高三数学-泰州市2015届高三下学期第二次模拟考试数学试题

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.若复数 (a ? 2) ? i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a = 【答案】2 ▲ .

考点:1.复数的概念; 2.已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?a, 4? ,若 A ? B ? {1, 2,3, 4} ,则 A ? B ? 【答案】{4} ▲ .

考点:1.集合的运算; 3.某高中共有 1200 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样 的方法从中抽取 48 人,那么高二年级被抽取的人数为 【答案】16 【解析】 试题分析:设高一、高二、高三年级的人数分别为 x?d,x,x+d,则 3x=1200,即高二年级 的人数为 1200,所以高二年级被抽取的人数为 48 ? 1200 ? 16 ; 3600 考点:1.等差数列的概念;2.抽样方法; ▲ .

x2 y 2 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则 m ? 4.已知双曲线 4 m 2
【答案】2 【解析】





2 试题分析: 因为该双曲线的焦点在 x 上, 所以其渐近线方程为 y ? ? b x , 则 b ? 2 , b2 ? 1 , a a 2 a 2

所以 m ? 1 , m ? 2 ; 4 2

1

考点:1.双曲线的几何性质; 5.执行右边的伪代码后,输出的结果是 ▲ .

i ?1 x?4
While

i <10

x ? x ? 2i i ?i?3
End While Print x 第 5 题图 【答案】28 【解析】

考点:1.算法; 6.若圆柱的侧面积和体积的值都是 12 π ,则该圆柱的高为 【答案】3 ▲ .

考点:1.简单几何体的体积与表面积; 7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动, 他随机地往单位圆中投掷一点, 若此点到圆心的 距离大于

1 1 ,则周末看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则周末打篮球;否则就在家 2 4
▲ .

看书.那么小明周末在家看书的概率是 【答案】 【解析】

3 16

试题分析:设“看电影” 、 “打篮球” 、 “看书”三个事件分别为 A、B、C,则这三个事件互斥, 而且

P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 ,又 P( A) ?

? ? ? ( 1 )2 ?
2

? 3 , P( B) ? 4

? ( 1 )2 ?
4

? 1 ,所以 16

2

P(C ) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 3 ; 16

考点:1.几何概型;2.互斥事件; 8.在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 4, a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 ,则 a7 ? 【答案】64 ▲ .

考点:1.等比数列的通项公式; 9. 已知函数 y ? ▲ .

x2 ? 2x ? a 的定义域为 R ,值域为 [0,??) ,则实数 a 的取值集合为

【答案】{1}

考点:1.函数的定义域与值域;

?x ? y ? 4 ? 0 ? 10.已知实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y ? 3 的取值范围是 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ?
【答案】 [1, 7] 【解析】 试题分析:平面区域如图所示:





3

y
(1,3)

(0,1)
O

(4, 0)

x

考点:1.线性规划; 11.设函数 f ( x) ? 3 sin( πx ?

π π ) 和 g ( x) ? sin( ? πx) 的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 3 6 ???? ? ???? 轴的交点分别为 M 、 N ,已知 O 为原点,则 OM ? ON ? ▲ .
8 9

【答案】 ? 【解析】

考点:1.三角函数的恒等变换;2.平面向量的数量积; 12.若斜率互为相反数且相交于点 P(1,1) 的两条直线被圆 O : x ? y ? 4 所截得的弦长之比
2 2



6 ,则这两条直线的斜率之积为 2
4





【答案】 ?9 或 ? 【解析】

1 9

试题分析:设这两条直线的斜率分别为 k 和 ? k ,则它们的方程分别为 kx ? y ? k ? 1 ? 0 和
2 4?(
kx ? y ? k ? 1 ? 0 , 所以弦长之比为

| k ? 1| k ?1 | k ? 1|
2

)2 )2

2 4?(
3 ,所以 ?k 2 ? ? 1 或 ?9 ; 9

1 0 k3 ? 0? , ? 6, 即 3k 2 ? 解得 k ? 1 或 2 3

k ?1
2

考点:1.直线与圆的位置关系;2.点到直线的距离公式; 13. 若 函 数 f ( x) ? ( x? 2) x? a在 区 间 [ 2 , 4 ] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是
2





【答案】 (??, 2] ? [5, ??) 【解析】

考点:1.分段函数;2.用导数研究函数的单调性; 14.在 ?ABC 中, D 为边 AC 上一点, AB ? AD ? 4, AC ? 6 ,若 ?ABC 的外心恰在线段

BD 上,
则 BC ? 【答案】 2 10 【解析】 ▲ .

5

A

E F B O D

C 而 cos A ? cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? 1 ? 2cos 2 ? ? 1 ,则 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2AB ? AC cos A ? 40 , 4 所以 BC ? 2 10 ; 考点:1.余弦定理;2.三角函数的定义及和、差角公式; 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分) 已知向量 a ? (? ,

1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) , 0 ? ? ? π . 2 2

(1)若 a ∥ b ,求角 ? 的大小; (2)若 a ? b ? b ,求 sin ? 的值. 【答案】 (1) ? ? 【解析】

2 15 ? 3 π; (2) ; 3 8

6

考点:1.向量共线的坐标表示;2.向量的数量积;3.三角函数公式; 16.(本题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在平面互相垂直, AE ? BE ,点 M , N 分别是 AE, CD 的中点. (1)求证: MN ∥平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 ADE .
E

M A D B N C

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析; 【解析】

7

考点:1.线面平行的判定定理;2.线面、面面垂直的判定与性质; 17.(本题满分 14 分) 如图,某市有一条东西走向的公路 l ,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路

m .在施工过程中发现在 O 处的正北 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决
定以 A 为圆心,1 百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路 l 、 m ,欲再新建一条公 路 PQ ,点 P 、 Q 分别在公路 l 、 m 上,且要求 PQ 与圆 A 相切. (1)当 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长; (2)当公路 PQ 长最短时,求 OQ 的长.


Q

A l m
【答案】 (1) 【解析】

O

P



8 3? 5 ; (2) ; 3 2

8

试题解析:


Q

B A l m

O

P



∵ PQ 与圆 A 相切,∴

2 ? 2q q 2 ? 22

? 1 ,解得 q ?
8 百米. 3

8 , 3

故当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为

9

考点:1.直线与圆的位置关系;2.用导数研究函数的最值; 18.(本题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,与 x 轴 a 2 b2

平行的直线与椭圆 E 交于 B 、 C 两点,过 B 、 C 两点且分别与直线 AB 、 AC 垂直的直线 相交于点 D .已知椭圆 E 的离心率为 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明点 D 在一条定直线上运动,并求出该直线的方程; (3)求 ?BCD 面积的最大值.

4 5 5 ,右焦点到右准线的距离为 . 5 3

y D O A B C x

10

【答案】 (1) 【解析】

27 x2 y 2 ? ? 1; (2)详见解析, x ? 3 ; (3) ; 4 9 4

(3)由(2)得点 D 的纵坐标为 yD ?

2 x0 ? 3 x0 ?9 (3 ? x0 ) ? y0 ? ? y0 , y0 y0

11

考点: (1)椭圆的几何性质; (2)椭圆的标准方程; (3)曲线的交点; (4)利用函数或基本 不等式求最值; 19.(本题满分 16 分) 已知 an ? , bn ? , cn ? 都是各项不为零的数列,且满足 a1b1 ? a2b2 ?? ? an b n ? c nS n,

?

?

?

n ? N? ,其中 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, ?cn ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列.
(1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ?n ( ? 是不为零的常数) ,求证:数列 bn ? 是等差数列; (3)若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为常数, k ? N ) , bn ? c 2 , n ?)N ,求证:对任意的 nk ? (n ?
?

?

?

?

?

b n ? 2, n ? N? ,数列 { n } 单调递减. an
【答案】 (1) bn ? 4n ? 3(n ? N ) ; (2)详见解析; (3)详见解析; 【解析】 试题分析: (1)由已知条件可化得数列 bn ? 的前 n 和,再作差求得通项,要注意分类讨论; (2)与(1)的思路相同,利用和作差,得到项之间的关系式,进而表示出数列 bn ? 的通 项,利用等差数列的定义进行证明,还应注意补充说明 b2 ? b1 ; (3)由(2)中和作差后的
?

?

?

12

通项间的关系式可推得 Sn 与 a n 的关系式,则证得从第 2 项起 an ? 成等比数列,求得其通项 公式,同时也求得数列 bn ? 从第二项起是等差数列,所以从第 2 项起 { 过作差或作商可以研究它的单调性;

?

?

bn } 为差比数列,通 an

(2)因为 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? cn Sn ,

(3)由(2)得当 n ? 2 时, Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? an (bn ? cn ) , 因为 bn ? cn?k ,所以 bn ? cn ? kd ,即 bn ? cn ? kd ,所以 Sn?1d ? an ? kd ,即 Sn?1 ? kan , 所以 Sn ? Sn?1 ? an ? (k ? 1)an , 当 n ? 3 时, Sn?1 ? (k ? 1)an?1 ,两式相减得 an ? (k ? 1)an ? (k ? 1)an?1 ,

13

考点:1.等差数列的通项与求和;2.等比数列的通项;3.数列的前 n 和与通项; 20.(本题满分 16 分) 己知 f ( x) ? ex ? a ln x ? a ,其中常数 a ? 0 . (1)当 a ? e 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若函数 y ? f ( x) 有两个零点 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,求证: (3)求证: e
2 x ?2

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? a ; a

? ex?1 ln x ? x ? 0 .

【答案】 (1)极小值为 0,无极大值; (2)详见解析; (3)详见解析; 【解析】

试题解析:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,
x (1)当 a ? e 时, f ( x) ? e ? eln x ? e , f ?( x ) ? e ?
x

e , x

而 f ?( x ) ? e ?
x

e 在 (0, ??) 上单调递增,又 f ?(1) ? 0 , x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? f ?(1) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减;
14

? 0 当 x ? 1 时 , f ?( x) ? f? (1) , 则 f ( x ) 在 (1, ??) 上 单 调 递 增 , 所 以 f ( x ) 有 极 小 值 f (1)? 0,没有极大值.

f ??(a) ? ea ?

1 1 1 ? ea ? ? e ? ? 0 , a e e

设 h( x ) ?

x 1? x ( x ? 0) ,则 h?( x ) ? x , x e e

当 0 ? x ? 1 时, ? ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增;

15

考点:1.用导数研究函数的最值和极值;2.零点存在性定理;3.构造函数证明不等式; 2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学试题(附加题) 21.[选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两 题记分.

A. (本小题满分 10 分,几何证明选讲)
如图, CD 是圆 O 的切线,切点为 D , CA 是过圆心的割线且交圆 O 于 B 点,过 B 作 ? O 的切线交 CD 于点 E , DE ?

1 EC . 2

求证: (1) CA ? 3CB ; (2) CA ? 3CD .
D E C

A

O

B

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析; 【解析】

D

E C

A

O

B

(1)∵ CD 是圆 O 的切线,∴ CD ? CA ? CB ,
2

连结 OD ,则 OD ? CD ,

16

考点:1.圆的切线;2.切割线定理;

B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换)
已知矩阵 A ? ?

? 0 1? ?0 2 ? ,矩阵 B ? ? ? ? ,直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 经矩阵 A 所对应的变换 ? a 0? ?b 0 ?

得到直线 l 2 ,直线 l 2 又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 l3 : x ? y ? 4 ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)求直线 l 2 的方程. 【答案】 (1) a ? 【解析】

1 , b ? ?1 ; (2) x ? 2 y ? 4 ? 0 ; 2

考点:1.矩阵变换;2.矩阵的乘法;

C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲)
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合. 若直线 l 的极坐

?? ? 标方程为 ? sin ? ? ? ? ? 3 2 . 4? ?
(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)已知 P 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值. 16 9

17

【答案】 (1) x ? y ? 6 ? 0 ; (2) 【解析】

2 ; 2

考点:1.极坐标方程与直角坐标方程互化;2.参数方程的应用;

D. (本小题满分 10 分,不等式选讲)
2 已知不等式 a ? b ? 2c ?| x ?1| 对于满足条件 a ? b ? c ? 1 的任意实数 a, b, c 恒成立,求
2 2 2

实数 x 的取值范围. 【答案】 x ? ? 3或x ? 3 【解析】

考点:1.柯西不等式;2.不等式恒成立问题; [必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某班组织的数学文化节活动中,通过抽奖产生了 5 名幸运之星.这 5 名幸运之星可获得 A 、

B 两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪
一种奖品,抛掷点数小于 3 的获得 A 奖品,抛掷点数不小于 3 的获得 B 奖品. (1)求这 5 名幸运之星中获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数的概率;

18

(2)设 X 、 Y 分别为获得 A 、 B 两种奖品的人数,并记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分 布列及数学期望.

185 【答案】 (1) 51 ; (2)详见解析, ; 243 81
【解析】

(1)要获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数,则 A 奖品的人数可能为 3, 4, 5 ,则 则所求概率为 P ? C5 ( ) ( ) ? C5 ( ) ( ) ? C5 ( ) ?
3 3 2 4 4 5 5

1 3

2 3

1 3

2 3

1 3

51 . 243

所以 ? 的分布列是:

?
1

3

5

P

40 81

10 27

11 81

故随机变量 ? 的数学期望 E? ? 1 ?

40 10 11 185 ?5 ? ? 3? ? . 81 27 81 81

考点:1.独立事件的概率;2.随机变量的概率分布和数学期望; 23.(本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? ( x ? x ? 1) ( n ? N ) , g ( x) 是关于 x 的 2 n 次多项式;
2 n
?

19

(1)若 f ( x2 ) g ( x) ? g ( x3 ) 恒成立,求 g (1) 和 g (?1) 的值;并写出一个满足条件的 g ( x) 的 表达式,无需证明. (2)求证:对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,?, an , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ? ?? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn . 【答案】 (1) g (1) ? 0 , g (?1) ? 0 ,例如 g ( x) ? ( x2 ?1)n (n ? N? ) ; (2) ;详见解析; 【解析】

? (a0 ? a1x ??? ak ?1xk ?1 ? ak xk ? ak ?1xk ?1 ? ?? a1x2k ?1 ? a0 x2k )

20

考点:1.数学归纳法;

21


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