100测评网江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题


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江苏省无锡一中 2009 年高考数学模拟试题
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题 纸填空题的相应答题线上.)
1、命题“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ”的否定是_______________.(要求用数学符号表示). 2、已知平面向量 a ? (2m ? 1,3),b ? (2, m) ,且 a ∥ b ,则实数 m 的值等于 3、已知 ?ABC三边长分别为 a, b, c且a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,则 ?C ? . .

4、等差数列 {an } 中, S10 =120,那么 a 2 ? a9 =
5、函数 y ? 31? x 的值域是
1





6.给出 50 个数,1,3,7,13,21,?,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数 大 2,第 3 个数比第 2 个数大 4,第 4 个数比第 3 个数大 6,?,以此类推.以下流程图给 出了计算这 50 个数的和的一种算法,那么在(1)处应该填写的内容是 .

开 始 i←1,p←1,s←0
否 开始 输入 a,b,c,d
A _ B _ _ A B _

i≤50


s←s + p (1) i←i +1
俯视图
A _
1 _

m ? a ? 2b n ? 2b ? c p ? 2c ? 3d q ? 4d
输出 m,n,p,q 结束

B _

1 _

A _

1 _

正视图

B _

1 _

输出 s 结 束
第 6 题图 第 7 题图 第 10 题图

7.如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为 4,且侧棱 AA1 ? 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 4 的正方 形,该三棱柱的左视图面积为 8.若 z ? 1 ? 2 ,则 z ? 3i ? 1 的最小值为 9.曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的面积为 . . .

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10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文 (解密),已知加密规则如图所示,例如,明文 1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 . 当接收方收 到密文 9,10,22,24 时,则解密得到的明文为 .

11.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,所得小圆锥侧面积与原来大圆锥侧面积的比是 1∶ 2,那么小圆锥的高与原来大圆锥的高的比值是 .

12.规定符号 “ * ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b, a, b 是正实数,已知 1 ? k ? 7 ,则 函数 f ( x) ? k ? x 的值域是_____ _. D1 A1 P D A
第 14 题图

13. 若空间一点 P 到两两垂直的射线 OA, OB, OC 的距离分别为

C1 B1

a, b, c ,则以 OP 为半径的球的表面积为

.

14.如右图所示,在单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的面对角线

A1 B 上存在一点 P 使得 AP ? D1 P 最短,则 AP ? D1 P 的
最小值为 .

C B

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本题满分 14 分)

?? ? 已知函数 f ? x ? ? Acos 2 ?? x ? ? ? ? 1 ? A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? ? 的最大值为 3 , f ?x ? 的图 2? ? 像的相邻两对称轴间的距离为 2 ,在 y 轴上的截距为 2 .
(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)设数列 an ? f ? n ? , Sn 为其前 n 项和,求 S100 .

16.(本题满分 14 分) 如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,AC=BC,M、N、P、Q 分别 是 AA1、BB1、AB、B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:面 PCC1⊥面 MNQ; (Ⅱ)求证:PC1∥面 MNQ. C B P A M A1 N C1 Q B1

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17. (本题满分 15 分)
(m ? R ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知以 O 为圆心的圆与直线 l :y ? mx ? (3 ? 4m) ,

恒有公共点,且要求使圆 O 的面积最小. (1)写出圆 O 的方程; (2) 圆 O 与 x 轴相交于 A、 B 两点, 圆内动点 P 使 | PA | 、 求 PA ? PB | PO | 、 | PB | 成等比数列, 的范围; (3) 已知定点 Q( ?4 , 3) , 直线 l 与圆 O 交于 M、 N 两点, 试判断 QM ? QN ? tan ?MQN 是 否有最大值,若存在求出最大值,并求出此时直线 l 的方程,若不存在,给出理由.

18.(本题满分 15 分)

?12n(1 ? n ? 24, n ? N * ) ? * 某出版公司为一本畅销书定价如下: C ?11n(25 ? n ? 48, n ? N ) .这里 n 表示定购书的 ?10n(n ? 49, n ? N * ) ?
数量,C(n)是定购 n 本书所付的钱数(单位:元) (1)有多少个 n,会出现买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少? (2) 若一本书的成本价是 5 元,现有两人来买书,每人至少买 1 本,两人共买 60 本,问出版 公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?

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19.(本题满分 16 分)已知函数 y ? f ( x ) ? (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值;

ln x . x

1 处的切线方程; e

(Ⅲ) 设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值.

20.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? 切线 PM、PN,切点分别为 M、N.

t (t ? 0), 过点 P(1,0)作曲线 y ? f ( x) 的两条 x

(I)当 t ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (II)设|MN|= g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (III)在(II)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [ 2, n ?

64 ] 内,总存在 m+1 个 n

数 a1 , a2 ,?, am , am?1 , 使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立, 求 m 的最大值.

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数学附加题
2 0? 1、在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 在矩阵? ?0 1?对应的变换作用下得到曲 线 F,求 F 的方程.

2、 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P(x,y ) 是椭圆 最大值.

x2 ? y 2 ? 1上的一个动点, 求S ? x? y 的 3

2 3、求曲线 y ? x ? 4x ? 9 及直线 y ? x ? 3 所围封闭区域的面积.

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4、已知 x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a10 ( x ? 1)10 (1)求 a6 的值 (2)求

? ai 的值
i ?1

10

(3)求

?| a
i ?0

10

i

| 的值

江苏省无锡一中 2009 年高考数学模拟试题 答案

3 ? 2. 或-2 3. 2 3 (0,1)? (1,+ ?) 5. 6、p←p+2i

1. ?x ? R  , x2 ?1 ? 0

4.24 7、 8 3
2 2

8、1

9、

4 3

10 、 1,4,2,6 14、 2 ? 2

11 、

12 、 ?4, ? ?)

13 、

2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) π

15.【解】(Ⅰ)∵ f ? x ? ? ∴ A ? 2 .?1′ 又

A A A A cos ? 2? x ? 2? ? ? 1 ? ,依题意: ? 1 ? ? 3 , 2 2 2 2

T 2? ? ? 2 ,∴ ? 4 ,得 ? ? .?3′ 2 2? 4 ? ? ?? ? ∴ f ? x ? ? cos ? x ? 2? ? ? 2 . 令 x ? 0 得: cos 2? ? 2 ? 2 ,又 0 ? ? ? ,∴ 2? ? . 2 2 ?2 ? ?? ? 故函数 f ?x ? 的解析式为: f ? x ? ? 2 ? sin ? x ? ???6′ ?2 ? ?? ? ?? ? (Ⅱ)由 f ? x ? ? 2 ? sin ? x ? 知: an ? f ? n ? ? 2 ? sin ? n ? . ?2 ? ?2 ? 当 n 为偶数时, f ?n ? ? 2 ???10′
当 n 为奇数时, f ?1? ? f ?3? ? f ? 5? ? f ? 7 ? ? ∴ S100 ? 2 ? 50 ? 4 ? 25 ? 200 .???14′

? f ?97 ? ? f ?99? ? 4 .

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16.(Ⅰ)∵AC=BC, P 是 AB 的中点 C1 C ∴AB⊥PC Q ∵AA1⊥面 ABC,CC1∥AA1, N B B1 ∴CC1⊥面 ABC 而 AB 在平面 ABC 内 P ∴CC1⊥AB, A A1 M ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面 PCC1; 5分 又∵M、N 分别是 AA1、BB1 的中点,四边形 AA1B1B 是平行四边形,MN∥AB, ∴MN⊥面 PCC1 ∵MN 在平面 MNQ 内, ∴面 PCC1⊥面 MNQ; 8分 (Ⅱ)连 PB1 与 MN 相交于 K,连 KQ, ∵MN∥PB,N 为 BB1 的中点, ∴K 为 PB1 的中点. 又∵Q 是 C1B1 的中点 ∴PC1∥KQ 14 分 而 KQ ? 平面 MNQ,PC1 ? 平面 MNQ ∴PC1∥面 MNQ. 16 分

17. 解:(1)因为直线 l : y ? mx ? (3 ? 4m) 过定点 T(4,3)??? 2 分 由题意,要使圆 O 的面积最小, 定点 T(4,3)在圆上, 所以圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 25 ;??? 4 分
2 2 (2)A(-5,0),B(5,0),设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? y0 ? 25 ??(1)

PA ? (?5 ? x0 , ? y0 ) , PB ? (5 ? x0 , ? y0 ) ,
由 | PA |,| PO |,| PB | 成等比数列得, | PO |2 ?| PA | ? | PB | ,
2 2 2 2 2 2 即 x0 ,整理得: x0 ? y0 ? ? y0 ? ( x0 ? 5)2 ? y0 ? ( x0 ? 5)2 ? y0 2 即 x0 ?

25 , 2

25 2 ??(2) ? y0 2
2

由(1)(2)得: 0 ? y0 ?

25 25 2 2 2 , PA ? PB ? ( x0 ? 25) ? y0 ? 2 y0 ? , 2 4

? PA ? PB ?[?

25 ,0) ????????? 9 分 2

(3) QM ? QN ? tan ?MQN ?| QM | ? | QN | cos ?MQN ? tan ?MQN

?| QM | ? | QN | sin ?MQN ? 2S

MQN

,??? 11 分

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由题意,得直线 l 与圆 O 的一个交点为 M(4,3),又知定点 Q( ?4 ,3), 直线 lMQ : y ? 3 , | MQ |? 8 ,则当 N (0, ?5) 时 S 即 QM ? QN ? tan ?MQN 有最大值为 32, 此时直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 .??? 15 分
MQN

有最大值 32. ??? 14 分

18.(1)由于 C(n)在各段上都是单调增函数,因此在每一段上不存在买多于 n 本书比恰 好买 n 本书所花钱少的问题, 一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于 n 本书比恰 好买 n 本书所花钱少的现象. 解: C(25)=11 ? 25=275,C(23)=12 ? 23=276,∴C(25)<C(23)……..1 分 C(24)=12 ? 24=288,∴ C(25)<C(24)…………………..…………..2 分 C(49)=49 ? 10=490,C(48)=11 ? 48=528,∴ C(49)<C(48) C(47)=11 ? 47=517,∴ C(49)<C(47) C(46)=11 ? 46=506,∴ C(49)<C(46) C(45)=11 ? 45=495,∴ C(49)<C(45)……….. ……….………..……..5 分 ∴这样的 n 有 23,24,45,47,48……….……….………..……….. ……………6 分 (2)设甲买 n 本书,则乙买 60-n 本,且 n ? 30,n ? N (不妨设甲买的书少于或等
*

于乙买的书) ①当 1 ? n ? 11 时,49 ? 60-n ? 59 出版公司赚得钱数 f (n) ? 12n ? 60(60 ? n) ? 5 ? 60 ? 2n ? 300 …….. …7 分 ②当 12 ? n ? 24 时,36 ? 60- n ? 48, 出版公司赚得钱数 f (n) ? n ? 360 ……..……….. ………8 分 (3)当 25 ? n ? 30 时,30 ? 60- n ? 35, 出版公司赚得钱数 f (n) ? 11? 60 ? 5 ? 60 ? 360 ……..……….. ………9 分

?2n ? 300,1 ? n ? 11 ? ∴ f (n) ? ? n ? 360,12 ? n ? 24 ……..………………………………..10 分 ?360, 25 ? n ? 30 ?

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∴当 1 ? n ? 11 时, 302 ? f (n) ? 322 当 12 ? n ? 24 时, 372 ? f (n) ? 384 当 25 ? n ? 30 时, f (n) ? 360 ………. .………. .………. .………...……..11 分 故出版公司至少能赚 302 元,最多能赚 384 元.………. .……….………..12 分 19.解(Ⅰ)? f ( x) 定义域为 ?0,???

? f / (x) ?

1 - lnx x2

2分

1 ? f ( ) ? ?e e / 1 2 又 ? k ? f ( ) ? 2e e 1 ? 函数 y ? f ( x) 的在 x ? 处的切线方程为: e 1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e
(Ⅱ)令 f / ( x) ? 0 得 x ? e

4分

5分 6分

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ? (e,??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数 8分 10 分

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

(Ⅲ)? a ? 0 ,由(2)知:

F ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减.

? F ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值 f min ( x) ? min{F (a), F (2a)}
? F ( a ) ? F ( 2a ) ? 1 a ln 2 2
12 分 14 分 16 分

? 当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (a) ? ln a
当 2 ? a 时 F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F ( 2a ) ?

1 ln 2a 2

20. 解:(I)当 t ? 2时, f ( x) ? x ?

2 , x

f ?( x) ? 1 ?

2 x2 ? 2 ? ?0 x2 x2

1分

解得x ? 2, 或x ? ? 2 .则函数 f ( x) 有单调递增区间为 (??,? 2 ), ( 2,??) 4 分

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(II)设 M、N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t t t ,? 切线PM的方程为: y ? ( x1 ? ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ). 2 x1 x x1 t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ). x1 x1

又 ? 切线PM过点P (1,0),? 有0 ? ( x1 ? 即x12 ? 2tx1 ? t ? 0. (1)

2 同理,由切线 PN 也过点(1,0),得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0. (2)

6分

由(1)、(2),可得 x1 , x2是方程x 2 ? 2tx ? t ? 0 的两根,

? x1 ? x 2 ? ?2t ?? ? x1 ? x 2 ? ?t.

(*)

8分

| MN |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

t t t 2 ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2 t 2 ) ] x1 x2

[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?
把(*)式代入,得 | MN |?

20t 2 ? 20t , 20t 2 ? 20t (t ? 0)
10 分

因此,函数 g (t )的表达式为 g (t ) ? (III)易知 g (t )在区间[2, n ?

64 ] 上为增函数, n

? g (2) ? g (ai )(i ? 1, 2, g (a1 ) ? g (a2 ) ?

, m ? 1). ? g (am ).

则m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a2 ) ?

? g (am ) ? g (am?1 )对一切正整数n成立,
64 )对一切的正整数 n恒成立 n
13 分

? 不等式 m ? g (2) ? g (n ?

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?
即m ? ?n ? ?m ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

1 64 64 [(n ? ) 2 ? (n ? )]对一切的正整数 n恒成立 6 n n 1 2 136 [16 ? 16] ? . 6 3

64 1 64 64 ? 16,? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? n 6 n n 136 . 3

由于 m 为正整数,? m ? 6 .

15 分

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又当 m ? 6时, 存在a1 ? a2 ? ? ? am ? 2, am?1 ? 16, 对所有的 n满足条件 . 因此,m 的最大值为 6. 16 分

附加题
1、解:设 P( x0 , y 0 ) 是椭圆上任意一点,点 P( x0 , y 0 ) 在矩阵 A 对应的变换下变为点
' ' P' ( x0 , y0 ) 则有
' ? x0 ' ' ? x0 ? ? 2 0 ? ? x0 ? ? x ? 2 x ? 0 ?x ? 0 ,即 ? ' ,所以 ? 0 2 ? '??? ? ? ? ? y0 ? ? ?0 1 ? ? y 0 ? ? ? ? y 0 ? y0 ? y ? y' 0 ? 0

2 2 ' 2 ' 2 又因为点 P 在椭圆上,故 4 x0 ? y0 ? 1 ,从而 ( x0 ) ? ( y0 ) ?1

所以,曲线 F 的方程是 x 2 ? y 2 ? 1 2、解: 因椭圆

? x2 ? x ? 3 cos ? (?为参数) ? y 2 ? 1的参数方程为 ? 3 ? ? y ? sin ?

故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ?) ,其中 0 ? ? ? 2? . 因此 S ? x ? y ? 3 cos ? ? sin ? ? 2( 所以,当 ? ? 3、利用积分易得

3 1 ? cos ? ? sin ? ) ? 2sin(? ? ) 2 2 3

?
6

时, S 取最大值 2

1 6

4、210; ? 1 ;1024;(提示:令 x ? 1 ? y 换元即得)

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科:

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语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小 四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 , 教学研究 , 在线教学 , 在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教 育,在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习, 在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导 资料,课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案, 解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试 题库,测评卷,小学学习资料, 中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟 试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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