§10.4.4二项式系数的性质(2)

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二项式系数的性质( ) 二项式系数的性质(2)
一、课题:二项式系数的性质(2) 二、教学目标:掌握二项式定理和二项式系数的性质,能灵活运用展开式、通项公式、二项 式系数的性质解题。 三、教学重点、难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 四、教学过程: (一)复习练习: (1)( 2 x ? 5 y ) 的展开式中二项式系数的和为
20

, 各项系数的和为



二项式系数最大的项为第

项; . ( )

1 (2)( x + ) n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大, 则第四项为 x 0 1 2 n 1 2 3 n (3) Cn + 2Cn + 4Cn + L + 2 n Cn = 729 ,则 Cn + Cn + Cn + L + Cn = ( A) 63 ( B ) 64 (C ) 31 ( D ) 32
解: (1) 2 20 , 320 , 11 ; (2)Q 展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴ n = 10 ,

1 3 T4 = C10 ( x )7 ( )3 = 120 x ; x (3) ( A) .
(二)新课讲解: 例 1 设 (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + L + (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n ,
2 3
n

当 a0 + a1 + a2 + L + an = 254 时,求 n 的值。 解:令 x = 1 得: a0 + a1 + a2 + L + an = 2 + 2 2 + 23 + L + 2 n = ∴ 2n = 128, n = 7 ,

2(2n ? 1) = 254 , 2 ?1

说明:对于 f ( x ) = a0 ( x ? a ) n + a1 ( x ? a ) n ?1 + L + an ,令 x ? a = 1, 即 x = a + 1 可得各 项系数的和 a0 + a1 + a2 + L + an 的值; x ? a = ?1, 即 x = a ? 1 , 令 可得奇数项系 数和与偶数项和的关系。
1 2 3 n 例 2 求证: Cn + 2Cn + 3Cn + L + nCn = n ? 2 n ?1 . 1 2 3 n 证(法一)倒序相加:设 S = Cn + 2Cn + 3Cn + L + nCn

① ②

又∵ S = nC + ( n ? 1)C
n n

n ?1 n

+ ( n ? 2)C
1 n

n?2 n

+ L + 2C + C
2 n

1 n

∵C = C
r n

n?r n

,∴ C = C , C = C
0 n

n n

n ?1 n

,L ,

0 1 2 n 由①+②得: 2 S = n Cn + Cn + Cn + L + Cn ,∴ S =

(

)

1 ? n ? 2 n = n ? 2n ?1 , 2

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1 n 2 n 3 n

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n n n ?1

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即 C + 2C + 3C + L + nC = n ? 2



r (法二) :左边各组合数的通项为 rCn = r ?

n! n ? (n ? 1)! r ?1 = = nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!

1 2 3 n 0 1 2 n ?1 ∴ Cn + 2Cn + 3Cn + L + nCn = n Cn ?1 + Cn ?1 + Cn ? 2 + L + Cn ?1 = n ? 2 n ?1 .

(

)

例 3 已知: ( x 3 + 3 x ) 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项。
2 n n 2n n 解: x = 1 , 令 则展开式中各项系数和为 (1 + 3) = 2 , 又展开式中二项式系数和为 2 ,

2

∴ 2 ? 2 = 992 , n = 5 . (1)∵ n = 5 ,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项,
2n n

∴ T3 = C5 ( x 3 ) (3 x ) = 90 x , T4 = C5 ( x 3 ) (3 x ) = 270 x 3 ,
2 3 2 2 6 3 2 2 3

2

2

22

(2)设展开式中第 r + 1 项系数最大,则 Tr +1 = C5 ( x 3 )
r

2

5? r

(3 x 2 ) r = 3r C5r x

10 + 4 r 3



∴?

?3r C5r ≥ 3r ?1 C5r ?1 7 9 ? ? ≤ r ≤ ,∴ r = 4 , r r r +1 r +1 2 2 ?3 C5 ≥ 3 C5 ?
2 26 4 2 4

即展开式中第 5 项系数最大, T5 = C5 ( x 3 )(3 x ) = 405 x 3 . 例 4 已知 S n = 2 + C n 2
n 1 n ?1 2 n + C n 2 n ? 2 + L + C n ?1 ? 2 + 1(n ∈ N + ) ,

求证:当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1 能被 64 整除。 分析: 由二项式定理的逆用化简 S n , 再把 S n ? 4n ? 1 变形, 化为含有因数 64 的多项式。 ∵ S n = 2 + Cn 2
n 1 n ?1 n 2 + Cn 2 n ? 2 + L + Cnn ?1 ? 2 + 1 = (2 + 1) n = 3n , *

∴ S n ? 4n ? 1 = 3 ? 4n ? 1 ,∵ n 为偶数,∴设 n = 2k ( k ∈ N ) , ∴ S n ? 4n ? 1 = 3
2k

? 8k ? 1 = (8 + 1) k ? 8k ? 1

1 = Ck0 8k + Ck 8k ?1 + L + Ckk ?1 8 + 1 ? 8k ? 1 1 = (Ck0 8k + C8 8k ?1 + L + Ck2 )82 ( ? ) ,

当 k = 1 时, S n ? 4n ? 1 = 0 显然能被 64 整除, 当 k ≥ 2 时, ? )式能被 64 整除, ( 所以,当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1 能被 64 整除。 例 5 求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 . 解: 0.998 = (1 ? 0.002) = C6 + C6 ( ?0.002) + L + C6 ( ?0.002) ,
6 6 0 1 1 6 6 6

展开式中第三项为 C6 0.002 = 0.00006 ,小于 0.001 ,以后各项的绝对值更小,
2 2

可忽略不计,
1 ∴ 0.9986 = (1 ? 0.002)6 ≈ C60 + C6 (?0.002)1 = 0.998 ,

一般地当 a 较小时 (1 + a ) n ≈ 1 + na .

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五、课堂小结: 二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在 联系,涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质 对条件进行逐个节破,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注 意二项式定理的逆用。 六、作业:课本 P 习题 10.4 第 6 题,课本 P 复习题十第 15 题, 111 143 补充:

? 16 2 1 ? x + 1.已知 ( a + 1) 展开式中的各项系数的和等于 ? ? 的展开式的常数项,而 x? ? 5 (a 2 + 1) n 展开式的系数的最大的项等于 54 ,求 a 的值 ( a ∈ R ) 。
2 n

5

答案: a = ± 3 2.设 (1 ? x )
5

(3 + 2x )
9

9

= a0 ( x + 1) + a1 ( x + 1) + L + a13 ( x + 1) + a14
14 13

求:① a0 + a1 + L + a14

= 9963 。 2 0 1 3 5 6 7 8 9 3.求值: 2C9 ? C9 + 2C92 ? C9 + 2C94 ? C9 + 2C9 ? C9 + 2C9 ? C9 .
答案: 2 = 256 。
8

答案:① 3 = 19683 ;

(3 ②

② a1 + a3 + L + a13 .
9

+ 35 )

4.设 f ( x) = ( x 2 + x ? 1)9 (2 x + 1) 6 ,试求 f ( x ) 的展开式中: (1)所有项的系数和; (2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和。 答案: (1) 3 = 729 ;
6

(2)所有偶次项的系数和为 二项式定理(课外小练习) 1.

36 ? 1 36 + 1 = 364 ;所有奇次项的系数和为 = 365 。 2 2
45 ,各项系数之和为 0
3 3 n n

(

x +1

) ( x ? 1) 展开式中 x 的系数为
4 5 4



2. 多项式 f ( x ) = Cn ( x ? 1) + Cn ( x ? 1) + Cn ( x ? 1) + L + Cn ( x ? 1) ( n > 6 ) 的展开式中,
1 2 2

x 6 的系数为 0 . n 提示: f ( x ) = x ? 1( n > 6 ) 。
3.若二项式 (3 x ?
2

( A) 4

1 n ) ( n ∈ N ? )的展开式中含有常数项,则 n 的最小值为( B ) 2 x3 ( B) 5 (C ) 6 ( D) 8

4.某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标,那么该企业年产值的年平均增长率最 低应 (C) ( A) 低于 5% ( B ) 在 5%~6%之间

(C ) 在 6%~8%之间

( D) 在 8%以上

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n

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2 n

5.在 (1 + x) 的展开式中,奇数项之和为 p ,偶数项之和为 q ,则 (1 ? x ) 等于( D )

( A) 0

( B ) pq

(C ) p 2 + q 2

( D) p 2 ? q 2

n +1 1 ? a 0 1 ? a 2 1 1 ? a3 2 1 ? a 4 3 n 1? a n 6.求和: Cn ? Cn + Cn ? Cn + L + ( ?1) Cn . 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a n ?1 答案: ? a (1 ? a )

7.求证:当 n ∈ N 且 n ≥ 2 时, 3 > 2
n 10

?

n ?1

( n + 2) .

8.求 ( 2 + x ) 的展开式中系数最大的项.

答案: T3+1 = 15360 x

3

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