甘肃省甘谷一中数学必修三《用样本估计总体》教案 人教版

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2.2 用样本估计总体教案
三维目标 1 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差,对样本数据中提取基本的数字作 合理的解释 2 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

问题提出 1. 对一个未知总体,我们常用样本的频率分布估计总体的分布,其中表示样本数据的频率 分布的基本方法有哪些? 频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图

2. 美国 NBA 在 2006——2007 年度赛季中,甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的 12 场比赛 中的得分情况如下: 甲运动员得分:12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49. 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.

如果要求我们根据上面的数据,估计、比较甲,乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定,就得 有相应的数据作为比较依据,即通过样本数据对总体的数字特征进行研究,用样本的数字特 征估计总体的数字特征. 知识探究(一):众数、中位数和平均数 思考 1:以上两组样本数据如何求它们的众数、中位数和平均数?

思考 2:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形 内?由此估计总体的众数是什么?

频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25 作为众数.

O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

思考 3:中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系?

思考 4:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,从左至右各个小矩形的面积 分别是 0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.由此估计总体的中位数是什 么? 0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01,0.5×0.01÷0.25=0.02,中位数是 2.02.

思考 5:平均数是频率分布直方图的“重心”,从直方图估计总体在各组数据内的平均数分 别为多少? 0.25,0.75,1.25,1.75,2.25, 2.75,3.25,3.75,4.25.

思考 6:将频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加, 就

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是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的平均数是什么? 0.25×0.04+0.75×0.08+1. 25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02(t). 平均数是 2.02.
思考 7:从居民月均用水量样本数据可知,该样本的众数是 2.3,中位数是 2.0,平均数是 1.973, 这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差,你能解释一下原因吗? 频率分布直方图损失了一些样本数据,得到的是一个估计值,且所得估值与数据分组有关. 注: 在只有样本频率分布直方图的情况下,我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数, 并由此估计总体特征. 思考 8 (1)一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优 点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗? 如:样本数据收集有个别差错不影响中位数;大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低. (2)样本数据的平均数大于(或小于)中位数说明什么问题? 平均数大于(或小于)中位数,说明样本数据中存在许多较大(或较小)的极端值. (3)你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义? 这句话具有模糊性甚至蒙骗性,其中收入水平是员工工资的某个中心点,它可以是众数、中 位数或平均数样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和 中位数容易计算,不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息.
平均数代表了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的 影响也越大.
当样本数据质量比较差时,使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置,可能与 实际情况产生较大的误差,难以反映样本数据的实际状况,因此,我们需要一个统计数字刻 画样本数据的离散程度.
知识探究(二):标准差 思考 1:在一次射击选拔赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,每次命中的环数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?
x甲 ? 7, x乙 ? 7

思考 2:甲、乙两人射击的平均成绩相等,观察两人成绩的频率分布条形图,你能说明其水

平差异在那里吗?

频率
0.4 0.3 0.2 0.1

(甲)

O 4 5 6 7 8 9 10 环数

频率 (乙)
0.4 0.3 0.2 0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数

甲的成绩比较分散,极差较大,乙的成绩相对集中,比较稳定.

思考 3:对于样本数据 x1,x2,…,xn,设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本

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数据的分散程度,那么这个平均距离如何计算?
| x1 - x | + | x2 - x | + L + | xn - x | n
思考 4:反映样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差,一般用 s 表示.假设样
本数据 x1,x2,…,xn 的平均数为 x ,则标准差的计算公式是:

s = (x1 - x)2 + (x2 - x)2 + L + (xn - x)2 n

那么标准差的取值范围是什么?标准差为 0 的样本数据有何特点? s≥0,标准差为 0 的样本数据都相等.

思考 5:对于一个容量为 2 的样本:x1,x2(x1<x2),则 x ?

x1 ? x2 ,s ? 2

x2 ? 2

x1

在数轴上,

这两个统计数据有什么几何意义?由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响? 标准差越大离散程度越大,数据较分散; 标准差越小离散程度越小,数据较集中在平均数周围.

知识迁移 计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差,比较其射击水平的稳定性. 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

课堂小结 1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据,估计总体相应的统计数据. 2. 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平. 3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中,我们常综合样本的多个统计 数据,对总体进行估计,为解决问题作出决策. 作业:
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