 项和为 Sn ,求证:对任意正整数 n ,都有 S n ? 成立. 2? 144 ? (an ? 2) ?

19. (本小题满分 15 分)已知点 P? 2,

? ? ?

5? x2 y2 ? 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 上一点,且点 5 ? a b ?
y A M

P 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ) 如图, 过点 M ?0, m??m ? 0? 的直线与椭圆 C 交与 A, B 两点,在直线 y ? ? m 上存在点 N ,使三角形 NAB 为
B

O

x

正三角形,求 m 的最大值.

N
第19题

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R, a ? 0) . (I)当 a =2 , b =-3 时,求 f ( x) 的单调递增区间;

) ? (II)若 f ( x) 在 ?0,1? 上有两个零点,求证: f (0) ? f (1

a2 ; 16

(Ⅲ)若当 x ? [0,1] 时,恒有 - 1 ? f ( x) ? 1 ,求证:当 x ?? ?1,0? 时, ? 1 ? f ( x) ? 17

2015 年 浦江县高三适应性考试数学(理)答案;

1.B ;
9,2,

2.C ;

3.B;

4.A ;

5.D

6.B

7.D

8.C;

4 ; 5

10,1,0;

11,5, 6 ;

12,3,6;

13, ?

1 ; 3

14,最大值为 1;

15, ? -

? 1 ? ,1? . ? 2 ?
c cos B ? 2a cos C ? b cos C ? 0

16.解: (I)∵ ∴ ∴ ∴

cos B 2a b ? ? ?0 cos C c c



sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cosC ? 0 sin A ? 2sin A cos C ? 0


sin A ? 0
……7 分

2? 3 cos2A ? cos2B 1 ? 2 2 ? 1 ? sin(2 A ? ) (II) sin A ? sin B ? 12 2 6 ? ? ? 5? ? ? 2A ? ? 又 0<A< 3 6 6 6

cos C ? ?

1 2

∴ C?

1 ? ?1 3 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 sin 2 A ? sin 2 B ? ? , ? 2 6 ?2 4 ?
17(1)证明 由已知,MN∥AD∥BC,连接 BN, 设 CM 与 BN 交于 F,连接 EF, 又 MN=AD=BC,所以四边形 BCNM 是平行四边形,F 是 BN 的中点. 又 E 是 AB 的中点,所以 AN∥EF. 因为 EF?平面 MEC,AN?平面 MEC,所以 AN∥平面 MEC. (2)解.假设在线段 MN 上存在点 P,使二面角 P-EC-D 的大小为

……15 分

….6 分

? . 3
…..8 分 …..10 分

延长 DA,CE 交于点 Q,过 P 作 PH⊥EC 于 H,PG ? AD 于 G 连接 GH.

? GH ? EC , ∠PHG 为二面角 P-EC-D 的平面角.
由题意知∠PHG=

? . 3

又 PG=2,? GH=

2 3

在△QAE 中,AE=1,AQ=2,∠QAE=120° , 则 EQ= 12+22-2×1×2cos 120° = 7,sin ?AQE ?

3 2 7

….12 分

在 Rt△QGH 中,sin ?AQE ?

GH 4 7 . QG= GQ 3

所以在线段 MN 上存在点 P,使二面角 P-EC-D 的大小为 18 解: (I)由已知 a22 ? a1a4 得(1+d) =1 ? (1+3d)
2

? 4 7 ,此时 MP 的长为 ? 2 …15 分 3 3

? d ? 1 , a n =n
(II)易知 bn ?

……4 分

n 2n

1 1 1 1 1 Tn ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ?? ?(n ? 1) n ?1 ? n ? n 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 1 ???????????????1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? ?(n ? 2) n ?1 ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 T 1 1 1 1 n?2 两式相减得 n ? ? 2 ? ?? ? n ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 n?2 ∴ Tn ? 2 ? n 2
∴ ( ?1) ? ? 2 ?
n

??7 分

2 ? 对一切 n ? N 恒成立 n 2
∴? ?

2 22 2 若 n 为奇数,则 ? ? ? 2 ? 2
若 n 为偶数,则 ? ? 2 ?

3 2
∴ ? ? ?1 ∴ ?1 ? ? ?

∴ ?? ? 1

3 2

……10 分

(III)当 n ? 1, 2 时,结论显然成立; 当 n ? 3 时,由(II)知 S n ?

1 1 ? ? a3 ? a4 ? ? ? an 9 16

?
?

1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ??? 9 16 5 6 (n ? 2)2

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 9 16 4 5 5 6 n ?1 n ? 2 1 1 1 61 ? ? ? ? . 9 16 4 144 61 所以,对任意正整数 n ,都有 S n ? 成立. ……15 分 144

x2 ? y2 ? 1 19.解: (Ⅰ) 5
(Ⅱ)显然,直线 AB 的斜率存在,设其方程为: y ? kx ? m ,与 消去 y ,并化简得:

??5 分

x2 ? y 2 ? 1 联立方程组, 5

?1 ? 5k ?x
2

2

? 10kmx? 5m 2 ? 5 ? 0 , 判别式 ? ? 100k 2 m2 ? 4 1 ? 5k 2 5m 2 ? 5
10km 5m 2 ? 5 , x x ? 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

?

??

?

设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 x1 ? x 2 ? ?

??7 分

设线段 AB 的中点为 P?x0 , y0 ? ,则直线 PN : y ? y 0 ? ?

1 ?x ? x0 ??k ? 0? ,令 y ? ?m k

又 y0 ? kx0 ? m ,得点 N 的坐标为 2km ? k 2 ? 1 x0 ,?m ,显然 k ? 0 时也符合, 所以 PN ?

?

?

?

?

?2km ? k x ? ? ?kx
2 2 0
2

0

? 2m? ? 1 ? k 2 kx0 ? 2m
2
2

又 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
3 3 所以 kx0 ? 2m ? AB , ? 2 2
2

由三角形 NAB 为正三角形得 PN ?
2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2 两边平方
??11 分

3 ? ? 10km ? 5m 2 ? 5 ? ? 5km ? 可得 ? k ? ? 2 m ? ? ? 3 ? ? ? ? 2 4 ? 1 ? 5k 2 ? 1 ? 5k 2 ? 1 ? 5k ?
? 2m ? 5k 2 m ? 5k 2 m 2 ? m 2 ? 1 1 ? 5k 2 ? ? ? 15 ? ,即 m 2 2 ? 5k 2 ? 1 ? 5k 2 ? 2 2 1 ? 5k ? ?
2

?

?

?? ?

?

?

?

2

? 15 5k 2 ? 1 ? m 2

?

?

得 m2 ?

?2 ? 5k ?

15 ? (1 ? 5k 2 )
2 2

? 15

2 ,令 1 ? 5k ? t ,则 m ?

2

?1 ? t ?

15t
2

? 15

?

15 3 ? 16 2 t? ?2 t

2 当且仅当 t ? 4 即 k ?

3 6 时等号成立,此时 ? ? 50 ? 0 ,所以 m 的最大值为 ……15 分 5 2

20.解: (I)递增区间是: ? , ? 与?1 , +? ? 2 4 (II)设 f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 )
2 ? x ? 1 ? x1 ? ? x2 ? 1 ? x2 ? a f (0) ? f (1) ? a x1 x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? a ? 1 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 16 2 2 2 2

?1 3? ? ?

……3 分

……8



(Ⅲ)当 x ? [0,1] 时, - 1 ? ax ? bx ? 1 ? 1 恒成立
2

当 x=0 时,不等式成立 当 x ? 0 时,分离 b 得: (1) 当 a ? 0 时

2 ? ax ? b ? ?ax x

①若

2 ? 1即0 ? a ? 2 ,有 ? 2 ? a ? b ? ?a a 2 ? 1即a ? 2 ,有 ? 2 2a ? b ? ?a a
……(11 分)

②若

(2)当 a ? 0 时,有 ? 2 ? a ? b ? 0

(a, b) 可围成如下的图形(区域内不包括线段 a =0) 由以上三种情况知点 :

b

-2 -2 -4

2 a

(8,-8)
当 x ? ?? 1.0? 时目标函数 u ? f ( x) ? ax2 ? bx ? 1, 即 b ? ? xa ?

)

u ?1 在可行域内的最优解是(-2,0)和(8,-8) 。 x
……(14 分)

2 2 故 1 ? 2x ? u ? f ( x) ? 8x ? 8x ? 1 ,从而得 - 1 ? f ( x) ? 17


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