推荐K12学习高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课前导引

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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

课前导引 问题导入
在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等吗?

思路分析:在展开式(a+b)n=

C

0 n

an+

C

1 n

an-1b+

C

2 n

an-2b2+

C

3 n

an-3b3+…+

C

n n

bn

中,令

a=1,b=-1,

则得(1-1)n=

C

0 n

-

C

1 n

+

C

2 n

-

C

3 n

+…+(-1)n

C

n n

,



0=(

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…)-(

C

1 n

+

C

3 n

+

C

5 n

+…).

所以

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…=

C

1 n

+

C

3 n

+

C

5 n

+….

这是二项式的一个题目,本节我们讨论是否还有其他更直观的解决方法,它就是杨辉三

角.

知识预览

1.二项式系数组成的杨辉三角

1

第0行

11

第1行

121

第2行

1331

第3行

14641

第4行

1 5 10 10 5 1

第5行

1 6 15 20 15 6 1

第6行

……

其规律是:表中每行每端都是 1,而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的

____________. 事 实 上 , 设 表 中 任 一 不 为

1

的数为

C

r n ?1

,那么它肩上的



个数



别为

____________和____________,由组合数的性质

2,知识

C

r n ?1

=____________+____________.

答案:和

C r ?1 n

C

r n

C r ?1 n

C

r n

2.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端____________的两个二项式系数相等.
n
(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间的一项二项式系数 Cn2 取得最大值;当 n 为奇
数时,中间的两项二项式系数、相等,且同时取得最大值.

(3)各二项式系数和:

C

0 n

+

C

1 n

+

C22

+…+

C

n n

=_________________,

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…=_________________,

C

1 n

+

C

3 n

+

C

5 n

+…=_________________.

n?1
答案:等距离 Cn 2

n?1
Cn 2

2 2 2 n

n-1

n-1

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