2011-2012第二学期高二数学第一次月考试卷及答案(理科)

唐河县实验高中 2012 年春期第一次月考 高二数学(理)试卷

A. 19
3

B. 16
3

C. 13
3

D. 10
3

7.函数 y = x3 + x 的递增区间是( A. (0,??) B. (??,1)

) C. (??,??) D. (1,??) )

注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后,用钢笔或圆珠笔写在答题卷上,不准答在第 I 卷上. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是 符合题意的,把正确选项的代号写在答题卷上.) 1.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比得出球的有关性质; ②由直角三角形、 等腰三角形、 等边三角形内角和是 180 , 归纳出所有三角形的内角和都是180 ; ③四边形内角和是 360 ,五边形内角和是 540 ,由此得出凸多边形内角和是 ?n ? 2? ? 180 .
? ?
? ?

8.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则 p0 点的坐标为(
3

A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4)

B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4)

9.观察按下列顺序排列的等式: 9 ? 0 ? 1 ? 1 , 9 ?1 ? 2 ? 11 , 9 ? 2 ? 3 ? 21 , 9 ? 3 ? 4 ? 31 ,…, 猜想第 n(n ? N ) 个等式应为(
*

) B. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ? 1) ? (n ? 1) ? 10n ? 10 \
'

A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C. 9n ? (n ? 1) ? 10n ? 1
2

?

10.若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ( x) 的图象是(



A.①②

B.①③
2

C.②③

D.①②③

2. 一物体运动方程为 s ? 1 ? t ? t (其中 s 单位是米, t 单位是秒) ,那么物体在 3 秒末的瞬时速度 是( ) A. 7 米/秒 D. 8 米/秒 3.若函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为 h ?0 h A. f ( x0 )
'

B. 6 米/秒

C. 5 米/秒

B. 2 f ( x0 )

'

C. ?2 f ( x0 )
'

D. 0 )

11.设 S (n) ?

4.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度; C. 假设三内角至多有一个大于 60 度; B. 假设三内角都大于 60 度; D. 假设三内角至多有两个大于 60 度。 )

5.若 f ( x) 在区间 [a,b] 上有 f ?( x) ? 0 ,且 f (a) ≥ ? ,则在 (a,b) 内有( A. f ( x) ? 0 C. f ( x) ? 0
3 2

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? 2 (n ? N* ) ,当 n ? 2 时, S (2) ? ( n n ?1 n ? 2 n ? 3 n 1 1 1 A. B. ? 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 C. ? ? D. ? ? ? 2 3 4 2 3 4 5
4



B. f ( x) ? 0 D. f ( x) 符号不确定
'

12.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为( A.72 B.36 C.12

) D.0

6. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(



1

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 注意事项: 1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题; 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用钢笔或圆珠笔答在答题卷指定的位置上. 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. f (n) ? 1 ? (1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间. 21. (12 分)已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 .
4 2

1 1 1 3 5 ? ? ? ? (n ? N* ) ,计算得 f (2) ? , f (4) ? 2 , f (8) ? , f (16) ? 3 , 2 3 n 2 2


f (32) ?

7 .由此推测,当 n ? 2 时,有 2

14.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; 15.函数 y ?

sin x 的导数为_____________________; x
22.(12 分)已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1, (1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式; (2) 用数学归纳法证明所得的结论。

16.如右图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同 的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为____________时, 盒子容积最大,最大容积是____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2 2 2 2 17.(10 分)设 a,b,x,y∈R,且 a ? b ? 1, x ? y ? 1, 试证 ax ? by ? 1 .

18. (12 分)求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线方程.
3 2

19. (12 分)求 函 数 f ( x) ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 .
5 4 3

20. (12 分)已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a, b 的值; (2)求函数 y 的极小值.

2

20、 (12分)解: ------------------------------------密-------- -------------------------------------封-------------------------------------线-------------------------------------------

2012年春期第一次月考高二数学答题卷
一、选择题(12×5分) 题号 答案 二、填空(4×5分) 13、________ 14、__________ 15、_________ 16、______,_______ 21、 (12分)解: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

班级 ______________ 姓名__________________考号____________________

三、解答题: (解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共70分) 17、 (10分)证明:

18、 (12分)解:

22、 (12分)解:

19、 (12分)解:

2012年春期第一次月考高二数学(理)答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

DCBBA
3

CCCBA CD

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,其中第 16 小题两空都对给 5 分,只对一空不得分) 13. f (22 ) ?

m?2 2

14.

3 ? 4

15.

x cos x ? sin x x2

即? 16.

1cm ,18cm3
3

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ……………6 分 ?a ? b ? 3
2 ' 2

三、解答题 17. (此题证明方法不唯一,只要证明合理均可得分,参考教材第 12 页,第 4 题) 设 a=cos ? ,b=sin ? ,x=cos ? ,y=sin ? , ……………4 分

(2) y ? ?6 x ? 9 x , y ? ?18 x ? 18 x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1
'

? y极小值 ? y |x ?0 ? 0 .…12 分

21.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,
4 2

? 则 ax ? by ? cos? cos ? ? sin ? sin ? = cos( ? ? ) ? 1

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
……10 分 切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

18.解:由切线垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,得切线斜率为-3 ……………2 分 设切点为 P(a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6 x ……………6 分
3 2 ' 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2
……………6 分

f ( x) ?
故切线的斜率 k ? y |x ? a ? 3a ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1
' 2

5 4 9 2 x ? x ?1; 2 2

代入到 y ? x ? 3x ? 5 得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) ,……………10 分
3 2

(2)令 f ' ( x) ? 10 x 3 ? 9 x ? 0, ? 3 10 ? x ? 0, 或x ? 3 10 10 10 所以单调递增区间为 (? 3 10 , 0), ( 3 10 , ??) . 10 10 ……………12 分

所以切线方程为 y ? 3 ? ?3( x ? 1) 即 3x ? y ? 6 ? 0 . 19.解: f ?( x) ? 5 x ? 20 x ? 15 x ? 5 x ( x ? 3)( x ? 1) , ……………3 分
4 3 2 2

3 7 15 22.解: (1) a1= 2 , a2= 4 , a3= 8 ,
猜测 an=2-

当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1? [?1, 4] , ?3 ? [?1, 4] 列表:

……………5 分

1 2n

…………… 5 分

(2) ①由(1)已得当 n=1 时,命题成立;

……………6 分

x
f ' ( x)

?1
0

(?1,0)
+ ↗

0
0

(0, 4)
+ ↗ ……………9 分

②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2-

1 , …………… 7 分 2k

当 n=k+1 时, a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+……+ak=2k+1-ak ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, ……………9 分 ∴2ak+1=2+2-

f ( x)

0

1

1 , 2k

ak+1=2-

1 2 k ?1

,

……………11 分

即当 n=k+1 时,命题成立. 根据①②得 n∈N+ , an=2-

又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ;……………11 分 ∴函数 y ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 .…12 分
5 4 3

1 都成立 ……………12 分 2n

20.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y |x ?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x ?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2
'

4


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