三角函数、平面向量基础知识--高三复习自制

一.角度与弧度:扇形弧长: l ? ? ? r ; 扇形周长: c ? l ? 2r ? ? ? r ? 2r ;扇形面积: s ? 二.三角函数的定义式:

1 1 l ? r ? ? ? r2 . 2 2

sin ? ?

y x ; c o s? ? r r

; t a? ? n

y x r r ; cot ? ? ; sec ? ? ;csc ? ? . x y x y

三.同角三角函数关系式:

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1;
四.诱导公式: (1) I : 2k? ? ? ;

c o 2? ? s

1 ; 1? t a 2 ? n
(2k ? 1)? ? ?

tan ? ?

sin ? . cos ?

2 k? ? ?

II: k ? 1? ? ? ?; ?2 III: k ? 1?? ? ?; ?2
IV:k? ? ? . 2
(2) I: ? ?;

?
2

??

?
2

??

正弦 正切
(2k ? 1)? ? ? 3? ?? 2

一全正 余弦

?

II: ? ? . 2

?

2

2 k? ? ? 3? ?? 2

(记法:①名称;②符号.也可参照右侧的图) 五.三角函数的图像: 1.五点法作图:

?x ? ?

0

? 2

?

3? 2

2?

x
y ? sin(? x ? ? )
2.图像变换: 0 1 0 -1 0

y ? sin x ? y ? Asin ??x ? ? ? ? k .
题型:(1).五点法作图: y ? Asin ??x ? ? ? ; y ? Acos ??x ? ? ? . (2).已知图像求函数的解析式; (3).已知图像变换求函数的解析式。 ) 六.三角函数的性质:
1

1.定义域: (题型:解三角不等式,利用三角函数线或函数图像) 2.求值域类型: (1) y ? Asin ??x ? ? ? , x ??a, b? ; (2) y ? a sin 2 x ? b sin x ? c (二次函数型) ; (3) y ? a sin 2 x ? b sin x ? cos x ? c cos2 x (降幂—倍角—提斜边) ;

令 (4)y ? a ?sin x ? cos x ? ? b sin x ? cos x (换元法: sin x ? cos x ? t ) ;
(5) y ?

a sin x ? b (方法:①反表示;②分离常数;③数形结合。 ) c sin x ? d 2?
;

3.周期性: (1) y ? A sin ?? x ? ? ? ? T ?

?
2

(2) y ? A sin ?? x ? ? ? ; y ? A sin

?? x ? ? ? ? T ?
2?

? ; ?

(3) y ? A sin ?? x ? ? ? ? k ( k ? 0) ? T ?

? ; ? ? (5) y ? A tan ?? x ? ? ? ? T ? . ?
(4) y ? A tan ?? x ? ? ? ? T ? 4.奇偶性:

?

;

(1) y ? A sin ? x ? 奇函数;y ? A cos ? x ? 偶函数 ;

(2) ?

?若y ? A sin ?? x ? ? ? 为奇函数则? ? k? ; ? ? ?若为偶函数则? ? k? ? ;(k ? Z) ? 2

?若y ? A cos ?? x ? ? ? 为偶函数则? ? k? ; ? (3) ? ? ?若为奇函数则? ? k? ? .(k ? Z ) ? 2
5.单调性: (1) y ? sin x :

2

? ?? ? 增:2k? ? , 2k? ? ? ; ? 2 2? ?

? 3? ? ? 减:2k? ? , 2? ? ? k(? Z ) k ? 2 2? ?
减: k? , 2 ? ? ? (? Z ) k ?2 ? k

(2)y ? cos x : 增: k? ? ? ,2k? ? (k ? Z); ?2 (3) y ? tan x : 增:k? ? ? 6.对称性: (1) y ? sin x : 对称轴:x ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??

? , (k ? Z ). 2?
; 对称中心:k? , 0 ?;(k ? Z); ?

?
2

(2) y ? cos x : 对称轴:x ? k? ; 对称中心:k? ? ?

? ?

?

? , 0 ?;(k ? Z); 2 ?

(3) y ? tan x 对称中心: k? , 0 ?;(k ? Z) ? 七.三角恒等变换:

?1 ?2

? ?

sin ?? ? ? ?; ?? ? ? ?;tan ?? ? ? ?; cos
2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? cos 2 ; 2? ? sin . 升 降幂公式: ? ? 2 2
变形公式: tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ?1 ? tan ? ? tan ? ? (题型 1.求值;2.角的代换;3.已知三角函数值求角;

sin 2?; 2?;tan2?;tan cos

?

? ? ? 3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ? 6 ); ? ? ? 4.提斜边: ?sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ); 4 ? ? ? ?sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ? 3 ) ?
5.化为 y ? Asin ?? x ? ? ? ? k ? 三角函数的性质.)

3

八.平面向量 1.向量的加减法:

??? ??? ??? ? ? ? AB ? AC ? CB;

??? ??? ??? ? ? ? A B? B C A B ? ;

??? ??? ? ? ???? AB ? AC ? 2 AD( D为BC中点) ;
2.向量的特殊位置关系的应用及坐标运算: 设a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , (1) a ? b ? a ? b ? cos a, b ? x1 x2 ? y1 y2

?

?

? ?

? ?

? ?



(2) a // b ? a ? ?b(b ? 0, ?唯一) x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; ? (3) a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 (4)a ? a

? ?

?

??

?

?

?

? ?



? x12 ? y12 ; (不知坐标时用前面的方法—先平方再开方) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b (5) cos a, b ? ? ? ? . a?b x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2
3.向量的分解与共线:

?

?2

? ? ? ? ? ( ) ? ? a ? ?b,(a, b不共线,?,?是唯一实数.)向量分解的唯一性! 1 c
??? ? ??? ? ??? ? (2)已知OP ? ? OA ? ?OB, ①若? ? ? ? 1,则P,A,B三点共线;
②若P,A,B三点共线,则? ? ? ? 1. 若P,A,B三点共线,且PA:PB=m:n,则有 ??? ? n ??? ? ? m ??? OP= OA ? OB m+n m?n
O A m P n B

4.中点和重心的坐标公式:已知A ? x1, y1 ? , B? x2 , y2 ? ,C ? x3, y3 ?

? x ? y x ? y2 ? ? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? AB中点 ? 1 1 , 2 ? , ?; ABC的重心 ? ? 2 ? 3 3 ? 2 ? ?

4

5


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