四川省成都市树德中学2016-2017学年高一上学期期末数学试卷1 含解析 精品

2016-2017 学年四川省成都市树德中学高一(上)期末数学试卷
一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一项是符合题 目要求的) 1.设全集 U=R, ,B={x|x<2},则(?UA)∩B=( D.{x|x≥1} ) )

A.{x|1≤x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|x<2}

2.下列函数既是偶函数,又在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=x﹣2 B. C.y=2|x| ) D.y=|x﹣1|+|x+1|

3.下列说法正确的是(

A.若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0 B.若 α 是锐角,则 2α 是一象限或二象限角 C.若 ,则

D.集合 A={P|P? {1,2}}有 4 个元素 4. 将函数 y=sinπx 的图象沿 x 轴伸长到横坐标为原来的 2 倍, 再向左平移 1 个单 位,得到的图象对应的解析式是( A. ) D. ,则 λ=( )

B.y=sin(2πx+1) C.

5.若 G 是△ABC 的重心,且满足 A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2

6.如图,向一个圆台型容器(下底比上底口径宽)匀速注水(单位时间注水体 积相同) ,注满为止,设已注入的水体积为 v,高度为 h,时间为 t,则下列反应 变化趋势的图象正确的是( )

A.

B.

C.

D.

7.平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的始边在 x 轴非负半轴,终边与单位圆交于点

,将其终边绕 O 点逆时针旋转 标为( A. ) B. C. D.

后与单位圆交于点 B,则 B 的横坐

8.函数 y=f(x)满足对任意的 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)?f(y) ,且 f(1) =2, 若g (x) 是 f(x) 的反函数 (注:互为反函数的函数图象关于直线 y=x 对称) , 则 g(8)=( A.3 B.4 ) C.16 D. ( ) B.值域是 R

9.函数 A.定义域是

C.在其定义域上是增函数 D.最小正周期是 π 10.过 x 轴上一点 P 作 x 轴的垂线,分别交函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象 于 P1,P2,P3,若 A. B. C. D. ,则 =( )

11.定义符号函数为 sgn(x)= ①|x|=x?sgn(x) ;

,则下列命题:

②关于 x 的方程 lnx?sgn(lnx)=sinx?sgn(sinx)有 5 个实数根; ③若 lna?sgn(lna)=lnb?sgn(lnb) (a>b) ,则 a+b 的取值范围是(2,+∞) ; ④设 f(x)=(x2﹣1)?sgn(x2﹣1) ,若函数 g(x)=f2(x)+af(x)+1 有 6 个 零点,则 a<﹣2. 正确的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 12.已知函数 ,那么下列命题正确的是( )

A.若 a=0,则 y=f(x)与 y=3 是同一函数 B.若 0<a≤1,则

C.若 a=2,则对任意使得 f(m)=0 的实数 m,都有 f(﹣m)=1 D.若 a>3,则 f(cos2)<f(cos3)

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把最终的结果填在题中横线 上) 13.若函数 14.己知 f(x)= 15 . 若 sinβ= . ,则函数 y=f(2x)的定义域是 . . , 则

的值域为 R,那么 a 的取值范围是

16.若函数 f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数且满足 f(x)+g(x)=ex, 其中 e 是自然对数的底数,则比较 f(e) ,f(3) ,g(﹣3)的大小 .

三、解答题(共 6 个小题,共计 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17. ( I)求值:log23?log34﹣log20.125﹣ ( II)求值:sin15°+cos15°. 18.已知函数 ( I)求函数 f(x)对称轴方程和单调递增区间; ( II)对任意 ,f(x)﹣m≥0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 为一组基底,同一平面的向量 可以被唯 . ;

19.根据平面向量基本定理,若 一确定地表示为 y)为向量 在基底 的单位向量

,则向量 与有序实数对(x,y)一一对应,称(x, 下的坐标;特别地,若 分别为 x,y 轴正方向

,则称(x,y)为向量 的直角坐标. ,则

(I)据此证明向量加法的直角坐标公式:若 ;

(II)如图,直角△OAB 中, 且 ,求向量 在基底 下的坐标.

,C 点在 AB 上,

20.某企业一天中不同时刻的用电量 y(万千瓦时)关于时间 t(小时,0≤t≤ 24) =Asin ω>0, 0<φ<π) 的函数 y=f (t) 近似满足 f (t) (ωt+φ) +B, (A>0, . 如 图是函数 y=f(t)的部分图象(t=0 对应凌晨 0 点) . (Ⅰ)根据图象,求 A,ω,φ,B 的值; (Ⅱ)由于当地冬季雾霾严重,从环保的角度,既要控制火力发电厂的排放量, 电力供应有限; 又要控制企业的排放量,于是需要对各企业实行分时拉闸限电措 施.已知该企业某日前半日能分配到的供电量 g(t) (万千瓦时)与时间 t(小 时)的关系可用线性函数模型 g(t)=﹣2t+25(0≤t≤12)模拟.当供电量小于 该企业的用电量时, 企业就必须停产. 初步预计停产时间在中午 11 点到 12 点间, 为保证该企业既可提前准备应对停产,又可尽量减少停产时间,请从这个初步预 计的时间段开始,用二分法帮其估算出精确到 15 分钟的停产时间段.

21.已知函数 f(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1) . (Ⅰ)求 f(x)的定义域,判断并用定义证明其在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 a>0,解关于 x 的不等式 f(a2x﹣2ax)<lg2. 22.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R,都有 f(x+2)=﹣f(x) , 当 0≤x≤1 时,f(x)=x2. (I)当﹣2≤x≤0 时,求 f(x)的解析式; ( II ) 设 向 量 , 若 同 向 , 求

的值; (III)定义:一个函数在某区间上的最大值减去最小值的差称为此函数在此区间 上的“界高”. 求 f(x)在区间[t,t+1](﹣2≤t≤0)上的“界高”h(t)的解析式;在上述区间 变化的过程中,“界高”h(t)的某个值 h0 共出现了四次,求 h0 的取值范围.

2016-2017 学年四川省成都市树德中学高一(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一项是符合题 目要求的) 1.设全集 U=R, ,B={x|x<2},则(?UA)∩B=( D.{x|x≥1} )

A.{x|1≤x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|x<2} 【考点】交、并、补集的混合运算.

【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 补集与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:x<1 或 x>3,即 A={x|x<1 或 x>3}, ∴?UA={x|1≤x≤3}, ∵B={x|x<2}, ∴(?UA)∩B={x|1≤x<2}, 故选:A.

2.下列函数既是偶函数,又在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=x﹣2 B. C.y=2|x| D.y=|x﹣1|+|x+1|



【考点】分段函数的应用;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【分析】逐一分析给定的四个函数的奇偶性和单调性,可得答案. 【解答】解:函数 y=x﹣2 是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数; 函数 是奇函数,在(0,+∞)上是增函数; 是偶函数,又在(0,+∞)上是增函数;

函数 y=2|x|=

函数 y=|x﹣1|+|x+1|=

是偶函数,但在(0,1]上不是增函数;

故选 C

3.下列说法正确的是(



A.若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0 B.若 α 是锐角,则 2α 是一象限或二象限角 C.若 ,则

D.集合 A={P|P? {1,2}}有 4 个元素 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A,若 f(x)是奇函数,且定义域中有 0,则 f(0)=0; B,若 α=450,则 2α 不是一象限或二象限角; C,当 时,不成立;

D,若 P? {1,2},集合 P 可以是{1},{2},{1,2},?. 【解答】解:对于 A,若 f(x)是奇函数,且定义域中有 0,则 f(0)=0,若定 义域中无 0,则 f(0)无意义,故错; 对于 B,若 α=450,则 2α 不是一象限,也不是二象限角,故错; 对于 C,当 时,不成立,故错;

对于 D,若 P? {1,2},集合 P 可以是{1},{2},{1,2},?,故正确. 故选:D

4. 将函数 y=sinπx 的图象沿 x 轴伸长到横坐标为原来的 2 倍, 再向左平移 1 个单 位,得到的图象对应的解析式是( A. ) D.

B.y=sin(2πx+1) C.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】 首先根据将原函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍奇周期变 为原来的两倍,得到函数 y=sin 数解析式. 【解答】解:由题意可得: 若将函数 y=sinπx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 即周 x,再根据平移原则左加右减、上加下减得到函

期变为原来的两倍, 可得函数 y=sin x, (x+1)]=sin( x+ )

再将所得的函数图象向左平移 1 个单位,可得 y=sin[ =cos x.

故选:C.

5.若 G 是△ABC 的重心,且满足 A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2

,则 λ=(



【考点】向量加减混合运算及其几何意义. 【分析】G 是△ABC 的重心,可得 结论. 【解答】解:∵G 是△ABC 的重心, ∴ ∵ ∴λ=﹣1, 故选 B. , , ,利用 ,即可得出

6.如图,向一个圆台型容器(下底比上底口径宽)匀速注水(单位时间注水体 积相同) ,注满为止,设已注入的水体积为 v,高度为 h,时间为 t,则下列反应 变化趋势的图象正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】容器内对应的水的高度 h 随时间的 t 的增加而增加,且增加的速度越来

越快,即可判断答案. 【解答】解:向一个圆台型容器(下底比上底口径宽)匀速注水(单位时间注水 体积相同) , 则容器内对应的水的高度 h 随时间的 t 的增加而增加,且增加的速度越来越快, 故选:D.

7.平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的始边在 x 轴非负半轴,终边与单位圆交于点 ,将其终边绕 O 点逆时针旋转 标为( A. ) B. C. D. 后与单位圆交于点 B,则 B 的横坐

【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 sinα 和 cosα 的值,再利用两角和的 余弦公式求得 B 的横坐标 cos(α+ )的值.

【解答】解:由题意可得 sinα= ,cosα= , B 的横坐标为 cos(α+ , 故选:B. )=cosαcos ﹣sinαsin = ﹣ =﹣

8.函数 y=f(x)满足对任意的 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)?f(y) ,且 f(1) =2, 若g (x) 是 f(x) 的反函数 (注:互为反函数的函数图象关于直线 y=x 对称) , 则 g(8)=( A.3 B.4 ) C.16 D.

【考点】抽象函数及其应用. 【分析】运用赋值法,可得 f(2)=4,f(3)=8,再由互为反函数的函数图象关 于直线 y=x 对称,点(m,n)的对称点为(n.m) ,即可得到所求 g(8) . 【解答】解:函数 y=f(x)满足对任意的 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)?f(y) , 且 f(1)=2,

可得 f(2)=f(1)?f(1)=4, 令 x=1,y=2,可得 f(3)=f(1)?f(2)=2×4=8, 由 g(x)是 f(x)的反函数, 可得互为反函数的函数图象关于直线 y=x 对称, (3,8)关于直线 y=x 对称的点为(8,3) , 则 g(8)=3. 故选:A.

9.函数 A.定义域是



) B.值域是 R

C.在其定义域上是增函数 D.最小正周期是 π 【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】化简函数 f(x)为正切型函数,容易判断 f(x)的最小正周期是 π. 【解答】解:∵函数 =tan(x+ ) ,

=

∴f(x)的定义域是{x|x≠kπ+ f(x)的值域不是 R,B 错误;

,且 x≠

+kπ,k∈Z},A 错误;

f(x)在其定义域上不是增函数,C 错误; f(x)的最小正周期是 π,D 正确. 故选:D.

10.过 x 轴上一点 P 作 x 轴的垂线,分别交函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象 于 P1,P2,P3,若 A. B. C. D. ,则 =( )

【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【分析】通过 sinx 的值. 得出 tanx= cosx,根据同角的三角函数关系,即可求出

【解答】解:过 x 轴上一点 P 作 x 轴的垂线,分别交函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象于 P1,P2,P3, ∴线段 PP1 的长即为 sinx 的值, PP3 的长为 tanx 的值,PP2 的长为 cosx 的值; 又 ,

∴tanx= cosx, 即 cos2x= sinx, 由平方关系得 sin2x+ sinx=1, 解得 sinx= ,或 sinx=﹣3(不合题意,舍去) , ∴ = .

故选:A.

11.定义符号函数为 sgn(x)= ①|x|=x?sgn(x) ;

,则下列命题:

②关于 x 的方程 lnx?sgn(lnx)=sinx?sgn(sinx)有 5 个实数根; ③若 lna?sgn(lna)=lnb?sgn(lnb) (a>b) ,则 a+b 的取值范围是(2,+∞) ; ④设 f(x)=(x2﹣1)?sgn(x2﹣1) ,若函数 g(x)=f2(x)+af(x)+1 有 6 个 零点,则 a<﹣2. 正确的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】分段函数的应用. 【分析】由 x>0,x=0,x<0,结合符号函数即可判断①; 由符号函数可得 f(x)=lnx?sgn(lnx) ,g(x)=sinx?sgn(sinx) ,画出它们的图 象,即可判断②; 由题意可得 a>1,0<b<1,推得 ab=1,由基本不等式即可判断③; 由符号函数,画出 y=f(x)的图象,令 t=f(x) ,即有方程 t2+at+1=0 的两根,一

个大于 1,另一个介于(0,1) ,结合二次函数的图象,可得不等式组,解不等 式即可判断④. 【解答】解:①当 x>0 时,x?sgn(x)=x, 当 x=0 时,x?sgn(x)=0, 当 x<0 时,x?sgn(x)=﹣x. 故|x|=x?sgn(x)成立, 故①正确; ②设 f(x)=lnx?sgn(lnx) , 当 lnx>0 即 x>1 时,f(x)=lnx, 当 lnx=0 即 x=1 时,f(x)=0, 当 lnx<0 即 0<x<1 时,f(x)=﹣lnx, 作出 y=f(x)的图象(如右上) ; 设 g(x)=sinx?sgn(sinx) , 当 sinx>0 时,g(x)=sinx, 当 sinx=0 时,g(x)=0, 当 sinx<0 时,g(x)=﹣sinx, 画出 y=g(x)的图象(如右上) , 由图象可得 y=f(x)和 y=g(x)有两个交点, 则关于 x 的方程 lnx?sgn(lnx)=sinx?sgn(sinx)有 2 个实数根, 故②错误; ③若 lna?sgn(lna)=lnb?sgn(lnb) (a>b) , 则 a>1,0<b<1,即有 lna=﹣lnb, 可得 lna+lnb=0,即 ab=1, 则 a+b>2 故③正确; ④设 f(x)=(x2﹣1)?sgn(x2﹣1) , 当 x2﹣1>0 即 x>1 或 x<﹣1,即有 f(x)=x2﹣1, 当 x2﹣1=0 即 x=±1,f(x)=0, 当 x2﹣1<0 即﹣1<x<1,f(x)=1﹣x2, =2,则 a+b 的取值范围是(2,+∞) ,

作出 f(x)的图象, (如下图) 令 t=f(x) ,可得函数 y=t2+at+1, 若函数 g(x)=f2(x)+af(x)+1 有 6 个零点, 则 t2+at+1=0 有 6 个实根, 由于 t=0 不成立,方程 t2+at+1=0 的两根,一个大于 1,另一个介于(0,1) , 则 即为 ,解得 a<﹣2,

故④正确. 故正确的个数有 3 个. 故选:D.

12.已知函数

,那么下列命题正确的是(



A.若 a=0,则 y=f(x)与 y=3 是同一函数 B.若 0<a≤1,则 C.若 a=2,则对任意使得 f(m)=0 的实数 m,都有 f(﹣m)=1 D.若 a>3,则 f(cos2)<f(cos3) 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A,若 a=0,则 y=f(x)的定义域为{x|x≠0},y=3 定义域为 R,不是同

一函数; B,若 0<a≤1 时,可得函数 f(x)在[﹣ C,a=2 时,f(x)= = , ]上为增函数,即可判断;

,f(x)+f(﹣x)=

,即可判定; , ]上为增函数,且 cos2>cos3,即可判定.

D,当 a>3 时,f(x)在[﹣

【解答】解:对于 A,若 a=0,则 y=f(x)的定义域为{x|x≠0},y=3 定义域为 R, 不是同一函数,故错; 对于 B, 若 0<a≤1 时, 可得函数 f (x) 在[﹣ = a=2 时, f x) = 对于 C, ( = 确; f 对于 D, 当 a>3 时, (x) 在[﹣ >f(cos3) ,故错. 故选:C , ]上为增函数, 且 cos2>cos3, 则f (cos2) ,故错; f x) f x) = , ( +(﹣ , ]上为增函数, ∵

,∴则对任意使得 f(m)=0 的实数 m,都有 f(﹣m)=1,正

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把最终的结果填在题中横线 上) 13.若函数 ,则函数 y=f(2x)的定义域是 [1,+∞) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可. 【解答】解:由 x﹣2≥0,解得:x≥2, 故 2x≥2,解得:x≥1, 故函数的定义域是:[1,+∞) .

14.己知 f(x)= 1 .

的值域为 R,那么 a 的取值范围是



【考点】函数的值域. 【分析】根据函数解析式得出 x≥1,lnx≥0,即满足: 【解答】解:∵f(x)= ∴x≥1,lnx≥0, ∵值域为 R, ∴1﹣2ax+3a 必须到﹣∞, 即满足: 即 故答案为: . 求解即可.

15.若 . 【考点】三角函数的化简求值. sin[ = 【分析】 利用构造思想, (α+β) ﹣α]=sinβ, 由 cos (α+β) 的值即可求. 【解答】解:由 a∈(0,π) , >0, ∴ ∵sin2α+cos2α=1 解得:sinα= ,cosα= 由 cos(a+β)= >0,

,则 sinβ=

, 求出 sin (α+β)



,β∈(0,π) )

∴(α+β)∈(0, ∴sin(a+β)=

那么:sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα= = 故答案为 .

× ﹣

16.若函数 f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数且满足 f(x)+g(x)=ex, 其中 e 是自然对数的底数,则比较 f(e) ,f(3) ,g(﹣3)的大小 (3)<g(﹣3) . f(e)<f

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数奇偶性的性质,构造方程求出 f(x) ,g(x)的表达式,然后 利用函数值的大小进行比较即可. 【解答】解;∵函数 f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数且满足 f(x) +g(x)=ex,① ∴f(﹣x)+g(﹣x)=e﹣x, 即﹣f(x)+g(x)=e﹣x,② 两式联立得 ,f(x)= ,

则函数 f(x)为增函数,∴f(e)<f(3) , ∵g(x)偶函数, ∴g(﹣3)=g(3) , ∵g(3)= ,f(3)= ,

∴f(3)<g(﹣3) , 综上:f(e)<f(3)<g(﹣3) . 故答案为:f(e)<f(3)<g(﹣3) .

三、解答题(共 6 个小题,共计 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算

步骤) 17. ( I)求值:log23?log34﹣log20.125﹣ ( II)求值:sin15°+cos15°. 【考点】对数的运算性质;三角函数的化简求值. 【分析】 (Ⅰ)根据对数和指数幂的运算性质计算即可, (Ⅱ)根据两角和的正弦公式计算即可. 【解答】解: ( I)原式= ( II)原式= ( sin15°+ cos15°)= sin60°= , ;

18.已知函数 ( I)求函数 f(x)对称轴方程和单调递增区间; ( II)对任意



,f(x)﹣m≥0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;正弦函数的图象. 【分析】 (I)化简函数,利用正弦函数的性质求函数 f(x)对称轴方程和单调递 增区间; (II)对任意 ,f(x)﹣m≥0 恒成立,f(x)﹣m≥0 恒成立等价

于 m≤f(x)min,即可求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (I) = 由 由 所以对称轴是 (II)由 得 ,单调增区间是 ,从而 . , , . , =

f(x)﹣m≥0 恒成立等价于 m≤f(x)min,∴

19.根据平面向量基本定理,若 一确定地表示为 y)为向量 在基底 的单位向量

为一组基底,同一平面的向量 可以被唯

,则向量 与有序实数对(x,y)一一对应,称(x, 下的坐标;特别地,若 分别为 x,y 轴正方向

,则称(x,y)为向量 的直角坐标. ,则

(I)据此证明向量加法的直角坐标公式:若 ; (II)如图,直角△OAB 中, 且 ,求向量 在基底 下的坐标.

,C 点在 AB 上,

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 ( I)利用平面向量的坐标运算即可证明结论成立; ( II) 【解法一】 (向量法) ,根据几何性质得出 【解法二】 (向量法)根据几何性质得出 【解法三】 (坐标法)以 O 为坐标原点, 坐标系, 利用坐标表示求出 的坐标即可. , ,用 ,再用 、 、 表示 即可;

表示

即可;

方向为 x,y 轴正方向建立直角

【解答】解: ( I)证明:根据题意: ∴ =x1 +y1 , ∴ ∴ ; =x2 +y2 , ,

( II) 【解法一】 (向量法) :根据几何性质,易知

∠OAB=60°,∴| 从而 ∴ ∴ + = , = ( + = + ,

|= ,|

|= ;

) ,

化简得: ∴ 在基底

+

; . ,

下的坐标为

【解法二】 (向量法) :同上可得: ∴ ∴ + = = ( + + ) ,

;从而求得坐标表示. 方向为 x,y 轴正方向建立直角

【解法三】 (坐标法) :以 O 为坐标原点, 坐标系, 则 设 ,则 ,

,由几何意义易得 C 的直角坐标为







解得



即得坐标为( , ) .

20.某企业一天中不同时刻的用电量 y(万千瓦时)关于时间 t(小时,0≤t≤ 24) =Asin ω>0, 0<φ<π) 的函数 y=f (t) 近似满足 f (t) (ωt+φ) +B, (A>0, . 如 图是函数 y=f(t)的部分图象(t=0 对应凌晨 0 点) . (Ⅰ)根据图象,求 A,ω,φ,B 的值;

(Ⅱ)由于当地冬季雾霾严重,从环保的角度,既要控制火力发电厂的排放量, 电力供应有限; 又要控制企业的排放量,于是需要对各企业实行分时拉闸限电措 施.已知该企业某日前半日能分配到的供电量 g(t) (万千瓦时)与时间 t(小 时)的关系可用线性函数模型 g(t)=﹣2t+25(0≤t≤12)模拟.当供电量小于 该企业的用电量时, 企业就必须停产. 初步预计停产时间在中午 11 点到 12 点间, 为保证该企业既可提前准备应对停产,又可尽量减少停产时间,请从这个初步预 计的时间段开始,用二分法帮其估算出精确到 15 分钟的停产时间段.

【考点】在实际问题中建立三角函数模型. 【分析】 (Ⅰ)根据图象最值求 A,B,根据周期求出 ω,利用特殊点求出 φ 的值; (Ⅱ)h(t)=f(t)﹣g(t) ,设 h(t0)=0,则 t0 为该企业的停产时间.易知 h (t)在(11,12)上是单调递增函数,确定 t0∈(11.25,11.5) .即可得出结论. 【解答】解: (Ⅰ)由图知 , ∴ 又 0<φ<π,∴ 综上, , , .代入(0,2.5) ,得 . ,B=2. 即 . . ,∴ . . ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 令 h(t)=f(t)﹣g(t) ,

设 h(t0)=0,则 t0 为该企业的停产时间.易知 h(t)在(11,12)上是单调递 增函数. 由 h(11)=f(11)﹣g(11)<0,h(12)=f(12)﹣g(12)>0, 又 11.5) . ,则 t0∈(11,

即 11 点到 11 点 30 分之间(大于 15 分钟) 又 ,

则 t0∈(11.25,11.5) .即 11 点 15 分到 11 点 30 分之间(正好 15 分钟) . 答:估计在 11 点 15 分到 11 点 30 分之间的时间段停产.

21.已知函数 f(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1) . (Ⅰ)求 f(x)的定义域,判断并用定义证明其在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 a>0,解关于 x 的不等式 f(a2x﹣2ax)<lg2. 【考点】复合函数的单调性;对数函数的图象与性质. 【分析】 (Ⅰ)由真数部分恒为正,可得函数的定义域,进而作差,利用定义, 可得函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减; 注:也可根据复合函数的单调性进行证明; (Ⅱ)若 a>0,不等式 f(a2x﹣2ax)<lg2.等价于 f(a2x﹣2ax)<f(3) .结合 (I)中函数的单调性,可得答案. 【解答】解: (Ⅰ)由题意 任取 1<x1<x2, 则 ∵1<x1<x2, ∴(x1x2﹣1+x2﹣x1)﹣(x1x2﹣1﹣x2+x1)=2(x2﹣x1)>0, 且 x1x2﹣1﹣x2+x1=(x1﹣1) (x2+1)>0, ∴ , , ,所以定义域为(1,+∞) .

∴ ∴f(x1)>f(x2) ,



即函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减 注:令 , ,先判断 φ(x1) ,φ(x2)大小,

再判断 f(x1) ,f(x2)大小的酌情给分. (Ⅱ)由 出) , 于是原不等式等价于 f(a2x﹣2ax)<f(3) . 由(Ⅰ)知函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,于是原不等式等价于:a2x ﹣2ax>3>1, 即 a2x﹣2ax﹣3>0? (ax﹣3) (ax+1)>0? ax>3. 于是:①若 a>1,不等式的解集是{x|x>loga3}; ②若 0<a<1,不等式的解集是{x|x<loga3}; ③若 a=1,不等式的解集是 Φ. (,每少一种情况扣 1 分) 知, , (可直接看出或设未知数解

22.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R,都有 f(x+2)=﹣f(x) , 当 0≤x≤1 时,f(x)=x2. (I)当﹣2≤x≤0 时,求 f(x)的解析式; ( II ) 设 向 量 的值; (III)定义:一个函数在某区间上的最大值减去最小值的差称为此函数在此区间 上的“界高”. 求 f(x)在区间[t,t+1](﹣2≤t≤0)上的“界高”h(t)的解析式;在上述区间 变化的过程中,“界高”h(t)的某个值 h0 共出现了四次,求 h0 的取值范围. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;抽象函数及其应用;函数的周期性. 【分析】 (I)定义在 R 上的奇函数,可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x+2)=﹣f(x) , 当 0≤x≤1 时,f(x)=x2.可求当﹣2≤x≤0 时,求 f(x)的解析式 (II)根据 同向,建立关系,利用向量的乘积的运算法则化简即可求解. , 若 同 向 , 求

(III)根据题意,证明其对称性,根据函数解析式画出图形,数形结合法,可求 h0 的取值范围. 【解答】解: ( I)设﹣2≤x≤﹣1,则 0≤x+2≤1, ∴f(x+2)=(x+2)2=﹣f(x) ,

∴f(x)=﹣(x+2)2; 设﹣1≤x≤0,则 0≤﹣x≤1, ∴f(﹣x)=(﹣x)2=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣x2. 综上:当﹣2≤x≤0 时, ( II ) 由 题 : , 所以 若 θ 在三象限,则 θ 只能在一象限. ∴ , , (※) 由 f(x+2)=﹣f(x)得 f(x+4)=﹣f(x+2)=﹣[﹣f(x)]=f(x) , 所以(※)式= ( III)先说明对称性(以下方法均可) : 法一:由( II) :f(x+4)=f(x) ,再由已知:f(x)是奇函数且 f(x+2)=﹣f(x) , 得 f(x﹣2)=﹣f(x)=f(﹣x) ,令 x 为﹣x,得 f(﹣2﹣x)=f(x) , ∴f(x)的图象关 x=﹣1 对称. 法二:由( I) :x∈[﹣1,0]时,f(﹣2﹣x)=﹣(﹣2﹣x)2=﹣(x+2)2=f(x) ; x∈[﹣2,﹣1]时,f(﹣2﹣x)=﹣(﹣2﹣x+2)2=﹣x2=f(x) , 综上:f(x)在[﹣1,0]和[﹣2,﹣1]上的图象关于 x=﹣1 对称. 法三:由画出图象说明 f(x)在[﹣2,﹣1]和[﹣1,0]上的图象关于 x=﹣1 对称 也可. (或 0.16) ∴ .∵sinθcosθ>0,∴θ 可能在一、三象限, 反向,与题意矛盾;若 θ 在一象限,则 同向.综上, . , ∴

设 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t) ,则 h(t)=M(t) ﹣m(t) .显然:区间[t,t+1]的中点为 ( i)当 t≥﹣2 且 ,即 .所以,如图: 时,M(t)=﹣(t+2)2,m(t)=

﹣1,∴h(t)=M(t)﹣m(t)=﹣(t+2)2+1; ( ii)当 t+1≤0 且 ,即 时,M(t)=﹣(t+1)2,m(t)=

﹣1,∴h(t)=M(t)﹣m(t)=﹣(t+1)2+1; ( iii)当﹣1≤t≤0 时,M(t)=(t+1)2,m(t)=﹣t2,∴h(t)=M(t)﹣m (t)=(t+1)2+t2=2t2+2t+1.

综上:



根据解析式分段画出图象,并求出每段最值(如图) ,由图象可得:



2017 年 3 月 11 日
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