2018届高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题六 解析几何刺 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线第1课时 圆锥曲线

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

考情分析

总纲目录
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程 考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点) 考点三 直线与圆锥曲线

第1课时 圆锥曲线的定义、方程与性质
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M. 2.圆锥曲线的标准方程
? (1)椭圆的标准方程为?ax 22 +?by 22 =1???或 ay,其22 ?中bx22a>?b1>??? 0; ? (2)双曲线的标准方程为?ax 22 -?by 22 =1???或 ay,其22 ?中bx22a>?01,???b>0;
(3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.

典型例题
x2 y2
(1)(2017河南郑州质量预测(三))椭圆?5 +?4 =1的左焦点为F,直线x=

a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是?( )

A.?5 B.?6 5

5

5

C.8?5 D.?4 5

5

5

(2)(2017课标全国Ⅰ,5,5分)已知F是双曲线C:x2-?y 2 =1的右焦点,P是C上

3

一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为?( )

A.?1
3

B.12?

C.?2 D3.?

3

2

(3)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点

N.若M为FN的中点,则|FN|=

.

答案 (1)C (2)D (3)6

解析 (1)设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义知△FMN的周长为L=|MN|

+|MF|+|NF|=|MN|+(2?5 -|ME|)+(2?-5|NE|).因为|ME|+|NE|≥|MN|,所以|MN|-

|ME|-|NE|≤0,当直线MN过点E时取等号,所以L=4?5+|MN|-|ME|-|NE|≤

4?,5 即直线x=a过椭圆的右焦点E时,△FMN的周长最大,此时S△FMN=?1 ×
2

|MN|×|EF|=1 ?2×??4 ×2=8?5 ,故选C.

25

5

(2)易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.

?

∵PF⊥x轴,

∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),

∴|AP|=1,AP⊥PF,

∴S△APF=?1 ×3×1=3 ?.故选D.

2

2

(3)如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物

线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,

所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.

?

方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准 方程. (2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法 确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0, n>0,且m≠n),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).

跟踪集训 1.(2017辽宁沈阳质量检测(二))已知双曲线C:?ax 22 -?by 22 =1(a>0,b>0)的左、
右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称 点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|-|BN|=12,则a=?
()
A.3 B.4 C.5 D.6

答案 A 如图,设MN的中点为P.
?
∵F1为MA的中点,F2为MB的中点,∴|AN|=2|PF1|,|BN|=2|PF2|,又|AN|-|BN|= 12,∴|PF1|-|PF2|=6=2a,∴a=3.故选A.

2.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为?3的直 线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直 线NF的距离为?( ) A.?5 B.2? 2 C.2?3 D.3? 3

答案 C 因为直线MF的斜率为?,所3 以直线MF的倾斜角为60°,则 ∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以△MNF为等边三角形.过 F作FH⊥MN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所
以|MF|=?| M F+2| ,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60°=4
2
×?3 =2?.3 故选C.
2
?

考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点)
命题点 1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围; 2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程; 3.求双曲线的渐近线方程.

1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系

? (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e=?c = a

1

?

???;

b a

2
? ? ?

? (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e=?c = a

1

?

???.

b a

2
? ? ?

2.双曲线?ax 22 -b?y 22 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba ?x.

典型例题

(1)(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:?x 2 +?y 2 =1长轴的两个端
3m
点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是?( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,?3]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,?3]∪[4,+∞)
(2)(2017四川成都第二次诊断性检测)设双曲线C:?x 2 -?y 2 =1(a>0,b>0)的
a2 b2
左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切,则双曲线C的离心率为
?( )

A.?2 B.?? 3 ? 6 C2 .?
4

D.3?

3?6 2 7

答案 (1)A (2)D 解析 (1)当0<m<3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-?3,0),B(?,03 ), M(0,1).
?
图(1) 当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤ 1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,?m),B(0,-?),Mm (?,0),3

?
图(2) 当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA| ≥3,即?m≥3,即m≥9. 综上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故选A. (2)如图,在圆O中,F1F2为直径,P是圆O上一点,所以PF1⊥PF2,设以OF1为

直径的圆的圆心为M,且圆M与直线PF2相切于点Q,则M???? ? 2c,M, 0 Q??? ⊥PF

c 3c

? ? 2,所以PF1∥MQ,所以?| M Q=?| |,即M F 2 | = 2 ,可得2 |PF1|=?,所以2 c |PF2|=

| P F1 | | F1F2 | | P F 1 | 2 c

3

? ?2 c +2a,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以?4 c 2 +

3

9

? ??

23c=?4c22a,即??? 2 7e2-6e-9=0,解得e

=?3 ? 6或e2 =?(舍3 ?去6 ).2故选D.

7

7

方法归纳 圆锥曲线几何性质的应用 (1)分析圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键. (2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是建立一个关于a, b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式. 建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几 何性质.

跟踪集训

1.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭

圆中心到l的距离为其短轴长的?1 ,则该椭圆的离心率为?( )
4

A.?1 B1 .? 2C.? 3 D.?

3

2

3

4

答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc

=a·?b ,所以e=c ?1 =?.故选B.

2

a2

?

2.(2017湖南长沙模拟)A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点, O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是?( ) A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2
答案 A 过A向准线作垂线,设垂足为B,准线与x轴的交点为D.连接 BF.因为∠OFA=120°,所以△ABF为等边三角形,∠DBF=30°,从而p=|DF| =2,因此抛物线的准线方程为x=-1,选A.

3.(2017湖南五市十校联考)已知F1,F2分别是双曲线E:?ax 22 -?by 22 =1(a>0,b>0)
的左、右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M,N,已 知△MF2N是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是?( )
A.?2 B.2 C.1+? 2 D.2+? 2
答案 C 由已知得?b 2 =2c,则c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-1=0,解得e=1±?,2
a
又e>1,所以e=1+?2,故选C.

考点三 直线与圆锥曲线
1.判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法: (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消 去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交 点坐标; (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线,根据图形判断公共点个数.

2.弦长公式

斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2). 则|PQ|=|x1-x2|?1 ? k 2

=?[(. x1?x2)2?4x1x2](1?k2)

? 或|PQ|=|y1-y2|

1?

1 k2

? = [(y(1k?≠y02))2. ?4y1y2]???1?k12???

3.弦的中点

圆锥曲线C:f(x,y)=0的弦为PQ.若P(x1,y1),Q(x2,y2),中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0,

y1+y2=2y0.

典型例题

(2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于

点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并

延长交C于点H.

(1)求?|| OO HN;

| |

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

? 解析

(1)由已知得M(0,t),P

? ?

?

t 2

2
p., t

? ? ?

又N为M关于点P的对称点,故N???? tp2 ,,Ot ??? N的方程为y=?xpt ,代入y2=2px整

? 理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2= 2 t 2 . p

? 因此H?? ?

2

t

2
.

,

p

2

t

? ? ?

所以N为OH的中点,即?| O H=2| .
|O N |
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.

理由如下:

直线MH的方程为y-t=?p x,即x=2?t (y-t).

2t

p

代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,

所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.

方法归纳 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤 (1)设方程及点的坐标; (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是 否为零); (3)应用根与系数的关系及判别式; (4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.

跟踪集训

1.过点M(1,1)作斜率为-?12 的直线与椭圆Cax:?22 +by 22?=1(a>b>0)相交于A,B两
点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于?( )

A.?1 B.?2 C.?3 D.?3

2

2

2

3

答案 B 设A(x1,y1),B(x2,y2),

? ? 则

x

2 1

a2

+y
b

2 1 2

=1,①

? ? x

2 2

+y

2 2

=1.②

a2 b2

①②两式相减并整理得?y 1 ?=y-2?·b?2 .x 1 ? x 2
x1 ? x2 a 2 y1 ? y2

把已知条件代入上式得,-?1 =b-?2 ×2 ?,

2 a2 2

∴?b 2 =1?,故椭圆的离心率e=1?? b=2 ?.2

a2 2

a2 2

2.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=?x 2 上两点,A与B的横坐标
4
之和为4. (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直 线AB的方程.

解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),

? ? 则x1≠x2,y1=

x

2 1

,y2=x

2 2

,x1+x2=4,

4

4

于是直线AB的斜率k=?y 1 ?=y?2 =x11 .? x 2

x1 ? x2

4

(2)由y=?x 2 ,得y'=x?,

4

2

设M(x3,y3),由题设知?x 3 =1,
2
解得x3=2,于是M(2,1).

设直线AB的方程为y=x+m,

故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.

将y=x+m代入y=?x 2 得x2-4x-4m=0.
4

当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2?m. ? 1 从而|AB|=?2|x1-x2|=4?.2(m ?1) 由题设知|AB|=2|MN|, 即4?2=(2m(?m1+) 1),解得m=7. 所以直线AB的方程为y=x+7.

随堂检测

1.(2017江西南昌第二次模拟)若双曲线?ax 22 -?by 22 =1(a>0,b>0)的一条渐近线
的倾斜角为30°,则其离心率为?( )

A.2 B.2?2 C.?2 3 D.?3 2

3

2

答案 C 依题意可得双曲线的渐近线方程为y=±?b x,b?=tan 30°=?3 ,

aa

3

故?b 2 =1?,离心率e=c ?=c ?2 =?a 2 ? =b?2 =?4 ,2选3C.

a2 3

a

a2

a2

33

2.已知椭圆C:?ax 22 +b?y 22 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为

?3 ,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4?,3则C的方程为
3
?( )

A.?x 2 +?y 2 =1
32
C.?x 2 +?y 2 =1 12 8

B.x ?2 +y2=1
3
D.x ?2 +y ?2 =1
12 4

答案 A 由e=?3 3 得?ac =?3 3 ①,由△AF1B的周长为4?3,及椭圆定义,得

4a=4?3,得a=?,3代入①得c=1,

所以b2=a2-c2=2,故C的方程为?x 2 +?y 2 =1.
32

3.已知双曲线?y 2 -x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交
4

于A,B两点.O为坐标原点.若△OAB的面积为1,则p的值为

.

答案 ? 2
解析 双曲线的两条渐近线方程为y=±2x,抛物线的准线方程为x=-?p ,故
2
A,B两点的坐标为???? ? 2p,则, ?|Ap B??? |=2p,所以S△OAB=?·2p·12 ?=?2p =p12 2,解得p=
?2.

4.(2017山西太原模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交该

抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若|AB|=6,则△AOB的面积为

.

答案 ? 6 解析 由题意知焦点F的坐标为(1,0),当直线AB垂直于x轴时,|AB|=4,不 满足题意,所以直线AB的斜率存在且不为零,设为k,则直线AB的方程为y

=k(x-1),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=?4 ,y1·
k

? ? ? y2=-4,所以|y1-y2|=

1 k

62,因? 1为6 |AB|=

|y1-y1 2?|=k612,所以4

=6,解得??? 1 ?

1 k2

? ??

k=±?,2所以|y1-y2|=?1k=622??1,所6 以△6 AOB的面积为?×1×2?12 =?. 6 6


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