高一数学三角函数与平面向量复习例谈

三角函数与平面向量复习例谈
三角函数、 平面向量是高中数学两个有机结合的部分, 它们既是高考必考内容又是十分有 用的解题工具. 学好这部分内容,除了要较好的把握知识体系之外,更要把握有关题型、易错 点. 一、三角函数问题 1.三角函数的图像和性质 (1)具体要求: ①了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; ②借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; ③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(

? ± ? , ? ± ? 的正弦、余弦、正切) , 2

能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 图像,了解三角函数的周期性; ④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2 ? ],正切函数在(调性、最大和最小值、图象与轴交点等) ; ⑤理解同角三角函数的基本关系式:

? ? , )上的性质(如单 2 2

sin x =tanx. cos x ⑥结合具体实例, 了解 y=Asin(ω x+ ? )的实际意义; 能借助计算器或计算机画出 y=Asin(ω x+ ? )的图像,观察参数 A,ω , ? 对函数图像变化的影响;
sin x+cos x=1,
2 2

⑦会用三角函数解决一些简单实际问题, 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型. (2)题型示例:这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用,与向量进行综合命题 是近年来的发展趋势. 例 1.已知函数 f(x)= Asin(ω x+ ? )( A>0,ω >0,∣ ? ∣<

? )的图像在 y 轴上的截距为 1,它 2

在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2),( x0+3 ? ,-2). (1)求 f(x)的解析式; (2)用五点作图法画出函数 f(x)在长度为一个闭区间上的简图; (3)写出函数 f(x)的单调区间; (4)写出 f(x)> 3 的角 x 的集合; (5)函数 f(x)的图像经过怎样的变换可以得到函数 y=sinx 的图像. 解: (1)依题意可知 A=2,

2?

?

=2·4=8, ? =

? ,于是得 4

f(x)= 2sin(

? x+ ? ) 4
1 ? ,且∣ ? ∣< , 2 2

又 x=0 时 f(0)= 2sin ? =1,sin ? = ∴? =

? ? ? . f(x)= 2sin( x+ ) 6 4 6
0 -

(2)列表如下:

? ? x+ 4 6
x y

2 3
0

? 2 4 3
2

?
10 3
0

3? 2 16 3
-2

2?

22 3
0

描点作图得函数的图像如下:

8 16 4 4 +8k, +8k](k∈Z) ,减区间是[ +8k, +8k](k∈Z). 3 3 3 3 1 (4)f(x)> 3 的角 x 的集合是{x∣ +8k<x<2+8k , k∈Z }. 3 1 (5)把函数 f(x)的图像上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 ;再把所得函数的图像上 2 4 ? 各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 ;再把所得的函数图像向右平移 个单位即得函数 ? 6
(3)函数 f(x)的单调增区间是[y=sinx 的图像. 点评:本题重点考查相关的基础知识和基本方法,考查阅读理解及语言表达能力.狠抓双 基的学习是永恒的话题. 例 2. (2006·湖北·理)设函数 f ( x ) = a·(b+c),其中向量 a=(sinx,-cosx),b=(sinx, -3cosx),c =(-cosx,sinx),x∈R . (Ⅰ) 、求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期;

(Ⅱ) 、 将函数 f ( x ) 的图像按向量 d 平移, 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称, 求长度最小的 d. 解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a·(b+c) =(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)

=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ 2 sin(2x+
所以,f(x)的最大值为 2+ 2 ,最小正周期是

3? ). 4

2? =? . 2

(Ⅱ)由 sin(2x+

3? 3? k? 3? ? )=0 得 2x+ =k. ? ,即 x= , k∈Z, 4 4 2 8

于是 d=(

k? 3? 2 k? 3? ? ? ) ? 4 , k∈Z. ,-2) ,∣d∣ ? ( 2 8 2 8

因为 k 为整数,要使∣d∣最小,则只有 k=1,此时 d=(―

? ,―2)即为所求. 8

点评:本题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基 本知识,考查推理和运算能力. 在这里我们也可以看到,所谓的高考试题,实际上更加注重对 双基的考查,提醒我们平时学习要注重基础,注重对所学知识的融会贯通. 2 三角恒等变换 (1)具体要求 ①经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用; ②能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式, 二倍角的正弦、 余弦、 正切公式,了解它们的内在联系; ③能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式, 但不要求记忆). (2)题型示例:这部分的问题主要是化简、求值、证明等问题. 例 3.(2005?福建)已知(1)求 sinx-cosx 的值; (2)求

? 1 <x<0,sinx+cosx= . 5 2

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x
1 12 得 sinxcosx=, 5 25

解: (1)由 sinx+cosx=

∴(sinx-cosx) =1-2sinxcosx= 又-

2

49 . 25

? 7 <x<0,故 sinx<0,cosx>0,sinx-cosx=- . 5 2 1 7 3 4 3 (2) 由 sinx+cosx= ,sinx-cosx=- 得 sinx=- ,cosx= ,tanx=- , 5 5 5 5 4


sin 2 x ? 2 sin 2 x 24 =. 175 1 ? tan x

点评:此题考查了同角三角函数关系式的运用、三角函数的化简、变形能力,考查了方程 的思想.注意到 sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx 之间的关系,这在化简求值中应用的频率上 很高的. 例 4 ( 2006 重庆理)已知 ? , ? ? ?

3 ? ? 12 ? 3? ? ? , ? ? , sin( ? ? ? )= - , sin ? ? ? ? ? , 则 5 4 ? 13 ? 4 ? ?

cos ?? ?

? ?

??

? =_______ 4?

.

解: 由? , ? ? ?

3? 3 4 ? 3? ? ( , 2? ) , 又 sin( ? ? ? )=- , 故 cos( ? ? ? )= . ,? ? 得 ? ? ? ∈ 2 5 5 ? 4 ?

由 ? ??

? ? 3? ? 5 ? ? 12 ? 3? ? ? ) ,又 sin ? ? ? ? ? , ? ? 得 ? - ∈( , , 故 cos( ? - )=- . 4 13 4 2 4 4 ? 13 ? 4 ? ?
? ?

于是,cos ?? ?

??

? ? =cos[( ? ? ? )-( ? - )] 4 4?
= cos( ? ? ? )cos( ? =-

? ? )+sin( ? ? ? )sin( ? - ) 4 4

56 . 65

点评:本题考查三角变换及三角运算能力.三角变换包括三角函数、三角式的变换和角变 换,这里主要是角的变换.灵活地进行角的变换是灵活地进行三角变形的基础. 3.解三角形 (1)具体要求 ①通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简 单的三角形度量问题;

②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题. (2)题型示例:利用三角知识解决三角形中的三角函数问题,包括解三角形,三角形形 状的判定,应用问题等.要注意的是三角形中的边角关系、正余弦定理的灵活运用.

,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 例 5. (2006 江西文)在锐角 △ ABC 中,角 A

sin A ?

2 2 , 3
2

(1)求 tan

B?C A ? sin 2 的值; 2 2

(2)若 a ? 2 , S△ABC ? 2 ,求 b 的值. 解: (1)因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, sin A ?

1 2 2 ,所以 cosA= ,则 3 3

B+C sin 2 B+C 2 A 2 +sin 2 A tan +sin = 2 2 cos 2 B+C 2 . 2 1- cos (B+C) 1 1+cos A 1 7 = +( 1- cos A)= + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3
2

(2)因为 S ?ABC = 2 ,又 S ?ABC = c=

1 1 1 2 2 bcsinA= bc· ,则 bc=3 将 a=2,cosA= , 2 2 3 3

3 2 2 2 4 2 代入余弦定理: a =b +c -2bc cos A 中得 b -6b +9=0 解得 b= 3 . b
点评:本题主要考查三角形中的三角函数问题,灵活运用诱导公式、同角三角函数的关

系式、二倍角公式、三角形面积公式、余弦定理等进行三角变换、计算的能力. 例 6.(2006 上海文·理)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相 距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到

1 )?
解:连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2× 20× 10COS120° =700. 于是,BC=10 7 .



sin ACB sin 120? , ? 20 10 7

∴sin∠ACB=

3 , 7

∵∠ACB<90° ,

∴∠ACB=41°,

∴乙船应朝北偏东 71° 方向沿直线前往 B 处救援. 点评: 本题主要考查学生的数学应用意识、 实际问题化归为数学问题以及分析问题解决问 题的能力.题不在难,在于适用. 二、平面向量问题 (1)具体要求 ①了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示; ②掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;掌握向量数乘的运算,并理解其几何意 义,以及两个向量共线的含义; ③了解向量的线性运算性质及其几何意义, 了解平面向量的基本定理及其意义, 掌握平面 向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算,理解用坐标表示 的平面向量共线的条件; ⑤理解平面向量数量积的含义及其物理意义,体会平面向量的数量积与向量投影的关系, 掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量数量积的运算, 能运用数量积表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系; ⑥体会向量是一种处理几何问题、 物理问题等的工具, 发展运算能力和解决实际问题的能 力. (2)题型示例: π π 例 7. (2006 全国 2 理)已知向量 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),- <θ< . 2 2 (Ⅰ)若 a⊥b,求 θ; (Ⅱ)求|a+b|的最大值. 解: (1)a⊥b ? a·b=0 ? sin ? ? cos ? ? 0 ? ? ? ? (2)∣a+b∣=∣(sinθ +1,cosθ +1)∣= = sin
2

?
4



?sin ? ? 1?2 ? ?cos ? ? 1?2

? ? 2 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 2 cos? ? 1
?
4 )?3.

= 2(sin? ? cos? ) ? 3 = 2 2 sin(? ?

当 sin(? ?

?
4

) =1 时∣a+b∣有最大值,此时 ? ?

?
4,

最大值为 2 2 ? 3 ?

2 ? 1.

点评:本题主要考查向量垂直转化为数量积为 0、特殊角的三角函数值、三角函数的基本 关系以及三角函数的有界性、已知向量的坐标表示求模等,难度中等,计算量不大. 三、易错问题分析

sin x cos x 的值域为 . 1 ? sin x ? cos x 1 [(sin x ? cos x) 2 ? 1] sin x cos x 1 解:∵ f ( x) = =2 = [(sinx+cosx)-1] 1 ? sin x ? cos x 2 1 ? sin x ? cos x 1 ? = [ 2 sin(x+ )-1] 2 4
例 8.函数 f ( x) = 又 sin(x+

? )∈[-1,1] 4 ? 1 ∴sin(x+ )=1 时 f ( x) max = ( 2 -1); 2 4 ? 1 sin(x+ )=-1 时 f ( x) min =- ( 2 +1) . 2 4 1 1 ∴函数 f ( x) 的值域为[- ( 2 +1), ( 2 -1)] . 2 2

简析略解:此解法看似正确,实际上忽视了函数的定义域,从而导致错误.事实上,在化 简函数解析式的过程中要注意 1+sinx+cosx≠0,即 sin(x+

? 2 )≠,因此 f ( x) ≠-1,函数 4 2

f ( x) 的值域应为[-

1 1 ( 2 +1),-1)∪(-1, ( 2 -1)] . 2 2


例 9.若 2sin2x+sin2y=3sinx,则 sin2x+sin2y 的取值范围是 解:由已知得 sin2y= 3sinx-2sin2x>0,从而得 0<sinx< sin2x+sin2y= -sin2x+3sinx= -(sinx-

3 ,于是 2

3 2 9 9 ) + ∈(0, ) , 2 4 4 9 ∴sin2x+sin2y 的取值范围是(0, ). 4
简析略解:上述解法看似考虑了变量 sinx 的取值范围,好象天衣无缝,实际上仍然没有 准确的求出变量 sinx 的范围.事实上, 0<sin2y= 3sinx-2sin2x≤1, 因此, 0<sinx≤

1 或 sinx=1. 2

∴sin2x+sin2y 的取值范围是[0,

5 ]∪{2}. 4
0

例 10.已知向量 p,q 满足∣p∣= 3 ,∣q∣=3, p 与 q 的夹角为 90 ,若 p+tq 与 tp+q 的夹角为锐角,则实数 t 的取值范围是
2 2 2

.

解:若 p+tq 与 tp+q 的夹角为锐角,则(p+tq)·(tp+q)>0,即 tp +tq +(1+t ) p·q=3t+9t=12t>0,t>0 即为所求. 简析略解:由 p+tq 与 tp+q 的夹角为锐角 ? (p+tq) · (tp+q)>0 是正确的,但是当 (p+tq) · (tp+q) >0 时却得不到 p+tq 与 tp+q 的夹角为锐角! 因为此时也可能有 p+tq 与 tp+q 的夹角为 0 ,因此要在前面所求得的范围内去掉使 p+tq 与 tp+q 的夹角为 0 的 t 值. 事实上,当 p+tq 与 tp+q 的夹角为 0 时,可设 p+tq=s(tp+q),则得 st=1,且 t=s. 解得 t=s=1. 实数 t 的取值范围是 t>0 且 t≠1.
0 0 0


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