广东省深圳市罗湖区翠圆中学2014-2015学年高二第二学期期末数学复习试卷(文科)(四) Word版含解析

2014-2015 学年广东省深圳市罗湖区翠圆中学高二(下)期末数 学复习试卷(文科) (四)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.复数 (i 是虚数单位)=( )

A. 2 B. ﹣2 C. 2i D. ﹣2i 2.若集合 M={x|x﹣2<0},N={x|x ﹣4x+3<0},则 M∩N=( ) A. {x|﹣2<x<2} B. {x|x<2} C. {x|1<x<2} D. {x|1<x<3} 3.函 f(x)=2 ﹣2 在定义域上是( ) A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 4.已知等差数列{an}中,a3+a7﹣a10=8,a11﹣a4=4,记 Sn=a1+a2+…+an,则 S13=( A. 78 B. 152 C. 156 D. 168 )
x ﹣x 2

5.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角 三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

6.已知

,则 2x+y 的最大值是(



A. 3 B.

C. 0 D. ﹣3

7.△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,

,则△ABC 一定是(



A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

8.北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的 第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 米(如图所示) ,则旗杆的高度为( )

A. 10 米 B. 30 米 C. 10 9.下列说法正确的是( A. B. C. D.
2

米 D.





“x =1”是“x=1”的充分不必要条件 2 “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是: “? x∈R,均有 x +x+1<0” 命题“若α=β,则 sinα=sinβ”的逆否命题为真命题

10.已知函数

,正实数 a、b、c 满足 f(c)<0<f(a)<f(b) ,若实

数 d 是函数 f(x)的一个零点,那么下列四个判断: ①d<a;②d>b;③d<c;④d>c.其中可能成立的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



二.填空题(每小题 5 分,共 20 分.) 11.中心在坐标原点,一个焦点为(5,0) ,且以直线 . 12.如图,是一程序框图,则输出结果为 K= ,S= 为渐近线的双曲线方程为

(说明,M=N 是赋值语句,也可以写成 M←N,或 M:=N) 13.以下四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样 ②在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好 ③在回归直线方程 个单位 ④在一个 2×2 列联表中, 由计算得 k =13.079, 则其两个变量间有关系的可能性是 90%以上. 其中正确的序号是 .
2

中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 增加 0.1

选做题: 在下面两道小题中选做一题, 两题都选只计算前一题的得分. 【参数方程与极坐标】 14. (参数方程与极坐标)已知 F 是曲线 则|MF|的值是 . (θ∈R)的焦点, ,

【几何证明选讲】 15.如图,P 是圆 O 外的一点,PD 为切线,D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O,PF=6,PD=2 则∠DFP= °.



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P,Q 是单位圆上两点,O 是坐标原点,且 ,∠AOQ=α,α∈[0,π) . (Ⅰ)若点 Q 的坐标是 (Ⅱ)设函数 ,求 ,求 f(α)的值域. 的值;

17.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示 (1)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (2)你认为哪位运动员的成绩更稳定? (3)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙的 得分的概率.

18.如图,在等腰梯形 PDCB 中,PB=3,DC=1,PD=BC= △PAD 沿 AD 折起,使平面 PAD⊥平面 ABCD.

,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将

(Ⅰ)求证:CD⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 M 是侧棱 PB 中点,截面 AMC 把几何体分成的两部分,求这两部分的体积之比. 19.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业, 打算本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年平均减少 20%,本年度旅游收入为 400 万 元,由于该项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 25%. (Ⅰ)设第 n 年(本年度为第一年)的投入为 an 万元,旅游业收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入?
2 2

20. 如图, 已知圆 C: x +y =2 与 x 轴交于 A1、 A2 两点, 椭圆 E 以线段 A1A2 为长轴, 离心率 (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程;



(Ⅱ)设椭圆 E 的左焦点为 F,点 P 为圆 C 上异于 A1、A2 的动点,过原点 O 作直线 PF 的垂 线交直线 x=﹣2 于点 Q,判断直线 PQ 与圆 C 的位置关系,并给出证明.

21.如图,在直角坐标系中,正方形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0) ,B(1,0) ,C(1, 1) ,D(0,1) . (Ⅰ)已知函数 (其中 ) ,过 f(x)图象是任意一点 R 的切线 l

将正方形 ABCD 截成两部分,设 R 点的横坐标为 t,S(t)表示正方形 ABCD 被切线 l 所截的 左下部分的面积,求 S(t)的解析式; (Ⅱ) 试问 S(t)在定义域上是否存在最大值和最小值?若存在,求出 S(t)的最大值和 最小值;若不存在,请说明理由.

2014-2015 学年广东省深圳市罗湖区翠圆中学高二(下) 期末数学复习试卷(文科) (四)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.复数 (i 是虚数单位)=( )

A. 2 B. ﹣2 C. 2i D. ﹣2i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 先利用完全平方差公式计算分子的值,再计算分式的值,注意虚数单位 i 注意 i = ﹣1. 解答: 解:复数 = = =﹣2,
2

故选 B. 点评: 本题考查复数代数形式的乘法和除法法则. 2.若集合 M={x|x﹣2<0},N={x|x ﹣4x+3<0},则 M∩N=( ) A. {x|﹣2<x<2} B. {x|x<2} C. {x|1<x<2} D. {x|1<x<3} 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2

交集及其运算. 集合. 利用交集定义和不等式性质求解. 解:∵集合 M={x|x﹣2<0}={x|x<2},

N={x|x ﹣4x+3<0}={x|1<x<3}, ∴M∩N={x|1<x<2}. 故选:C. 点评: 本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题. 3.函 f(x)=2 ﹣2 在定义域上是( ) A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 综合题. 分析: 先看函数的定义域是否关于原点对称,否则是非奇非偶函数,在定义域关于原点对 称时,考查 f(x)与
x ﹣x

f(﹣x)的关系,依据奇偶函数的定义,做出判断. 解答: 解:函数的定义域为 R,关于原点对称,f(﹣x)=2 ﹣2 =﹣(2 ﹣2 )=﹣f(x) , x ﹣x 故函数 f(x)=2 ﹣2 在定义域上是奇函数, 故选 B. 点评: 本题考查奇偶函数的定义和判断方法, 一定要先看函数的定义域是否关于原点对称, 然后考查 f(x)与 f(﹣x)的关系. 4.已知等差数列{an}中,a3+a7﹣a10=8,a11﹣a4=4,记 Sn=a1+a2+…+an,则 S13=( A. 78 B. 152 C. 156 D. 168 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 两式相加结合等差数列的性质可得 a7=12,而 S13=13a7,代值计算可得. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a3+a7﹣a10=8,a11﹣a4=4, ∴(a3+a7﹣a10)+(a11﹣a4)=(a3+a11)﹣(a4+a10)+a7=8+4=12, 由等差数列的性质可得 a3+a11=a4+a10,∴a7=12, ∴S13= = =13a7=13×12=156 )
﹣x x x ﹣x

故选:C. 点评: 本题考查等差数列的性质和前 n 项和公式,属基础题. 5.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角 三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥,正方体的一个角,根据三视图的数据, 求出三棱锥的表面积即可. 解答: 解:由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥,正方体的一个角,所以几何体的表 面积为:3 个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和,即:3× = .

故选 A. 点评: 本题是基础题,考查三视图的视图能力,空间想象能力,计算能力,送分题.

6.已知

,则 2x+y 的最大值是(



A. 3 B.

C. 0 D. ﹣3

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 先根据条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用几何意义求最值,将最大值转化为 y 轴 上的截距,只需求出直线 z=2x+y,过可行域内的点 A(1,1)时的最大值,从而得到 z 最大 值即可 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+y, ∵直线 z=2x+y 过可行域内点 A(1,1)时 z 最大,最大值为 3, 故选 A.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画 出可行域、求出关键点、定出最优解.

7.△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,

,则△ABC 一定是(



A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 考点: 平面向量数量积的运算;等差数列的性质. 专题: 计算题.

分析: 由

,结合等腰三角形三线合一的性质,我们易判断△ABC 为等

腰三角形, 又由△ABC 的三个内角 A、B、 C 成等差数列,我们易求出 B=60°, 综合两个结论, 即可得到答案. 解答: 解:∵△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列 ∴2B=A+C 又∵A+B+C=180° ∴B=60° 设 D 为 BC 边上的中点 则 又∵ ∴ ∴ 即△ABC 为等腰三角形, 故△ABC 为等边三角形, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质,其中根据平面向量 的数量积运算,判断△ABC 为等腰三角形是解答本题的关键. 8.北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的 第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 米(如图所示) ,则旗杆的高度为( ) =0 =2

A. 10 米 B. 30 米 C. 10

米 D.



考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先画出示意图,根据题意可求得∠AEC 和∠ACE,则∠EAC 可求,然后利用正弦定理 求得 AC,最后在 Rt△ABC 中利用 AB=AC? sin∠ACB 求得答案. 解答: 解:如图所示,依题意可知∠AEC=45°, ∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105° ∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30° 由正弦定理可知 = ,

∴AC=

? sin∠CEA=20



∴在 Rt△ABC 中, AB=AC? sin∠ACB=20 × =30 米

答:旗杆的高度为 30 米 故选 B.

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.此类问题的解决关键是建立数学模型,把实 际问题转化成数学问题,利用所学知识解决. 9.下列说法正确的是( A. B. C. D.
2



“x =1”是“x=1”的充分不必要条件 2 “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是: “? x∈R,均有 x +x+1<0” 命题“若α=β,则 sinα=sinβ”的逆否命题为真命题

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型. 分析: 根据常用逻辑用语中有关充要条件的判断方法、特称命题否定的叙述、原命题与其 否命题真假之间的关系、三角函数运算相关知识进行各命题真假的判断. 解答: 解:当 x=1 成立时有 x =1 成立, 2 ∴“x =1”是“x=1”的必要不充分条件,故 A 错; 2 2 当“x=﹣1”成立时有(1) ﹣(﹣1)×5﹣6=0 即“x ﹣5x﹣6=0”成立 2 当 x ﹣5x﹣6=0 成立时,不一定有 x=﹣1 成立 2 故“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件,故 B 错; 2 2 命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定应为: “? x∈R,均有 x +x+1≥0” ,故 C 错误; 命题“若α=β,则 sinα=sinβ”的逆否命题为“若 sinα≠sinβ,则α≠β”是正确的, 故 D 正确; 故选 D. 点评: 本题考查命题真假的判断,考查常用逻辑用语的基本知识,考查三角函数的运算, 解决该类问题的关键是逐一对各个说法进行辨析,考查学生的转化与化归能力.
2

10.已知函数

,正实数 a、b、c 满足 f(c)<0<f(a)<f(b) ,若实

数 d 是函数 f(x)的一个零点,那么下列四个判断: ①d<a;②d>b;③d<c;④d>c.其中可能成立的个数为(



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 数形结合. 分析: 利用零点就是两函数图象的交点,再利用图象得结论. 解答: 解:因为函数 在(0,+∞)上是减函数,

又因为 f(c)<0<f(a)<f(b) ,所以 a<b<c, 又因为零点就是两函数图象的交点, 在同一坐标系内画出函数 y= 与 y=lnx 的图象, 如图 a、b、c,d 的位置如图所示只有②③成立. 故可能成立的有两个. 故选 B.

点评: 本题考查函数零点的判定的应用和数形结合思想的应用,数形结合的应用大致分两 类:一是以形解数,即借助数的精确性,深刻性来讲述形的某些属性;二是以形辅数,即借 助与形的直观性,形象性来揭示数之间的某种关系,用形作为探究解题途径,获得问题结果 的重要工具. 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分.) 11.中心在坐标原点,一个焦点为(5,0) ,且以直线 为渐近线的双曲线方程为



考点: 双曲线的标准方程. 专题: 待定系数法. 分析: 设双曲线方程为 b 的值. 解答: 解:设双曲线方程为 + =1,由题意得 c=5= ①, = ②,
2

+

=1,由 5=

①,和

=

②,解方程组求得 a ,

2

由 ①②得 a =16,b =9,故所求的双曲线方程为

2

2



=1,

故答案为:



=1.

点评: 本题考查利用待定系数法求双曲线的标准方程的方法,以及双曲线的简单性质得应 用.

12.如图,是一程序框图,则输出结果为 K= 11 ,S=

(说明,M=N 是赋值语句,也可以写成 M←N,或 M:=N) 考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用 是输出满足条件 S= + +…+ + 的值.

解答: 解:根据题意,本程序框图为求和运算 第 1 次循环:S=0+ 第 2 次循环:S= 第 3 次循环:S= 第 4 次循环:S= + + + ,K=3 ,K=5 + +…+ ,K=7 ,K=9

第 5 次循环:S= 此时,K>10 输出 K=11,S= 故答案为:11, + .

+

+…+

+

,K=11

+…+

+

=



点评: 本题主要考查程序框图,通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执 行,属于基础题. 13.以下四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样 ②在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好 ③在回归直线方程 个单位 ④在一个 2×2 列联表中, 由计算得 k =13.079, 则其两个变量间有关系的可能性是 90%以上. 其中正确的序号是 ②④ . 考点: 独立性检验;分层抽样方法;线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标 检测,这样的抽样系统抽样;在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越 好;在回归直线方程
2 2

中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 增加 0.1

中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 平均增

加 0.1 个单位;k =13.079,其两个变量间有关系的可能性是 90%以上. 解答: 解:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件 产品进行某项指标检测,这样的抽样不是分层抽样,故①不正确, ②在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,故②正确, ③在回归直线方程 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,

预报变量 平均增加 0.1 个单位,故③不正确, ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k =13.079, 则其两个变量间有关系的可能性是 90%以上.④正确 故答案为:②④ 点评: 本题考查独立性检验,考查分层抽样方法,考查线性回归方程,考查判断两个相关 变量之间的关系,是一个综合题目,这种题考查的知识点比较多,需要认真分析. 选做题: 在下面两道小题中选做一题, 两题都选只计算前一题的得分. 【参数方程与极坐标】
2

14. (参数方程与极坐标)已知 F 是曲线 则|MF|的值是 .

(θ∈R)的焦点,



考点: 椭圆的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 先利用二倍角公式进行化简,然后消去参数θ得到曲线方程,求出抛物线的焦点坐 标,根据两点的距离公式求出|MF|的值即可. 解答: 解:y=1+cos2θ=2cos θ=2? 化简得 x =2y ∴F(0, )而 ∴|MF|= 故答案为: 点评: 本题主要考查了抛物线的参数方程,以及两点的距离公式的应用等有关基础知识, 属于基础题. 【几何证明选讲】 15.如图,P 是圆 O 外的一点,PD 为切线,D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O,PF=6,PD=2 则∠DFP= 30 °. ,
2 2



考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据切割线定理写出比例式,代入已知量,得到 PE 的长,在直角三角形中,根据边 长得到锐角的度数,根据三角形角之间的关系,得到要求的角的大小. 解答: 解:连接 OD,则 OD 垂直于切线, 根据切割线定理可得 PD =PE? PF, ∴PE=2, ∴圆的直径是 4, 在直角三角形 POD 中, OD=2,PO=4, ∴∠P=30°, ∴∠DEF=60°,
2

∴∠DFP=30°, 故答案为:30° 点评: 本题考查圆的切线的性质和证明,考查直角三角形角之间的关系,是一个基础题, 题目解答的过程比较简单,是一个送分题目. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P,Q 是单位圆上两点,O 是坐标原点,且 ,∠AOQ=α,α∈[0,π) . (Ⅰ)若点 Q 的坐标是 (Ⅱ)设函数 ,求 ,求 f(α)的值域. 的值;

考点: 正弦函数的定义域和值域;平面向量数量积的运算;单位圆与周期性;两角和与差 的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)根据三角函数的定义和题意求出 cosα,sinα的值,再由两角差的余弦公式 展开后代入求值; (Ⅱ) 根据向量的数量积坐标运算和条件代入 化简,根据α的范围和正弦函数的性质求出值域. 解答: 解: (Ⅰ)∵点 Q 的坐标是 ∴ (Ⅱ) = . ∵α∈[0,π) ,则 ∴ 故 f(α)的值域是 . . , = = ,∴ = . . , 利用两角和正弦公式进行

点评: 本题是由关三角函数的综合题,考查了三角函数的定义,两角和差的正弦(余弦) 公式,正弦函数的性质的应用,三角函数是高考的重点,必须掌握和理解公式以及三角函数 的性质,并会应用. 17.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示 (1)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (2)你认为哪位运动员的成绩更稳定? (3)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙的 得分的概率.

考点: 茎叶图;极差、方差与标准差. 分析: (1)由茎叶图中茎表示十位数,叶表示个数数,我们可以列出甲、乙两名篮球运动 员各场的得分,进而求出甲、乙两名运动员得分的中位数; (2)由表中数据,我们易计算出甲、乙两名篮球运动员各场的得分的方差 S 甲 与 S 乙 , , 2 2 然后比较 S 甲 与 S 乙 ,根据谁的方差小谁的成绩稳定的原则进行判断. (3) 我们计算出从甲、 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数, 然后再计算出其中甲的得分大于乙的基本事件个数,代入古典概率计算公式,即可求解. 解答: 解: (1)运动员甲得分的中位数是 22,运动员乙得分的中位数是 23(2 分) (2) ∵ 分) (3 分) (4
2 2

(5 分)

∴S 甲 <S 乙 ,从而甲运动员的成绩更稳定(8 分) (3) 从甲、 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 49 其中甲 的得分大于乙的是:甲得(14 分)有 3 场,甲得(17 分)有 3 场,甲得(15 分)有 3 场甲 得 2(4 分)有 4 场,甲得 2(2 分)有 3 场,甲得 2(3 分)有 3 场,甲得 3(2 分)有 7 场,共计 26 场(11 分) 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 (12 分)

2

2

点评: 本题考查的知识点是茎叶图,中位数,方差的计算及应用,古典概型等知识点,解 题的关键是根据茎叶图的茎是高位,叶是低位,列出茎叶图中所包含的数据,再去根据相关 的定义和公式进行求解和计算. 18.如图,在等腰梯形 PDCB 中,PB=3,DC=1,PD=BC= △PAD 沿 AD 折起,使平面 PAD⊥平面 ABCD. ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将

(Ⅰ)求证:CD⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 M 是侧棱 PB 中点,截面 AMC 把几何体分成的两部分,求这两部分的体积之比. 考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 证明题;综合题;转化思想. 分析: (Ⅰ)依题意通过计算,以及平面 PAD⊥平面 ABCD,由面面垂直的性质定理,证明 CD⊥平面 PAD. (Ⅱ)设 N 是 AB 的中点,连接 MN,依题意,证明 PA⊥面 ABCD,MN⊥面 ABCD,计算 与 ,得到 VPADCM=VPADCB﹣VMACB,求出 VPADCM:VMACB=两部

分体积比. 解答: 证明: (Ⅰ)依题意知 PA=1, ∴AD⊥AB, 又 CD∥AB∴CD⊥AD(3 分) 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 由面面垂直的性质定理知,CD⊥平面 PAD(6 分) (Ⅱ)解:设 N 是 AB 的中点,连接 MN,依题意,PA⊥AD,PA⊥AB, 所以,PA⊥面 ABCD,因为 MN∥PA, 所以 MN⊥面 ABCD. (8 分) (11 分) 所以, (12 分) (10 分)

VPADCM:VMACB=两部分体积比为 2:1(14 分) 点评: 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题. 19.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业, 打算本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年平均减少 20%,本年度旅游收入为 400 万 元,由于该项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 25%.

(Ⅰ)设第 n 年(本年度为第一年)的投入为 an 万元,旅游业收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)依题意每年投入构成首项为 800 万元,公比为 的等比数列,每年旅游业收 入组织首项为 400 万元,公比为 的等比数列,进而求出 an,bn 的表达式. (Ⅱ)先设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由 bn﹣an>0,解得 n 的取值范 围即可. 解答: (Ⅰ)解,依题意每年投入构成首项为 800 万元,公比为 的等比数列,每年旅游 业收入组织首项为 400 万元,公比为 的等比数列. 所以, ,

(Ⅱ)解,经过 n 年,总收投入



经过 n 年,总收入



设经过 n 年,总收入超过总投入,由此,Tn﹣Sn>0, >0, 化简得 设 解得, 由 因为
2

, 代入上式整理得,5x ﹣7x+2>0, ,或 x>1(舍去) , ,n=4 时, = ,n=5, = ,

在定义域上是减函数,所以 n≥5,

答:至少经过 5 年旅游业的总收入超过总投入. 点评: 本小题主要考查数列的基本应用、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数 学知识解决实际问题的能力,属于中档题.

20. 如图, 已知圆 C: x +y =2 与 x 轴交于 A1、 A2 两点, 椭圆 E 以线段 A1A2 为长轴, 离心率 (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程;

2

2



(Ⅱ)设椭圆 E 的左焦点为 F,点 P 为圆 C 上异于 A1、A2 的动点,过原点 O 作直线 PF 的垂 线交直线 x=﹣2 于点 Q,判断直线 PQ 与圆 C 的位置关系,并给出证明.

考点: 圆与圆锥曲线的综合;直线与圆的位置关系;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (Ⅰ)直接求出 a 再利用离心率 求出 c 即可求出椭圆 E 的标准方程;

(Ⅱ)先设出点 P 的坐标,利用条件求出点 Q 的坐标,再求出 kOP 和 kPQ 的表达式,利用点 P 在圆上,可以得直线 PQ 与圆 C 保持相切. 解答: 解: (Ⅰ)因为 则 b=1,即椭圆 E 的标准方程为 ,所以 c=1(2 分) (4 分)

(Ⅱ)当点 P 在圆 C 上运动时,直线 PQ 与圆 C 保持相切(6 分) 证明:设 P(x0,y0) ( ) ,则 y0 =2﹣x0 ,
2 2

所以





所以直线 OQ 的方程为

(9 分)

所以点 Q(﹣2,

) (11 分)

所以

(13 分)



,所以 kOP⊥kPQ=﹣1,

即 OP⊥PQ,故直线 PQ 始终与圆 C 相切(14 分)

点评: 本题是对圆和椭圆的综合考查.在做这一类型题目时,一定要画出图象,利用图象 来分析问题. 21.如图,在直角坐标系中,正方形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0) ,B(1,0) ,C(1, 1) ,D(0,1) . (Ⅰ)已知函数 (其中 ) ,过 f(x)图象是任意一点 R 的切线 l

将正方形 ABCD 截成两部分,设 R 点的横坐标为 t,S(t)表示正方形 ABCD 被切线 l 所截的 左下部分的面积,求 S(t)的解析式; (Ⅱ) 试问 S(t)在定义域上是否存在最大值和最小值?若存在,求出 S(t)的最大值和 最小值;若不存在,请说明理由.

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)讨论切点位置,得到不同的切点位置对应的面积解析式;注意讨论要全面; (Ⅱ)由(Ⅰ)的解析式分析各段的单调性,全等最值. 解答: 解: (Ⅰ)设 R(t,f(t) ) (其中 ) ,f(x)图象上的两端点为



, …(2 分) ,

所以过点 R(t,f(t) )的切线 l 的方程为: (ⅰ)当切点为 时, ,切线 l 为:

切线 l 与 CD 的交点坐标为 故当 形,S(t)= (ⅱ)当切线过点 B(1,0)时,当

.当切线过点 D(0,1)时,

…(4 分)

时,切线 l 与 CD 相交,此时正方形 ABCD 被切线 l 所截的左下部分是直角梯 …(6 分) 时,切线 l 与 AD,AB 都相交,正方形 ABCD …(7 分) ,切线 l 与 BC 的交点坐标为

被切线 l 所截的左下部分是直角三角形,S(t)= (ⅲ)当切点为 时,切线 l 为:

故当

时,切线 l 与 AD,BC 都相交,正方形 ABCD 被切线 l 所截的左下部分是直角

梯形,S(t)=

…(9 分)

综上所述:

…(10 分)

(Ⅱ)解:当



,故 S(t)在



递增,S(t)最大无限接近 ,S(t)无最大值和最小值…(11 分)



时,

,S(t)在

上递减,S(t)

最大无限接近 ,S(t)无最大值和最小值…(12 分) 故当 , 成立…(13 分)

综上所述:S(t)在定义域上存在最大值 ,不存在最小值.…(14 分) . 点评: 本题考查了分段函数进行是求法与函数的最值求法;借助于导数的几何意义、利用 单调性求最值;考查了学生的计算能力;属于难题.


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