陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理学案 北师大版选修1-2

3.1.1
学习目标

归纳推理

1. 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义; 2. 能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备 在日常生活中我们常常遇到这样的现象: (1)看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家,推断天要下雨; (2)八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:归纳推理 问题 1:哥德巴赫猜想:观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ??, 50=13+37, ??, 100=3+97,猜想: 问题 2:由铜、铁、铝、金等金属能导电,归纳出 新知: 归纳推理就是由某些事物的 者由 理. ※ 典型例题 例 1 观察下列等式:1+3=4= 2 , 1+3+5=9= 3 , 1+3+5+7=16= 4 , 1+3+5+7+9=25= 5 , ?? 你能猜想到一个怎样的结论?
2
2 2

的思维过程.

. . 的推理, 或 的推

,推出该类事物的

的推理.简言之,归纳推理是由

2

变式:观察下列等式:1=1 1+8=9, 1+8+27=36, 1+8+27+64=100,
1

?? 你能猜想到一个怎样的结论?

例 2 已知数列 ?an ? 的第一项 a1 ? 1 , 且 an ?1 ? 公式.

an (n ?1 ,2 ,3 .) 1 ? an

, 试归纳出这个数列的通项

1 1 变式:在数列{ a n }中, an ? (an ? ) ( n ? 2 ) ,试猜想这个数列的通项公式. 2 an

※ 动手试试 练 1. 应用归纳推理猜测 111 1 ? 222
2 的结果.

练 2. 在数列{ a n }中, a1 ? 1 , an ?1 ?

2an ( n ? N * ),试猜想这个数列的通项公式. 2 ? an

三、总结提升 ※ 学习小结 1.归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质 中推出一个明确表述的一般性命题(猜想) ※ 知识拓展 1.费马猜想:法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在 1640 年通过对 F0 ? 22 ? 1 ? 3 ,
0

F1 ? 22 ? 1 ? 5 , F2 ? 22 ? 1 ? 17 , F3 ? 22 ? 1 ? 257 , F4 ? 22 ? 1 ? 65 537 的观察,发现其结
2

1

2

3

4

果都是素数,提出猜想:对所有的自然数 n ,任何形如 Fn ? 22 ? 1 的数都是素数. 后来瑞士 数学家欧拉发现 F5 ? 22 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417 不是素数,推翻费马猜想. 2.四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着 色工作时,发现了一种有趣的现象:“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的 国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩 尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿逻 辑判断,完成证明. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).
5

n

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列关于归纳推理的说法错误的是( )

A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2.若 f (n) ? n2 ? n ? 41, n ? N ,下列说法中正确的是( A. f (n) 可以为偶数 C. f (n) 一定为质数 3.已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x) ? C. f ( x) ? 4. f (n) ? 1 ? B. f (n) 一定为奇数 D. f (n) 必为合数 ). ).

2 f ( x) , f (1) ? 1 ( x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为( f ( x) ? 2

4 2x ? 2 1 x ?1

B. f ( x) ?

2 x ?1 2 2x ? 1

D. f ( x) ?

1 1 1 3 5 7 经计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? ? ? ??? ? (n ? N? ) , 2 3 n 2 2 2

猜测当 n ? 2 时,有__________________________. 5. 从 1 ? 12 , 2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 中得出的一般性结论是 __________ ___ 课后作业 1. 对于任意正整数 n,猜想 (2n ? 1) 与 (n ? 1)2 的大小关系. .

3

1 2 ? 2 ? an (n ? 2) , 2. 已知数列{ a n }的前 n 项和 Sn ,a1 ? ? , 满足 Sn ? 计算 S1 , S2 , S3 , S4 , 并 Sn 3

猜想 Sn 的表达式.

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