湖南省衡阳市八中2013届高三第六次月考理科数学试题

衡阳市八中 2013 届高三第六次教学质量检测 数 学(理科)
命题人: 颜 军 (考试内容:全部内容) 审题人: 钟小霖

本试卷分为第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每个小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的. 1.i 是虚数单位,若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? i ,则复数 z 的实部与虚部的和是 ( ) A.0 2.设 x , y ? R ,则“ x B.-1
? 2且 y ? 2

C.1 ”是“ x 2
? y ? 4
2

D.2 ”的

( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数
f ( x ) ? s in (? x ?

?
4

)( x ? R , ? ? 0 )

的最小正周期为 ? ,为了得到函数 )
?
8

g ( x ) ? co s ? x 的图象,只要将 y ? f ( x )

的图象(

A.向左平移

?
8

个单位长度

B. 向右平移

个单位长度

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C .向左平移 4.已知 s in ? A. ?
5 3
? 2 3

?
4

个单位长度
? 2? )

D .向右平移 等于 ( C. ?
1 9

?
4

个单位长度

,则 co s(3? B.

) D.
5 3
2

1 9

5.某校在模块考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩 ? (a
?0
3

~ N (9 0, a ) ,

,试卷满分 150 分),统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分
5

之间的人数约为总人数的 , 则此次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数 约为 A.200 B.300 C.400 ( ) D.600

6.已知平面上三个点 A、B、C 满足 |
??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AB ? BC ? BC ?CA ? CA ? AB

??? ? ??? ? ??? ? A B | ? 3, | B C | ? 4, | C A | ? 5

,则

的值等于 C.-25 D.-24

A.25 7.设 x,y

( ) B.24

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ?

, 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 12, 则 A.
2 a 8 3 ? 3 b

的最小值为( B.
25 6

). C.
11 3

D. 4
f ( a ) f (b ) f ( c ) ? 0

8.已知 且0 ?

1 x f ( x ) ? ( ) ? lo g 2 x 3

,实数 a 、 b 、 c 满足
f (x)

,

a ?b?c

,若实数 x 0 是函数 ) (B) x 0
? b

的一个零点,那么下列不等式中,不可能 ...

成立的是( (A) x 0
? a

(C) x 0

?c

(D) x 0

? c

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题(本大题共 8 个小题,考生作答 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分, 把答案填在答题卡中对应号后的横线上。) ... (一)选做题(请考生在 9、10、11 三题中任一题作答,如果全做,则按前 二题记分) 9.在极坐标系中,曲线 C 1 : ?
? 2 cos ?

,曲线 C 2 : ?

?

?
4

,若曲线 C 1 与曲线 C 2 交

于 A、B 两点,则|AB|=________. 10.如图,⊙O 与⊙P 相交于 A,B 两点,点 P 在⊙O 上,⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B,CP 及其延长线交⊙P 于 D,E 两点,过点 E 作 EF⊥CE 交 CB 的延长线于点 F,若 CD=2,CB= 2
cos ? BFE ?

2

,则


? 1 |? (| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |)

11.若关于 x 的不等式 | a

的解集非空,则实数 a 的取值

范围是 。 (二)必做题(12~16 题) 12.在等比数列 { a n } 中,首项 a 1
? 2 3 , a4 ?

?

4

(1 ? 2 x ) d x

,则公比为

。 .

1

13. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于

5 5 2

14. 设

f (x)

、 g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时 且 g ( ? 3) ? 0 ,则不等式 .
? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F
f ( x ) g ( x ) ? 0 的解集

f '( x ) g ( x ) ? f ( x ) g '( x ) ? 0

为 15.设抛物线 y 2

,点 A (0, 2) .若线段 F A 的中点 B 在抛物

线上,则 B 到该抛物线准线的距离为____。 16.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且数列 { a n } 的各项按如下规则排列:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n ?1 , , , , , , , , , ,? , , ,? , ,? , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n n

则 a1 5 =

,若存在正整数 k,使 S k

? 1 0, S k ? 1 ? 1 0

,则 k=



三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
17.本小题满分 12 分) ( △ABC 中, A、 C 对边分别是 a、 c, 角 B、 b、 满足 2 A B ? A C
??? ???? ? ? a ? (b ? c )
2 2



(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 2 求
3c s o
2

C s (? i n 2

4? ) ? B 3

的最大值, 并求取得最大值时角 B、 的大小. C

18.(本小题满分 12 分) 甲袋中装有大小相同的红球 1 个,白球 2 个;乙袋中 装有与甲袋中相同大小的红球 2 个,白球 3 个.先从甲袋中取出 1 个球投入乙袋 中,然后从乙袋中取出 2 个小球. (Ⅰ)求从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率; (Ⅱ)记从乙袋中取出的 2 个小球中白球个数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列 和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,BD⊥平面 ABC,AE∥BD,AB=BC=CA=BD= 2AE=2,F 为 CD 中点. (Ⅰ)求证:EF⊥平面 BCD; (Ⅱ)求二面角 C-DE-A 的余弦值; (Ⅲ)求点 A 到平面 CDE 的距离.

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 { a } 的前 n 项和为 S , a
n n

1

? 1 ,且
2 n ?1

n a n ?1 ? 2 S n

( n ? N ),数列 {b } 满足 b
*
n n n

1

?

1 2

,b

2

?

1 4

,对任意 n ? N ,都有 b
*

? bn ? bn ? 2



? n Tn

(Ⅰ)求数列 { a } 、 {b } 的通项公式; (Ⅱ)令 T ? a b ? a b ? ? ? a b ,若对任意的 n ? N ,不等式 ? 2 b S ? 2 ( ? n ? 3 b ) 恒成立,试求实数 λ 的取值范围.
*
n 1 1 2 2 n n n n n

21.(本小题满分 13 分) 已知双曲线 W:
1 2

点分别为 F 、 F ,点 N (0, b ) ,右顶点是 (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过点 Q (0, ? 2 ) 的直线 l 交双曲线 W 的右支于 A、B 两个不同的点(B 在 A、Q 之间),若点 H (7 , 0 ) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,试求△ AQH 与△ BQH 面积之比 λ 的取值范围.

? `1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、右焦 2 2 a b ???? ????? ? M,且 M N ? M F2 ? ? 1 , ? N M F2 ? 1 2 0 ? . ?

x

2

y

2

22. (本小题满分 13 分) 设函数

f (x) ? 1 ? e

?x

, 函数 g ( x ) ?

x ax ? 1

(其中 a ? R ,

e 是自然对数的底数). (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 h ( x ) ? f ?( x ) ? g ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x ) ? g ( x ) 在 [0 , ? ? ) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;

2n?

(Ⅲ)设 n ? N ,求证: e
*

?
k ?1

n

4 k ?1

n ( n ?1 )

? n! ? e

2

(其中 e 是自然对数的底数).

衡阳市八中 2013 届高三第六次教学质量检测 数 学(理科)
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 1-4. BAAC;5-8.ACBD. 二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分. 9. 15.
2

;

10.

1 3

;

11; ? ? ? , ? 3 ? ? ?5 , ?? ? ;
5 6

12.3;

13.

16 3

; 14.? ? ? , ? 3 ? ? ?0 , 3 ? ;

3 2 4

; 16.

,20.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 17.解答 (Ⅰ)由已知 2 b c co s A ? a ? b ? c ? 2 b c , ····················· 2 分 ·····················
2 2 2

由余弦定理 a ∵0 ?
A??

2

? b ? c ? 2 b c co s A
2 2

得 4 b c co s A ? ? 2 b c ,∴ c o s A ?

?

1 2

, ······ 分 ····· 4

,∴ A ?
2? 3

2? 3

. ········································ 6 分 ········································
?

(Ⅱ)∵ A ?
2 3 co s
2

,∴ B
3

?
3

?C

,0 ? C
2

?

?
3

.
?
3 ? B) ? 3 ? 2 sin ( C ?

C 2

? sin (

4?

? B) ? 2 3 ? ? C ? 3 cos

1 ? co s C

? sin (

?
3

)

.····· 8 分 ·····

∵0 ? C ∴当 C

? ?

?
3

,∴
?

?
3

?
3
2

? C 2

2? 3


4? 3 ? B ) 取最大值

?
3

?
2

,2

? sin (

3 ? 2

,解得 B

? C ?

?
6

. 12

分 18.解答 (Ⅰ)记“乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球”为事件 A,包含 如下两个事件:“从甲袋中取出 1 红球投入乙袋,然后从乙袋取出的两球中 仅 1 个红球”、“从甲袋中取出 1 白球投入乙袋,然后从乙袋取出的两球中 仅 1 个红球” 分别记为事件 A1、 2, A1 与 A2 互斥, P ( A , A 且 则:
P ( A2 ) ? 2 3
1 5

)? 1

1 3

?

C 3C 3 C6
2

1

1

?

1 5



?

C 2C 4 C6
?
2

1

1

?

16 45

, ··········································· 4 分 ···········································

∴ P ( A) ?

16 45

?

5 9


5 9

故从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率为 . ············ 分 ··········· 6 (Ⅱ) ? =0、1、2.
P (? ? 0 ) ? 1 3 P (? ? 2 ) ? 1 3 ? ? C3
2 2 2 1 1 1 1

?

2 3

?

C2 C6

C6 C3

2

?

1 9

, P (?

? 1) ?

1 3

?

C 3C 3 C6
2

?

2 3

?

C 2C 4 C6
2

?

5 9



2 2

?

2 3

?

C4 C6

2 2

?

1 3

C6

,(答对一个得 1 分)····················· 分 ···················· 9

∴ ? 的分布列为 ? 0

1

2

P ∴ E?
? 0? 1 9 ? 1?

1 9
5 9 ? 2? 1 3 ? 11 9

5 9

1 3

.(分布列 1 分,期望 2 分;分布列部分对给 1 分)

·································································· ································································· 12 分 19.解析(Ⅰ)取 BC 中点 G 点,连接 AG,FG,∵F,G 分别为 DC,BC 中点, ∴FG∥BD 且 FG= BD,又 AE∥BD 且 AE= BD,∴AE∥FG 且 AE=FG,
2 2 1 1

∴四边形 EFGA 为平行四边形,则 EF∥AG, ∵BD⊥平面 ABC, ? BD⊥AG, ∵G 为 BC 中点,且 AC=AB,∴AG⊥BC,∴AG⊥平面 BCD, ∴EF⊥平面 BCD. ·············································· 分 ············································· 5 ???? ??? ? ???? ? (Ⅱ)取 AB 的中点 O 和 DE 的中点 H,分别以 O C 、O B 、O H 所在直线为 x、 y、z 轴建立如图空间直角坐标系,则 C ( 3 , 0, 0 ) , D (0 ,1, 2 ) , E (0, ? 1,1) , A (0, ? 1, 0 ) , ???? ???? C D ? ( ? 3 ,1, 2 ) , E D ? (0, 2,1) .设面 CDE 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,则
???? ?n ? C D ? ? 3 x ? y ? 2 z ? 0, ? 1 取 n 1 ? ( 3 , ? 1, 2 ) ???? ? ?n1 ? E D ? 2 y ? z ? 0, ?
1

, ········ 分 ······· 8

取面 ABDE 的法向量 n 由 cos ? n
1

2

? (1, 0, 0 )
?


3 ?
2 2

,n 2 ??

n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |

6 4



( 3 ) ? ( ? 1) ? 2 ? 1
2

9分

故二面角 C-DE-A 的余弦值大小为 (Ⅲ)由(Ⅱ),面 CDE 的法向量 n 则点 A 到平面 CDE 的距离 d 分 20.解答 (Ⅰ)∵ n a na ? ( n ? 1) a ? 2 a ,
n ?1 n n

6 4

. ······· 10 分 ······· , AE
2

?

???? | A E ? n1 | | n1 |

1

? ( 3 , ? 1, 2 )
?
2

??? ?

? (0, 0,1)
?
2

, . ········ ······· 12

2 ( 3 ) ? ( ? 1) ? 2

2 2

n ?1

? 2Sn

,∴ ( n ? 1) a
n ?1 n

n

? 2 S n ?1

( n ? 2 ),两式相减得, ( n ? 2 ),

∴ na

n ?1

? ( n ? 1) a n

, 即

a n ?1 an

?

, a ∴

n

? a1 ?

an a2 a3 2 3 n ? ?? ? ? 1? ? ? ?? ? ?n a1 a 2 a n ?1 1 2 n ?1
*

a 1 ? 1 满足上式,故数列 { a n } 的通项公式 a n ? n ( n ? N

). ··············· 分 ·············· 4
1 2

在数列 {b } 中,由 b
n n

2 n ?1

? bn ? bn ? 2

,知数列 {b } 是等比数列,首项、公比均为 ,
n

∴数列 {b } 的通项公式 b n
1

?

1 2
n

(若列出 b 、 b 、 b 直接得 b 而没有证明扣 1
1 2 3

n

分)······························································ 分 ····························································· 6 (Ⅱ)∴ T ∴
1
n

?

1 2 1 n ?1 1 n ? 2 ? ( ) ? ? ? ( n ? 1) ? ( ) ? n?( ) 2 2 2 2

① ② ,

1 2 1 3 1 n 1 n ?1 T n ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ? ( n ? 1)( ) ? n ( ) 2 2 2 2 2 1 2 Tn ? 1

由①?②,得

1 2 1 3 1 n 1 n ?1 n? 2 ? ( ) ? ( ) ?? ? ( ) ]? n ?( ) ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2

∴T

n

? 2?

n? 2 2
n
n

, ··············································· 8 分 ···············································
n? 2 2
n

不等式 ? n T
2

? 2 b n S n ? 2 ( ? n ? 3 b n ) 即为 ? n ( 2 ?
*

)?

n ( n ? 1) 2
n

? 2(? n ?

3 2
n

)



即 (1 ? ? ) n ? (1 ? 2 ? ) n ? 6 ? 0 ( n ? N )恒成立. ······················· 分 ······················ 9 方法一、设 f ( n ) ? (1 ? ? ) n ? (1 ? 2 ? ) n ? 6 ( n ? N ), 当 ? ? 1 时, f ( n ) ? ? n ? 6 ? 0 恒成立,则 ? ? 1 满足条件; 当 ? ? 1 时,由二次函数性质知不恒成立;
2

*

当?

? 1 时,

由于 ?

1 ? 2? 1? ?

? 0

,则

f (n)

在 [1, ? ? ) 上单调递减,

f ( n ) ? f (1) ? ? 3 ? ? 4 ? 0

恒成立,则 ? ? 1 满足条件. 综上所述,实数 λ 的取值范围是 [1, ? ? ) .··························· ·························· 12 方法二、也即 ?
2


? n ? n?6
2

n ? 2n
2

( n ? N )恒成立, ······················ 9 分 ······················
*

令 分

f (n) ?

n ? n?6 n ? 2n
2

.则

f (n) ? 1 ?

n?6 n ? 2n
2

?1?

1 n ? 2n
2

?1? (n ? 6) ?

1 24 n?6 ? 10

,· 10

n?6

由 n ? 6 ? 7 ,( n ? 6 ) ? 时, 分
f ( n ) ? 1 ,且 f ( n ) ? 1

24 n?6

? 10

单调递增且大于 0,∴

f (n)

单调递增,当 n ?

??

,故 ?

? 1 ,∴实数

λ 的取值范围是 [1, ? ? ) . ······· 13 ·······

21.解答 (Ⅰ)由已知 M ( a , 0 ) , N (0, b ) ,
???? ????? ? 2 M N ? M F2 ? ( ? a , b ) ? ( c ? a , 0 ) ? a ? a c ? ? 1

F2 ( c , 0 )


a ?c
2 2

, ,∴ b ?
2

∵?NMF

2

? 120

?

,则 ? N M F
3

1

? 60

?

3a

,∴ c ?
y
2

? 2a



解得 a ? 1 , b ?

,∴双曲线的方程为 x

?

? `1

3

. ·················· 4 分 ··················
1

(Ⅱ)直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 A ( x
2

, y1 )

、B ( x

2

, y2 )



?3 ? k ? 0, ? 2 2 ? ? ? 1 6 k ? 2 8 (3 ? k ) ? 0 , ? y ? kx ? 2, ? ? 由? 2 y2 得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 4 kx ? 7 ? 0 ,则 ? x ? x ? 4 k ? 0 , 1 2 2 x ? ? `1 ? k ?3 ? 3 ? ? 7 ? x1 x 2 ? 2 ? 0, k ?3 ?

解得 3 ? k ? 7 . ① ······································· 6 分 ······································· ??? ???? ? ∵点 H (7 , 0 ) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 H A ? H B ? 0 ,
???? ???? 2 H A ? H B ? ( x1 ? 7, y1 ) ? ( x 2 ? 7, y 2 ) ? ( x1 ? 7 ) ? ( x 2 ? 7 ) ? y1 y 2 ? (1 ? k ) x1 x 2 ? (7 ? 2 k )( x1 ? x 2 ) ? 5 3
2

? (1 ? k ) ?

7 k ?3
2

? (7 ? 2 k ) ?

4k k ?3
2

? 53 ?

7 k ? 7 ? 8k ? 28k ? 53k ? 159
2 2 2

k ?3
2

? 0 ,解得 k ? 2





由①、②得实数 k 的范围是 2 ? k 由已知 ?
? S ?AQH S ?BQH ? | AQ | | BQ |

?

7

,···························· 分 ··························· 8
??? ? ??? ?
?1,

,∵B 在 A、Q 之间,则 Q A ? ? Q B ,且 ?

4k ? , ? (1 ? ? ) x 2 ? 2 ? k ?3 ∴ ( x1 , y1 ? 2 ) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2 ) ,则 x1 ? ? x 2 ,∴ ? 7 ?? x2 ? , 2 2 ? k ?3 ?

则 分

(1 ? ? )

2

?

?

16 7

? k

k
2

2

?3

?

16 7

(1 ? k
2

3
2

?3

)

, ······························· 10 ······························· ,又 ?
? 1 ,∴ 1 ? ? ? 7

∵2 ? k

?

7

,∴ 4 ?

(1 ? ? )

?

?

64 7

,解得 1
7

? ? ? 7



故 λ 的取值范围是 (1, 7 ) . ········································ ······································· 13 分 h 22. 解答 (Ⅰ)f ?( x ) ? ? e ? ( ? x ) ? ? e , 函数 h ( x ) ? f ?( x ) ? g ( x ) ? xe , ?( x ) ? (1 ? x ) ? e , 当 x ? 1 时, h ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, h ? ( x ) ? 0 ,故该函数在 ( ? ? ,1) 上单调递增,在
?x ?x ?x ?x

(1, ? ? ) 上单调递减.∴函数 h ( x )

在 x ? 1 处取得极大值 h (1) ?
?x

1 e

. ········· 分 ········ 4 , ∴
x ax ? 1 ? 0

(Ⅱ) 由题 1 ? e

?x

?

x ax ? 1

1 在 [0 , ? ? ) 上恒成立, x ? 0 , ? e ∵
? ? 1 x

? [0,1)



若 x ? 0 ,则 a ? R ,若 x ? 0 ,则 a 不等式 1 ? e
?x

恒成立,则 a ? 0 .
?x

?

x ax ? 1
?x

恒成立等价于 ( a x ? 1)(1 ? e
?x

)? x? 0

在 [0 , ? ? ) 上恒成立,

·································································· 分 ································································· 6 令 u ( x ) ? ( a x ? 1)(1 ? e ) ? x ,则 u ?( x ) ? a (1 ? e ) ? ( a x ? 1) e ? 1 , 又令? ( x ) ? a (1 ? e ) ? ( a x ? 1) e ? 1 ,则? ?( x ) ? e ( 2 a ? a x ? 1) ,∵ x ? 0 , a ? 0 . ①当 a ? 0 时,? ?( x ) ? ? e ? 0 ,则? ( x ) 在 [0 , ? ? ) 上单调递减, ∴? ( x ) ? u ?( x ) ? ? (0 ) ? 0 , ∴ u ( x ) 在 [0 , ? ? ) 上单减,∴ u ( x ) ? u (0 ) ? 0 ,即 f ( x ) ? g ( x ) 在 [0 , ? ? ) 上恒成立; ·································································· 分 ································································· 7
?x ?x ?x ?x ?x

②当 a

? 0

时,? ? ( x ) ?

?a ? e

?x

(x ? 1 2

2a ? 1 a

)



ⅰ)若 2 a ? 1 ? 0 ,即 0 ?

a ?

时,? ? ( x ) ? 0 ,则? ( x ) 在 [0 , ? ? ) 上单调递减,

∴? ( x ) ? u ?( x ) ? ? (0 ) ? 0 ,∴ u ( x ) 在 [0 , ? ? ) 上单调递减,∴ u ( x ) ? u (0 ) ? 0 ,此时 f ( x ) ? g ( x ) 在 [0 , ? ? ) 上恒成立;······································· 8 分 ······································· ⅱ)若 2 a ? 1 ? 0 ,即 a
? 1 2

时,若 0 ?

x?

2a ? 1 a

时,? ? ( x ) ? 0 ,则? ( x ) 在 (0 ,
2a ? 1 a )

2a ? 1 a

)

上单调递增,∴? ( x ) ? u ?( x ) ? ? (0 ) ? 0 ,∴ u ( x ) 在 (0 , ∴ u ( x ) ? u (0 ) ? 0 ,即 综上,不等式
f (x) ? g (x)

上也单调递增,

,不满足条件. ······················ 分 ····················· 9
1 2 ]

f (x) ? g (x)

在 [0 , ? ? ) 上恒成立时,实数 a 的取值范围是 [ 0 ,



·································································· ································································· 10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a
? 1 2

时,则 1 ? e

?x

?

x 1 2 x ?1

? e

?x

?

2? x 2? x



当 x ? [0 , 2 ) 时, e ∴ ln n ? 2 ? 分
4 n ?1

?x

?

2? x 2? x
*

? x ? ln
n

2? x 2? x

,令

2? x 2? x

? n

,则 x ?

2n ? 2 n ?1
n

? 2?

4 n ?1



(n ? N )

,∴ ? ln k
k ?1

? 2n ?

?

n

4 k ?1

,∴ ln ( n !) ?

2n ?

k ?1

?

4 k ?1

, ·· · 12

k ?1

又由 (Ⅰ) h ( x ) ? h (1) , xe 得 即

?x

?

1 e

ln , x>0 时, ( x e 当 n ( n ? 1) 2

?x

) ? ln

1 e

? ? ? 1 , n x ? x1 ∴l



ln ( n !) ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ?
n


n ( n ? 1) 2

综上得 2 n ? ? 分

4 k ?1

? ln ( n !) ?

n ?n
2

,即 e

2n?

?
k ?1

n

4 k ?1

? n! ? e

k ?1

2

. ············· 13 ·············


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