04湖北省荆州中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学(文)试题

荆州中学 2015-2016 学年度上学期 期 中 考 试 卷(文科)
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设 A ? x x ? 2n ? 1, n ? Z ,则下列正确的是( A. ? ? A B. 2 ? ? C. 3 ? A

?

?

) D. ?2? ? A

2.设 A ? ?x | 2 ? x ? 6?, B ? ?x | 2a ? x ? a ? 3?,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. ? 1,3? B. [3,?? ) C. [1,?? ) D. ?1,3? ) D.0 或 2

?2 x ? 1, x ? 1 ? 3.已知函数 f (x) ? ? ,若,则实数 a ? ( 2 ? ? x ? ax, x ? 1
A.0 B.2 C. ? 2

m]4. 设f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且f ( x ? 3) ? ? f ( x) , f ?1? ? ?2 , 则

f( 2 0 1? 4( )
A.0.5

) B.0 C.2
x

D.-1

5 .已知 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 1 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? logb x 的图像可能是 ( )

6.函数 f ? x ? ?

1 ? x 的图象关于( x

). B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 )

A.y 轴对称 C.坐标原点对称

7. 偶函数 y ? f ( x) 在区间[0,4]上单调递减,则有( A. f (?1) ? f ( ) ? f (?? )

?

3

B. f ( ) ? f (?1) ? f (?? )

?

C. f (?? ) ? f (?1) ? f ( )

?

3

3

D. f (?1) ? f (?? ) ? f ( )

?

3

第 1 页 共 8 页

8. 已知 f ( x) 是偶函数,g ( x) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? 1 , 则 f (? 1 ) ?( A. 3 科网] B. ?3 C. 2



D . ?2 [ 来源 : 学

9.集合 A ? {x | x ? 2k , k ? z},B ? {x | x ? 2k ? 1, k ? z} , C ? {x | x ? 4k ? 1, k ? z} ,又

a ? A , b ? B ,则有(
A. a ? b ? A C. a ? b ? C 10.若 x ?

) B. a ? b ? B D. a ? b ? A、B、C 中的任何一个 ) D. b ? c ? a )

?e

?1

1 ln x ln x , 1?, a ? ln x , b ? ( ) , c ? e ,则( 2
B. b ? a ? c
2

A. c ? b ? a

C. a ? b ? c

11.若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? 1) 有最小值,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (0,1)

(1, 2)

C. (1, 2)

D. [2, ??)

12.已知奇函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 且 f ? 2? ? 0 , 则不等式 ? x ?1? f ? x ?1? ? 0 的 解集是( A. (?1,3) ) B. (??, ?1) C. (??, ?1) U (3, ??) D. (?1,1) U (1,3)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 13.若函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ? c 的最小值为 2,则函数 f ( x ? 2015) 的最小值为
2

14. 设 全 集 U ? {( x, y) | x ? R, y ? R}, 集 合 M ? {( x, y ) | 则 CU ( M U P) ?

y ?3 ? 1}, P ? {( x, y ) | y ? x ? 1}, x?2

15.若函数 y ? x ? 4x 的定义域为 [ ?4, a ], 值域为 [?4,32], 则实数 a 的取值范围是
2

2 ? ??( x ? 1) 16.函数 f ( x) ? ? ? ?(3 ? a ) x ? 4a 立,则 a 的取值范围是

? x ? 1? 满足对任意 x1 ? x2 都有 ? x ? 1?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0成 x1 ? x2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 2 页 共 8 页

17.(本小题 10 分) (1) ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ? a ? 0且b ? 0 ?

? ?

2

1

?? ??

1

1

? ? ? ?

1

5

? ?

(2) ? log4 3 ? log8 3?? log3 2 ? log9 2?

18.( 本小题满分 12 分) 已知 A ? {x | (1)求 A

1 ? 3x ? 9} , B ? {x log2 x ? 0} . 3

B和 A B; (2)定义 A ? B ? {x x ? A 且 x ? B} ,求 A ? B 和 B ? A .

19. (本小题满分 12 分)
x 已知函数 f (3 ? 2) ? x ? 1 ( x ? [0, 2]) ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移 2 个单位,再向

上平移 3 个单位可得函数 y ? g ( x) 的图像。[来源:学#科#网 Z#X#X#K] (1)求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的解析式; (2)设 h( x) ? [ g ( x)] ? g ( x ) ,试求函数 y ? h( x) 的最值。
2 2

20.(本小题满分 12 分)某上市股票在 30 天内每股的交易 价格 P (元) 与时间 t (天) 组成有序数对 ? t , P ? , 点 ?t, P ? 落在图中的两条线段上;该股票在 30 天内的日交易量

Q (万股)与时间 t (天)的部分数据如下表所示

第 3 页 共 8 页

第t 天

4 36

10 30

16 24

22 18

Q (万股)

(1)根据提供的图像,写出该种股票每股交易价格 P (元)与时间 t (天)所满足的函 数关系式; (2)根据表中数据,写出日交易量 Q (万 股)与时间 t (天)的一次函数关系式; (3)用 y (万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30 天内 第几天日交易额最大,最大值为多少?

已知函数 f ( x) 满足: 对于任意 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 21、(本小题 12 分) 且 x ? 0 时,f ( x) ? 0 ,f (1) ? ?2 . (1) 证明函数 f ( x) 是奇函数; (2) 判断并证明函数 f ( x) 在 R 上 的 单 调 性 , 然 后 求 函 数 f ( x) 在 [?3,3] 上 的 最 值 ; (3)解不等式:

f ( l o2gx) ? f ( l o4gx ?4 ) ? 2

22、 (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ? a ? 3,g ( x) ? mx ? 5 ? 2m (1)当 a ? ?3,m ? 0 时,求方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解; (2)若方程 f ( x) ? 0 在 ? ?11 , ? 上有实数根,求实数 a 的取值范围; (3) 当 a ? 0 时, 若对任意的 x1 ? ?1 , 4? ,总存在 x2 ? ?1, 4? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 求实数 m 的取值范围。 立,

第 4 页 共 8 页

湖北省部分中学 2015~2016 学年度上学期期中卷 参考答案) (04)
年级:高一 科目:数学(文科) 命题人:马玮 审题人:余书胜 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) . 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A 9 B 10 D 11 C 12
网] [来源:学科

C

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.2 14. ?? 2, 3?? 1 5. [2,8] 16. [-1,3 )

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 17 解: (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ? 4a …………5 分 (2) (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2)
1 1 1 5 ? ( log 2 3 ? log 2 3)(log 3 2 ? log 3 2) ? …………5 分 2 3 2 4
2 1 1 1 1 5

源:学*科*网]

1 18.(12 分)解: A ? {x | ? 3x ? 9} ? (?1, 2) ; B ? {x log2 x ? 0} ? (1, ??) ……2 分 3

(1) A B ? (1, 2) , (2) A ? B ? (?1,1] ,

A B ? (?1, ??) B ? A ? [2, ??)

…………7 分 …………12 分

2 t ?[-1,7],则 x ? log3 (t ? 2) , 19.解 (1)设 t ? 3x ? (

于是有 f (t ) ? log3 (t ? 2) ?1 , t ? [?1, 7] ∴ f ( x) ? log3 ( x ? 2) ? 1( x ? [?1, 7] ),………4 分 根据题意得 g ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 ? log3 x ? 2 ( x ? [1,9] )………6 分 (2)∵ g ( x) ? log3 x ? 2, x ?[1,9]
[来源:Zxxk.Com]

∴ h( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x2 ) ? (log3 x ? 2)2 ? 2 ? log3 x2 ? (log3 x)2 ? 6log3 x ? 6

? (log3 x ? 3)2 ? 3 ………8 分
第 5 页 共 8 页

∵函数 f(x)的定义域为 [1, 9] ,

?1 ? x 2 ? 9 ∴要使函数 h( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x2 ) 有意义,必须 ? ∴ 1 ? x ? 3 ,……10 分 ?1 ? x ? 9
x ∴ 0 ? log3 ? 1,∴ 6 ? (log3 x ? 3)2 ? 3 ? 13

∴函数 y ? h( x) 的最大值为 13,最 小值为 6. ………12 分 20.(12 分)解:(1)当 0 ? t ? 20 时,设 P ? at ? b
?b ? 2 ?b ? 2 1 ? 由图像可知此图像过点 ? 0, 2 ? 和 (20,6) ,故 ? ?? 1 , ?P ? t ? 2 5 ?6 ? 20 a ? 2 ?a ? 5 ?

同理可求当 20 ? t ? 30 时,? P ? ? 科网]
?1 t ? 2, 0 ? t ? 20, t ? N ? ?5 ?P ? ? ?? 1 t ? 8, 20 ? t ? 30, t ? N ? ? 10

1 t ?8 10

[来源:学

4分

注:少写一个或写错 一个扣 2 分,区间写错或没写 t ? N 扣 1 分 ( 2)设 Q ? ct ? d ,把所给表中任意两组数据代入可求得 c ? ?1, d ? 40 ,
?Q ? ?t ? 40, 0 ? t ? 30, t ? N

6分

(3) 首先日交易额 y (万元) =日交易量 Q(万股) (元) ? 每股交易价格 P
? 1 ? (t ? 15)2 ? 125 0 ? t ? 20, t ? N ? ? 5 ?y ? ? ? 1 ? t ? 60 ?2 ? 40 20 ? t ? 30, t ? N ? ?10

8分

当 0 ? t ? 20 时,当 t ? 15 时, ymax ? 125 万元 当 20 ? t ? 30 时, y 随 t 的增大而减小 10 分

9分

故在 30 天中的第 15 天,日交易额最大为 125 万元.

12 分

第 6 页 共 8 页

21.(12 分)解: (1)设 y ? x ? 0 ,有 f (0) ? 0 ,

…………………… 2 分

取 y ? ? x ,则有 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 ? f (? x) ? ? f ( x)

? f ( x) 是奇函数

…………………………3 分

(2)设 x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,由条件得 f ( x2 ? x1 ) ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )
? f ( x) 在 R 上是减函数,
………………5 分

f ( x) 在[-3,3]上也是减函数。
? f ( x) 当 x=-3 时有最大值 f (?3) ;当 x=3 时有最小值 f (3) ,
由 f (1) ? ?2 , ? f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 3 f (1) ? ?6 ,

? f (?3) ? ? f (3) ? 6
? f ( x) 当 x=-3 时有最大值 6;当 x=3 时有最小值-6.
(3)由 f (1) ? ?2 , f ( x) 是奇函数,? f (?1) ? 2 所以原不等式就是 f (log 2 x) ? f (log 4 x ?4 ) ? f ( ?1) ……………………7 分 ……………………8 分

? f (log 2 x ? log 4 x ?4 ) ? f (?1)
? f ( x) 是减函数

? log 2 x ? log 4 x ?4 ? ?1

? log 2 x ? 1

?0 ? x ? 2

所以原不等式的解集是(0, 2) ……… …………12 分

22.解: (1) : x ? ?1或x ? 5 …………………4 分 (2)因为函数 f ( x) =x2-4x+a+3 的对称轴是 x=2, 所以 f ( x) 在区间[-1,1]上是减函数, 因为函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有:
?a≤0 ? f (1)≤0 即? ,解得 -8≤a≤0 , ? f ( ? 1) ≥ 0 ?a ? 8≥0 ?

故所求实数 a 的取值范围为[-8,0] .
第 7 页 共 8 页



(3)若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4],使 f(x1)=g(x2)成立,只需 函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集.
f ( x) =x
2

-4x+3,x∈[1,4]的值域为[-1,3],下求 g(x)=mx+5-2m 的值

域. ①当 m= 0 时,g(x)=5-2m 为常数,不符合题意舍去; ②当 m>0 时, g(x)的值域为[5-m, 5+2m], 要使[-1, 3] ? [5-m, 5+2m], 需? ?
?

5-m≤-1 ,解得 m≥6; ?5 ? 2m ≥3 ?

③当 m<0 时,g(x)的值域为[5+2m,5-m],要使[-1,3] ? [5+2m,5- m], 需? ?
?5 ? 2m≤-1 ? ?5-m≥3

,解得 m≤-3;

综上,m 的取值范围为 (??, ?3] ?[6, ??) .

…………………12 分

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