【教育专用】2018北师大版高中数学必修一学案:第二章 章末复习课

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学习目标 1.构建知识网络,理解其内在联系.2.盘点重要技能,提炼操作要点.3.体会数学 思想,培养严谨灵活的思维能力.
1.对函数的进一步认识 (1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.它的三要素是定义域、值域和对应关 系.函数的值域是由定义域和对应关系所确定的. (2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则,表示函数的定义域和值域时,要写成集合的形 式,也可用区间表示. (3)函数的表示方法有三种:解析法、图像法和列表法.在解决问题时,根据不同的需要, 选择恰当的方法表示函数是很重要的. (4)分段函数是一种函数模型,它是一个函数而并非几个函数. (5)函数与映射是不同的概念,函数是一种特殊的映射,是从非空数集到非空数集的映射.在 映射 f:A→B 中,A 中的元素 x 称为原像,B 中的对应元素 y 称为 x 的像. 2.函数的单调性 函数的单调性是在定义域内讨论的,若要证明 f(x)在区间[a,b]上是增函数或减函数,必 须证明对[a,b]上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时都有 f(x1)<f(x2)或 f(x1)>f(x2) 成立;若要证明 f(x)在区间[a,b]上不是单调函数,只要举出反例,即只要找到两个特殊 的 x1,x2,不满足定义即可.单调函数具有下面性质:设函数 f(x)定义在区间 I 上,且 x1, x2∈I,则 (1)若函数 f(x)在区间 I 上是单调函数,则 x1=x2?f(x1)=f(x2). (2)若函数 f(x)在区间 I 上是单调函数,则方程 f(x)=0 在区间 I 上至多有一个实数根. (3)若函数 f(x)与 g(x)在同一区间的单调性相同,则在此区间内,函数 f(x)+g(x)亦与它们的 单调性相同. 函数单调性的判断方法:①定义法;②图像法. 3.函数的奇偶性 判定函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数 f(x)的定义域是否关于原点对称,再检验 f(-x)与 f(x)的关系;二是用其图像判断,考察函数的图像是否关于原点或 y 轴对称去判断, 教育学习+K12

教育学习+K12 但必须注意它是函数这一大前提.
类型一 函数的三要素 例 1 已知函数 f(x)=?????xx32, ,xx≤ >aa. , (1)当 a=2 时,求 f(x)的定义域、值域; (2)若存在 x1≠x2,使 f(x1)=f(x2),求 a 的取值范围.

反思与感悟 分段函数也是函数,所以它的定义域、值域都分别是一个数集,求定义域、值

域时要把各段相应的值合并.在(2)中寻找不同的 x,使其对应相同的 y 时,也要把目光放在

整个函数上.

跟踪训练 1 设函数 f(x)=?????x32x-+64x,+x6<,0,x≥0, 若互不相等的实数 x1,x2,x3 满足 f(x1)=f(x2)

=f(x3),则 x1+x2+x3 的取值范围是( A.(230,236]

) B.(230,236)

C.(131,6]

D.(131,6)

类型二 函数性质的综合应用

例 2 已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)

=-23.

(1)求证:f(x)在 R 上是减函数;

(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值;

(3)解不等式 f(x)-f(-x)>2.

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反思与感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作 出图像辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意特殊值的应用. 跟踪训练 2 函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1) +f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.
类型三 函数图像的画法及应用 例 3 对于函数 f(x)=x2-2|x|. (1)判断其奇偶性,并指出图像的对称性; (2)画此函数的图像,并指出单调区间和最小值.
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反思与感悟 画函数图像的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图,一旦有了 函数图像,可以使问题变得直观,但仍要结合代数运算才能获得精确结果. 跟踪训练 3 已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=f(2-x),当 x∈[0,1]时,f(x)=x. 求 x∈[-3,5]时,f(x)=12的所有解的和.

1.已知 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射,若 1 和 8 的原像分 别是 3 和 10,则 5 在 f 作用下的像是( ) A.3 B.4 C.5 D.6

2.已知集合 P={x|y= x+1},集合 Q={y|y= x-1},则 P 与 Q 的关系是( )

A.P=Q

B.P Q

C.P Q

D.P∩Q=?

3.函数 f(x)=?????x12--xx2, -3x,≤x1, >1, 则 f(f?13?)的值为(

)

15 A.16

B.-1267

8 C.9

D.18

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教育学习+K12 4.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1) +g(1)等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 5.若 f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则 f(-32)与 f(a2 +2a+52)的大小关系是( ) A.f(-32)>f(a2+2a+52) B.f(-32)<f(a2+2a+52) C.f(-32)≥f(a2+2a+52) D.f(-32)≤f(a2+2a+52)
1.函数是高中数学最重要的基础之一,函数的概念及其表示基础性强,渗透面广,常与其 他知识结合考查,试题多数为选择题,重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的 相关问题. 2.单调性、奇偶性是函数性质的核心内容,常集于一体综合命题.解题捷径是结合题意选 一易判断的性质为突破口,而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向. 3.(1)函数图像的识别,应抓住函数解析式的特征,从其定义域、值域、单调性、奇偶性等 方面灵活判断,多可利用函数图像上点的坐标进行排除. (2)应用函数图像的关键是从图像中提取所需的信息,提取图像中信息的方法主要有:①定 性分析法,通过对问题进行定性的分析,从而得出图像上升(或下降)的趋势,利用这一特征 来分析解决问题.②定量计算法,通过定量的计算来分析解决问题;③函数模型法,由所提 供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
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答案精析

题型探究 例 1 解 (1)f(x)的定义域为(-∞,a]∪(a,+∞)=R. 当 a=2 时,y=x3 在(-∞,2]上是增加的, ∴x3∈(-∞,8]. y=x2 在(2,+∞)上是增加的, ∴x2∈(4,+∞).

∴f(x)的值域为(-∞,8]∪(4,+∞)=R.

(2)当 a<0 时,f(x)在(a,+∞)上不单调,

∴存在 x1≠x2 使 f(x1)=f(x2). 当 a=0 时,f(x)在 R 上是增函数,

∴不存在 x1≠x2,使 f(x1)=f(x2). 当 a>0 时,f(x)在(-∞,a],(a,+∞)上都是增加的,

要使 x1≠x2 时,f(x1)=f(x2), 需 a3>a2,即 a>1.

综上,a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).

??x2-6x+6,x≥0,

跟踪训练 1 D [函数 f(x)=?

的图像,如图,不妨设 x1<x2<x3,则 x2,

??3x+4,x<0

x3 关于直线 x=3 对称,故 x2+x3=6,且 x1 满足-73<x1<0,则 x1+x2+x3 的取值范围是-73 +6<x1+x2+x3<0+6,∴x1+x2+x3∈(131,6).故选 D.]

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例 2 (1)证明 由 f(x)+f(y)=f(x+y),可得 f(x+y)-f(x)=f(y). 在 R 上任取 x1>x2,令 x+y=x1,x=x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2). ∵x1>x2,∴x1-x2>0. 又 x>0 时,f(x)<0,∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)-f(x2)<0. 由定义可知 f(x)在 R 上是减函数. (2)解 ∵f(x)在 R 上是减函数; ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数; ∴f(-3)最大,f(3)最小. 又 f(1)=-23, ∴f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1) =3×(-23)=-2. ∴f(-3)=f(4-3)-f(4) =f(1)-f(3)-f(1)=-f(3)=2. 即 f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. (3)解 由(2)知 f(-3)=2, f(x)-f(-x)>2,即 f(x)>f(-x)+2=f(-x)+f(-3)=f(-3-x), 由(1)知 f(x)在 R 上为减函数, ∴f(x)>f(-3-x)?x<-3-x, 解得解集为{x|x<-32}. 教育学习+K12

教育学习+K12 跟踪训练 2 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明:令 x1=x2=-1, 有 f(1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=12f(1)=0. 令 x1=-1,x2=x, 则 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16, 解得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}. 例 3 解 (1)函数的定义域为 R,关于原点对称, f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|. 则 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 图像关于 y 轴对称. (2)f(x)=x2-2|x|
??x2-2x=?x-1?2-1,x≥0, =?
??x2+2x=?x+1?2-1,x<0.
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画出图像如图所示, 根据图像知,函数 f(x)的最小值是-1,无最大值. 增区间是[-1,0],[1,+∞); 减区间是(-∞,-1],[0,1]. 跟踪训练 3 解 当 x∈[-1,0]时, -x∈[0,1],∴f(-x)=-x. 又∵f(x)为奇函数, ∴x∈[-1,0]时,f(x)=-f(-x)=x. 即 x∈[-1,1]时,f(x)=x. 又由 f(x)=f(2-x)可得 f(x)的图像关于直线 x=1 对称. 由此可得 f(x)在[-3,5]上的图像如下:
在同一坐标系内画出 y=12的图像, 由图可知在[-3,5]上共有四个交点, ∴f(x)=12在[-3,5]上共有四个解, 从左到右记为 x1,x2,x3,x4, 则 x1 与 x4,x2 与 x3 关于直线 x=1 对称, ∴x1+2 x4=1,x2+2 x3=1. ∴x1+x2+x3+x4=4. 当堂训练
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?? 3a+b=1, 1.A [依题意有?
??10a+b=8, ?? a=1, 解得? ??b=-2,
∴当 x=5 时,y=5+(-2)=3.] 2.B [P={x|y= x+1}=[-1,+∞),Q={y|y= x-1}=[0,+∞), 所以 Q P.] 3.C [∵3>1,∴f(3)=32-3-3=3, ∵13<1, ∴f(f?13?)=f(13)=1-(13)2=89.] 4.C [f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1) =(-1)3+(-1)2+1=1.] 5.C [因为 a2+2a+52=(a+1)2+32≥32, 又 f(x)在[0,+∞)上是减函数, 所以 f(a2+2a+52)≤f(32) =f(-32).]
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