【附答案解析】湖北黄冈中学2012年秋季高一数学第一次周考试题

湖北省黄冈中学 2012 年秋季高一数学第一 次周考试题
湖北省黄冈中学 2012 年秋季高一数学第一次周考试题 一、选择题.本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求. 1.下列各式能表示 y 是 x 的函数的个数共有( ) (1) y ? x ? (x ? 3) ; (3) y ? ? A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2.已知集合 A={1,2,3},B={a,b,c},则从集合 A 到集合 B 的映射中,使得集合 B 中 的元素都有原象的映射有( ) A.8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个 3.f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确的是( ) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=-2f(x) C.f(x) f(-x)≤0 D. (2) y ?

x ? 2 ? 1? x ;

(x ? 0) ? ?x ? 1  ?0 (x ? Q) . ; (4) y ? ? (x ? 0) ? ?x ? 1  ?1 (x ? ?RQ)

f(x) ? ?1 f( ?x)
x ? 5x ? 4 的定义域为 A,函数 g(x) ? x ? 1 ? x ? 4 的定义域为
2

4.已知函数 f(x) ?

B,则 A、B 的关系是( ) A.A B B.A B C.A B= ?

D.A=B 5.已知函数 y ? x ( )
2

? ?) 上是增函数,则实数 ? 2(a ? 2)x ? 5 在区间 (4,

a 的取值范围是

A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? 6 D. a ? 6 6.设 f(x)是定义在[1+a,2]上偶函数,则 f(x) ? ax A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数 D.与 a,b 有关,不能确定 7.如果函数 f(x) ? x
2

2

? bx ? 2 在区间[ 0,2]上是 (

)

? bx ? c 对任意实数 t,都有 f(2 ? t) ? f(2 ? t) ,则( )

A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 8.设偶函数 f(x)满足 f(x) ? x A. {x | x ? ?2或x ? 4} B. {x | x ? ?2或x ? 2} C. {x | x ? 0或x ? 4} D. {x | x ? 0或x ? 6} 9.若函数 y=f(x)的值域是 [
3

? 8(x ? 0) ,则 {x | f(x ? 2) ? 0} ? ( )

1 1 , 3] ,则函数 F(x) ? f(x) ? 的值域是( ) 2 f(x)

A. [

1 , 3] 2

B. [ 2,

10 ] 3

C. [

5 10 , ] 2 3 10 ] 3

D. [3 ,

10.设函数 f(x)的定义域为 R,且对于任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时,有 f(x)<0,则函数 f(x)为( ) A.偶函数,且在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数 B.偶函数,且在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数 C.奇函数,且在(-∞,+∞)上为增函数 D.奇函数,且在(-∞,+∞)上为减函数 二、填空题.本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f(x) ? 2x
2

? x ,则 f(1)=____;

12.已知:两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是{1,2,3},其定义如下表:

填写后面表格,其三个数依次为:____; 13.已知函数 f(x)在区间(0,+∞)上为减函数,那么 f(a ____; 14.已知函数 f(x) ? kx 等于____; 15.设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时,f(x)是单调函数,则满足 f(x) ? f( 为____. 三、解答题.本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本大题满分 12 分) 设 f: A→B 是从 A 到 B 的映射, 且 B 中的元素 a
2 2

3 ? a ? 1) 与 f( ) 的大小关系是 4

2

? 2kx ? 1 ,若 f(x)在 x∈[-3,2]上的最大值为 4,则实数 k 的值

x?3 ) 所有 x 之和 x?4

? 3 与 A 中的元素 a 对应.我们把 B 中的

元素 a

2

? 3 叫做 A 中的元素 a 的象,a 叫做 a ? 3 的原象.

2

(1)若 A=R,B={x|x≥1},求 6 和-6 的象;

(2)若 A={x|x≥0},B={x|x≥1},求 172 的原象.

17.(本大题满分 12 分)

1? x 判断函数 f(x) ? 的奇偶性并证明你的结论. | x ? 2 | ?2

2

18.(本大题满分 12 分)

5 mx ? 2 已知函数 f(x) ? 是奇函数,且 f( 2) ? . 3 3x ? n
(1)求 f(x)的解析式;

2

(2)判断 f(x)在 ( ??, 0) 上的单调性,并加以证明.

19.(本大题满分 12 分) 已知函数 f(x)是定义在{x|x∈R,且 x≠0}上的偶函数,且当 x>0 时,函数的解析式为

f(x) ?

2 ?1. x

(1)求 f(-1)的值;

(2)用定义证明 f(x)在 (0, ? ?) 上是减函数;

(3)求当 x<0 时,数的解析式.

20.(本大题满分 13 分) 对于函数 f(x),若存在 x0 ? R ,使 f(x0 ) ? x0 成立,则称点 (x0,x0 ) 为函数 f(x)的不动点. (1)已知函数 f(x) ? ax
2

? bx ? b(a ? 0) 有不动点(1,1),(-3,-3),求 a,b 的值;

(2)若对于任意实数 b,函数 f(x) ? ax 数 a 的取值范围;

2

? bx ? b(a ? 0) 总有两个相异的不动点,求实

21.(本大题满分 14 分) 已知二次函数 f(x) ? x
2

? 16 x ? m ? 3.

(1)若在区间[-1,1]上有函数 f(x)图象与 x 轴的交点,求实数 m 的取值范围;

(2)定义区间[a,b]的长度为 b-a.问是否存在常数 t(t≥0),当 t ?[0 , 10] 时,f(x)在 [t,10]上的值域为区间 D,且 D 的长度为 12-t?若存在,求出常数 t 的值,若不存 在,说明理由.

1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 11.-3 12.3、2、1 13. f(a
2

3 ? a ? 1) ≤ f( ) 4 3 8

14.-3 或 15.-8

16.解:由题设,元素 6 的象为 6 6 的象都为 39.

2

? 3 ? 39 ,-6 的象为 ( ?6) ? 3 ? 39 ,故元素 6 与-

2

解:设元素 172 的原象为 a,则 a

2

? 3 ? 172 ,∴ a ?169 ,

2

又 A={x|x≥0},∴ a=13.即 172 的原象为 13. 17. 解 : 因 f(x) 的 定 义 域 为 {x ∣ - 1 ≤ x ≤ 1 且 x ≠ 0} , 所 以 , 函 数 式 可 化 简 为

1? x f(x) ? . 故 f(x) 为奇函数,证明如下: x
∵ f(x)的定义域为{x∣-1≤x≤1 且 x≠0},且

2

1 ? ( ?x) 1? x f( ?x) ? ?? ?? f(x) , ?x x
∴ f(x)是奇函数.

2

2

mx ? 2 mx ? 2 18.解:因 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 ?? ?3x ? n 3x ? n

2

2

mx ? 2 ,比较系数,得 n=-n,∴ n=0. ? ?3x ? n
又 f( 2) ?

2

4m ? 2 5 5 ,∴ ? ,∴ 2m+1=5,m=2. 6 3 3
2

2x ? 2 所以 f(x) ? . 3x 2x1 ? 2 2x 2 ? 2 解:设 x1 ? x2 ,则 f(x1) ? f(x2 ) ? ? 3x1 3x 2
? 2[x1x 2 (x1 ? x 2 ) ? x 2 ? x1] 2(x1 ? x 2 )(x1x 2 ? 1) ? . 3x1x 2 3x1x 2
2 2

因 x ?(??, 0) ,所以,当 x1 ? x2 有 x1 ? x2

? ?1 时,

? 0, x1x2 ? 1 , x1x2 ?1 ? 0 ,

所以有 f(x1) ? f(x2 ) ? 0 ,即 f(x1) ? f(x2 ). 即 f(x)在 ( ??,   ?1] 上是增函数; 同理,当 ?1 ? x1 ? x2 ? 0 时,有 x1 ? x2

? 0, 0 ? x1x2 ? 1 , x1x2 ?1 ? 0 ,

所以 f(x1) ? f(x2 ) ? 0 即 f(x1) ? f(x2 ). 即 f(x)在 ( ?1 , 0) 上是减函数. 19.解:∵ f(x)为偶函数,∴ f(-1)=f(1)=2-1=1. 解:设 0 ? x1 ? x2 ,则 f(x1) ? f(x2 ) ?

2 2 ? 1 ? ( ? 1) x1 x2
, ∴

?

2(x 2 ? x1 ) 2 2 ? ? , ∵ x1 x 2 x1x 2

0 ? x1 ? x2

x1x2 ? 0,   x2 ? x1 ? 0



f(x1) ? f(x2 ) ? 0 ,即 f(x1) ? f(x2 ) ,∴
解:∵ f(x)为偶函数,∴ f(x)=f(-x). 当 x<0 时,-x>0,f(x)=f(-x)=

f(x)在 (0, ? ?) 上是减函数;

2 2 ? 1?? ? 1 , ?x x

即当 x<0 时,f(x) ? ?

2 ? 1. x
2

, x ? ?3 是方程 ax 20.解:由已知得 x ? 1

? bx ? b ? x 的根,由韦达定理,有

ì b- 1 ? ? 1- 3 = ? ? a ? a í ? b ? - 3 1= ? ? a ? ?
解:由已知得:方程 ax
2
2

1,   b = 3.

? bx ? b ? x(a ? 0) 有两个不相等的实数根,所以
2

?1 ? (b ?1) ?4ab ? 0 对于任意实数 b 恒成立,即 b ?( 4a ? 2) b ?1 ? 0 对任意实数
b 恒成立,从而 ?2

? ( 4a ? 2) ?4 ? 0 ,解得 0 ? a ? 1.

2

所以,适合题意的实数 a 的取值范围是 (0,  1). 21.解:因 f(x) ? x
2

? 16x ?m ? 3 ? (x ? 8) ? m ? 61 ,

2

对称轴为 x=8 且开口向上,所以 f(x)在[-1,1]上是减函数, 故 函 数 f(x) 图 象 与 x 轴 的 交 点 在 区 间 [ - 1 , 1] 上

? f(?1) f(1) ? 0 ? (m ? 20) (m ?12) ? 0 ,∴ ?20 ? m ? 12.
解:因 f(x)图象的对称轴为 x=8,∴ f(x)在区间[0,8]上是减函数,在[8,10]上是 增函数,又 t∈[0,10].

① 当 t∈[0,6]时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,∴ f(t)-f(8)=12-t,
即t
2

? 15t ? 52 ? 0 ,解得 t ?

15 ? 17 15 ? 17 ∴ t? . ,又 t ? 6,   2 2

② 当 t∈(6,8]时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,∴ f(10)-f(8)=
12-t,即 4=12-t,解得 t=8.

③ 当 t∈(8,10]时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,∴ f(10)-f(t)=12
-t,即 t
2

? 17t ? 72 ? 0 ,解得 t=8 或 t=9,又 t∈(8,10],∴
15 ? 17 ,8,9 满足条件. 2

t=9.

综上,存在常数 t ?


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