《金版新学案》高一数学 1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时函数的单调性)课件 新人教A版_图文

1.3.1 单调性与最大(小)值(第1课时 函数的单调性)

1.函数的三要素是指定义域、值域、对应关 系. 2. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象是抛物 ? b 4ac-b2? b ?,对称轴是 x=- . 线,顶点为?- , 2a 4a ? ? 2a

1.定义域为Ⅰ的函数f(x)的增减性

2.函数的单调区间

增函数(或减函数) 如果函数y=f(x)在区间D上是__________________,那么
就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做 y=f(x)的____________. 单调区间

1.在增减函数定义中,能否把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”? 【提示】 不能.如图所示,

虽然f(-1)<f(2),但f(x)在[-1,2]上并不递增.

2.结合函数单调性定义和例1,怎样判断函数的单 调性或求函数的单调区间?

【提示】 (1)函数单调性的判断方法有三种:一
是依据单调性的定义;二是依据函数的图象;三是依据 已知函数的单调性判断.如已学过的一次函数、二次函

数、反比例函数的单调性情况.

函数单调性的判断或证明

证明函数 f(x)= x在[0,+∞)上是增函数.
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①函数解析式中含有根号; ②用定义证明. 解答本题只需按照函数单调递增的定义加以证明.

【证明】 设 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2. x1-x2 则 f(x1)-f(x2)= x1- x2= . x1+ x2 ∵0≤x1<x2,∴x1-x2<0, x1+ x2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 由定义, f(x)= x在[0, 知 +∞)上为增函数.

证明函数单调性的常用方法是定义法或图象法,利

用定义法判断函数单调性的步骤为:

1 1.证明函数 f(x)=- -1 在区间(-∞,0)上 x 是增函数. 【证明】 设 x1,x2 为区间(-∞,0)上的任
意两个值,且 x1<x2.
? ? ? 1 1 1 1 ? ? - -1?-?- -1?= - = f(x1)-f(x2)= x x2 ? x2 x1 ? ? ? 1 ? ? ? ?

x1-x2 x1x2 , ∵x1<x2<0, ∴x1-x2<0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 1 故 f(x)=-x-1 在区间(-∞,0)上是单调增 函数.

求函数的单调区间
已知函数y=f(x)的图象如图所示,试根据

图象研究函数的单调区间.

【思路点拨】 结合图象―→确定单调区间 【解析】 函数的定义域为R,由图象可知,(-∞,-1)和[0,1)是 这个函数的递增区间,[-1,0)和[1,+∞)是这个函数的递减区间.

(1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法.但要

注意函数的定义域.
(2)写单调区间时,不连续的单调区间必须分开写,不能 用“∪”符号连接它们.

1 如函数 y=x,其定义域为(-∞,0)∪(0,+ ∞),不能笼统地说,函数在(-∞,0)∪(0,+∞) 上单调递减,而只能说函数在(-∞,0)和(0,+ ∞)上递减.因为若在(-∞,0)∪(0,+∞)上递 减,对-1<1,则有 f(-1)>f(1),而事实上 f(- 1)<f(1). (3)求函数的单调区间不能忽视定义域,单调 区间应是定义域的子集.

2.如图为函数y=f(x)的图象,根据图象写出函数的单调区间并
判断在每一区间它是增函数还是减函数.

【解析】 由函数y=f(x)的图象知单调区间有(-∞,-

2),
[-2,1),[1,3)和[3,+∞).其中,在区间(-∞,-2)和 [1,3)上函数f(x)为增函数;在区间[-2,1)和[3,+∞)上函数

f(x)为减函数.

函数单调性的应用

已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+3在区间(-∞,4]上是减
函数,求实数a的取值范围. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息:

①所给函数为二次函数,且含有参数;
②函数在区间(-∞,4]上是减函数. 解答本题可先将函数解析式配方,然后找出图象的对称

轴,再考虑对称轴与所给区间的位置关系,利用数形结合求
解.

【解析】 f(x)=x2-2(a-1)x+3

=[x-(a-1)]2-(a-1)2+3,
∴此二次函数的对称轴为x=a-1. ∴f(x)的单调减区间为(-∞,a-1].

∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,
∴对称轴x=a-1必须在直线x=4的右侧或与其重合. ∴a-1≥4,解得a≥5.

(1)二次函数是常见函数,遇到二次函数后就配方找 对称轴,画出图象,会给研究问题带来很大的方便. (2)已知函数单调性求参数的取值范围,要注意数形 结合,采用逆向思维方法.

3.本例中,若将函数“在区间(-∞,4]上是减 函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”, 则a为何值? 【解析】 由例题知函数f(x)的单调递减区间为 (-∞,1-a], ∴a-1=4,a=5.

1.解读函数单调性的定义
(1)定义中的关键词: ①“定义域I内某个区间D”,即函数的单调区间是其定

义域的子集.单调性是与“区间”紧密相关的,一个函数在
不同区间可以有不同的单调性;

②“对于?”,“任意?”,“都有?”,“对于” 即两个自变量x1,x2,必须取自给定的区间;“任意”即不 能用特殊值代替;“都有”即只要x1<x2,就必须有f(x1)< f(x2)或f(x1)>f(x2). (2)函数单调性的刻画: ①图形刻画,对于给定区间上的函数y=f(x),它的图 象若从左向右连续上升(下降),则称函数在该区间上是单调 递增(减)的; ②定性刻画,对于给定区间上的函数y=f(x),若函数 值随自变量的增大而增大(减小),则称函数在该区间上是单 调递增(减)的.

2.判定函数单调性的常见方法

(1)定义法.这是证明或判定函数单调性的常用方法.
(2)图象法. 根据函数图象的升、降情况进行判断.

(3)直接法.
运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函 数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接

判断函数的单调性,可用到以下结论:
①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.

1 ②函数 f(x)恒为正或恒为负时,函数 y=f(x) 与 y=f(x)的单调性相反. ③在公共区间内, 增函数+增函数=增函数, 增函数-减函数=增函数等.

已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)< f(1-x),求x的取值范围.

【错解】 ∵f(x)是定义在[-1,1]上的增函数 且 f(x-2)<f(1-x), 3 所以 x-2<1-x,解得 x<2. 又-1<x<1, 3 故所求 x 的范围为(-∞, )∩(-1,1)=(- 2 1,1).

【错因】 出现上述错误解法的原因主要为不清楚
抽象函数的定义域,在抽象函数中满足函数关系式的自 变量首先应在定义域内,这是一个极易被忽视也是极易

出现错误的地方,也就是说变量x首先应满足-1≤x-
2≤1,-1≤1-x≤1,在此基础上利用单调性的定义将“ f ”符号脱掉.

【正解】 由题意可知
?-1≤x-2≤1 ? , -1≤1-x≤1 ?

解得 1≤x≤2① 又 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f(x-2)<f(1 -x), 3 ∴x-2<1-x,即 x<2② 由①、②可知,所求自变量 x 的取值范围为 3 {x|1≤x<2}.

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