重庆市七校联盟2013-2014学年高二数学上学期联考试题 理 新人教A版

重庆市“七校联盟”高 2015 级高二上数学联考试题

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角与其在 y 轴上的截距分别是( A. 135 ,1
?

) D. 135 ? ,?1

B. 45 ,?1
?

C. 45 ,1

?

2.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n C.若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? B.若 m / / n, m ? ? ,则 n ? ? D. 若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ? ) D.

3. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 BA1 与 CB1 所成的角为( A. 300
900

B. 450

C . 600

4.命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 A.对任意 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 ?0 C.存在 x0 ? R ,都有 x0





B.不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 ?0 D.存在 x0 ? R ,都有 x0

5.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为( A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 B. x 2 ? ( y ? 2)2 ? 5 D. x 2 ? ( y ? 2)2 ? 5

)

6.已知 p : a ? 2 , q : 直线 x ? y ? 0 与圆 x 2 ? ( y ? a)2 ? 1 相切,则 p 是 q 的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的 外接球的半径为( ) A. 36 B.6 C.3 D.9 )

? ? ? ? 8 8.若向量 a ? (1, ? ,2), b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为 ,则 ? 等于( 9 2 A. 2 B. ? 2 或 55

1

2 55 9.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的 表面积为( ).

C. ? 2

D. 2 或 ?

A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80 10. 如图,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位 线 DE 交于点 G,已知 平面 ABC)是△ADE

绕 DE 旋转过程中的一个图形,有下列命题: ①平面 A ' FG ⊥平面 ABC; ②BC∥平面 A ' DE ; 1 ③三棱锥 A ' -DEF 的体积最大值为 a 3 ; 64 ④动点 A ' 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ? ⑤二面角 A ' -DE-F 大小的范围是 [0, ] . 2 其中正确的命题是( ) A.①③④ B. ①②③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.若已知 A(1, 1, 1) , B(?3,?3,?3) ,则线段 AB 的长为 12. 若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a)[ x ? (a ? 2)] ? 0 ”的充分不必要条件,则实数 a 的取 值范围是___________ 13.过点 M (0.4) , 被圆( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 截得的线段长为 2 3 的直线 方程________ 14.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____ 15、已知几何体 EFG—ABCD 如图所示,其中四边形 ABCD,CDGF, ADGE 均为正方形,且边长为 1,点 M 在 DG 上,若直线 MB 与平面 BEF 所角为 45°,则 DM=______________.

三、解答题(16、17、18 每题 13 分,19、20、21 每题 12 分,共 75 分)

2

16. (13 分)已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点为 P . (1)求过点 P 且平行于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线方程; (2)求过点 P 且垂直于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 直线方程.

17 . ( 13 分)如图 , 四棱锥 P ? ABCD的底面 ABCD是正方 形 , 棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC =1, E 是 PC 的中点. (1)证明平面 BDE ? 平面 PBC ; (2)求二面角 E ? BD ? C 的余弦值.

18. (13 分)如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1 F 所截面 而得到的,其中
AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 .

(1)求 BF 的长; (2)求点 C 到平面 AEC1 F 的距离.

19. (12 分)已知圆 C:x2+y2+x-6y+m=0 与直线 l:x+2y-3=0. (1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值

3

20. (12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD , PB、PD 与平面 ABCD 所成角的正切值依次是 1 和 1 , AP ? 2 , E、F 依次是 2 PB、PC 的中点. (1)求证: PB ? 平面AEFD ; (2)求直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值.

21. ( 12 分 ) 如 图 所 示 ,PDCE 为 矩 形 ,ABCD 为 梯 形 , 平 面 PDCE ⊥ 平 面 ABCD, 1 ∠ BAD= ∠ ADC=90 ° ,AB=AD= CD=1,PD= 2 . 2 (1)若 M 为 PA 中点,求证:AC∥平面 MDE; (2)在线段 PC 上是否存在一点 Q(除去端点),使得平面 QAD 与平面 PBC 所成锐二 ? 面角的大小为 。 3

高 2015 级高二上七校联考数学答案 一、选择题 1—10 DBCDA 二、填空题 ACBCB

4

11. 4 3 12. [-1.0] 13. x=0 或 15x+8y-32=0 4 14. ? 3 15.3 2 ? 4 三、解答题 16.
?3 x ? 4 y ? 2 ? 0, ? 2 x ? y ? 2 ? 0, 【答案】 (1)由 ? ? x ? ?2, ? y ? 2. 解得 ?

所以点 P 的坐标是 (?2, 2) . 因为所求直线与 l3 平行, 所以设所求直线的方程为 x ? 2 y ? m ? 0 . 把点 P 的坐标代入得 ?2 ? 2 ? 2 ? m ? 0 ,得 m ? 6 .

______________3 分

故所求直线的方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 ————————————————8 分
l (2)因为所求直线与 3 垂直,

所以设所求直线的方程为 2 x ? y ? n ? 0 . 把点 P 的坐标代入得

2 ? ? ?2 ? ? 2 ? n ? 0

,得 n ? 2 . ——————————13 分

故所求直线的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .

17.【答案】证明:(1) ∵ PD ? DC , E 是 PC 的中点, ∴ DE ? PC . ∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? AD .又由于 AD ? CD , PD ? CD ? D , 故 AD ? 底面 PCD , 所以有 AD ? DE .又由题意得 AD // BC ,故 BC ? DE . 于是,由 BC ? PC ? C , DE ? PC , BC ? DE 可得 DE ? 底面 PBC . 故可得平面 BDE ? 平面 PBC --------------------6 分

5

P

E

D N M A

F

C

B

(2)取 CD 的中点 F,连接 AC 与 BD,交点为 M,取 DM 的中点 N,连接 EN,FN,易知

?ENF 为二面角 E ? BD ? C 的平面角 , 又 EF ?
6 FN 3 ,在 Rt? EFN 中, cos ?ENF ? ? 4 EN 3

2 1 , FN ? , 由勾股定理得 4 2

EN ?

所以二面角 E ? BD ? C 的余弦值为

3 -----------------13 分 3

18.解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)
A(2, 0, 0), C (0, 4, 0), E (2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z ) .

∵ AEC1 F 为平行四边形,
?由AEC1 F为平行四边形, ?由 AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2.? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 . ----------------------------------6 分

(II)设 n1 为平面 AEC1 F 的法向量,
显然n1不垂直于平面ADF , 故可设n1 ? ( x, y,1)

? ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 由? 得? ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ? n ? AF ? 0 , ? 1
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?
6

又CC1 ? (0,0,3), 设CC1与n1 的夹角为 ? ,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到平面 AEC1 F 的距离为
d ?| CC1 | cos? ? 3 ? 4 33 4 33 ? . ----------------------------13 分 33 11

19.解:(1)将圆的方程配方, 1 37-4m 得(x+ )2+(y-3)2= . 2 4 故有 37-4m 37 >0,解得 m< . 4 4 ------------------2 分

将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立得 ?x+2y-3=0, ? 2 2 ?x +y +x-6y+m=0, 消去 y,得 x2+( 3-x 2 3-x ) +x-6× +m=0, 2 2

整理得 5x2+10x+4m-27=0.① ∵直线 l 与圆 C 没有公共点, ∴方程①无解,故有 Δ =102-4×5(4m-27)<0,解得 m>8. ∴m 的取值范围是(8, 37 ). 4

---------------------6 分 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 OP⊥OQ, 得 O→ P ·O→ Q =0,即 x1·x2+y1·y2=0.② 由(1)及根与系数的关系得

x1+x2=-2,x1·x2=

4m-27 .③ 5

又∵点 P,Q 在直线 x+2y-3=0 上,

7

∴y1·y2=

3-x1 3-x2 1 · = [9-3(x1+x2)+x1·x2]. 2 2 4

将③代入上式,得 y1·y2=

m+12
5

.④ 4m-27 m+12 + =0,解得 m=3. 5 5 --------------12 分

将③④代入②得 x1·x2+y1·y2=

代入方程①检验得 Δ >0 成立,∴m=3. 20. (1)∵ PB、PD 与平面 ABCD 所成角的正切值依次 是 1和 1 , AP ? 2 ∴ AB ? 2, AD ? 4 2 ∵ PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是矩形 ∴ AD ? 平面 PAB ∴ AD ? PB ∵ E 是 PB 的中点 ∴ AE ? PB ∴ PB ? 平面AEFD

--------------------6 分

(2)解法一:∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ CD ? PA ,又 CD ? AD , ∴ CD ? 平面 PAD ,取 PA 中点 G , CD 中点 H ,联结 EG、GH、GD ,
1 AB =1 ,? EGHC 是平行四边形, 2 ∴ ?HGD 即为直线 EC 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt?GAD 中, , GH ? 18 , sin ?HGD ? HD ? 1 ? 2 , GH 18 6 2 ∴直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 . 6 -------------------12 分

则 EG / / AB / /CD 且 EG ?

解法二:分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系,依题意, AD ? 4,AB ? 2 ,则各点坐标分 别是
A(0,, 0 0) , B(2,, 0 0) , C(2,, 4 0) , D(0, 4, 0) , ??? ? , 4,? 1) , P(0,, 0 2) ,∴ E(1 ,, 0 1) , F(1 , 2, 1) , EC ? (1 又∵ AB ? 平面 PAD , ? ??? ? ∴平面 PAD 的法向量为 n ? AB ? (2, 0, 0) , 设直线 EC 与平面 PAD 所成的角为 ? ,则 ??? ? ? EC ? ? n? ? 2 ? 2 , sin ? ? ??? | EC | ? | n | 18 ? 2 6

∴直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值为

2 .-----------------12 分 6
8

21. (1)证明:在矩形 PDCE 中,连接 PC 交 DE 于点 N,则点 N 为 PC 的中点, 在Δ APC 中,点 M 为 PA 的中点,点 N 为 PC 的中点,∴AC∥MN, 又 MN ? 平面 MDE, AC ? 平面 MDE。

(2)设 CQ= ? CP,得 Q(0,2- 2? , 2? )

故在 PC 上存在点 Q 满足条件,???????12 分

9


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