二项式定理_图文

基本知识点:
1.二项式定理
0 (a+b)n=Cnan+C1 an-1b+?+Cr an-rbr+?+Cnbn(n∈N*). n n n

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做
r (a+b)n 的 二项展开式 ,其中的系数 Cn(r=0,1,2,?,n)叫 - 二项式系数 .式中的 Cr an rbr 叫做二项展开式的通项 , n 做
r n-r r 用 Tr+1 表示,即展开式的第 r+1 项;Tr+1= Cna b .

基本知识点:
2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n+1 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n, a 与 b 的指数 即 的和为 n . (3)字母 a 按 降幂 排列,从第一项开始,次数由 n 逐项 减 1 直到零;字母 b 按 升幂 排列,从第一项起,次数由 零逐项增 1 直到 n.
n 0 n (4)二项式的系数从 Cn ,C1 ,一直到 Cn-1, Cn . n

基本知识点:
3.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“ 等距离”的两个二项式系数相
m n 等,即 Cn =Cn m.


n+1 (2)增减性与最大值:二项式系数 Cr ,当 r< 2 时,二 n n+1 项式系数是递增的; r> 2 时, 当 二项式系数是递减的.
n

当 n 是偶数时,中间的一项 C 当 n 是奇数时,中间两项 时取得最大值.
C
2 n

2 n

取得最大值.
n ?1

n ?1



C

2

n

相等,且同

基本知识点:
(3)各二项式系数的和
0 Cn+C1 + (a+b) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 ,即 n

n

n

2 Cn+?+Cr +?+Cn =2n. n n

二项展开式中, 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式
0 2 4 1 5 Cn+C3 +Cn+? = Cn+Cn+Cn+? = 2n-1 n 系数的和,即

.

[重、难点提示] 1.二项式的项数与项
r (1)二项式的展开式共有 n+1 项,Cnan rbr 是第 r+1 项.


即 r+1 是项数,Cr an rbr 是项. n (2)通项是 Tr+1=Cr an rbr (r=0,1,2,?,n).其中含有 n Tr+1,a,b,n,r 五个元素,只要知道其中四个即可求 第五个元素.




2.二项式系数与展开式项的系数的异同 在 Tr+1=Cr an rbr 中,Cr 就是该项的二项式系数,它与 a, n n b 的值无关;Tr+1 项的系数指化简后除字母以外的数,如 a=2x,b=3y,Tr+1=Cr 2n r·rxn ryr,其中 Cr 2n r3r 就是 3 n n Tr+1 项的系数.
- - - -

求展开式中的特定项或特定项的系数
1 ? ? ? x+ ?n 例 1 在二项式? 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等 2 x? ? 差数列,求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.
n 1 解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是 1, , n(n-1), 2 8 n 1 ∴2·=1+ n(n-1), 2 8 解得 n=8 或 n=1(不合题意,舍去),
8? r

∴Tr+1= C 8 x
r

2

( 2

1
4

x

) ? C8 2
r r

?r

4?

3 4

r

x

3 当 4- r∈Z 时,Tr+1 为有理项, 4 ∵0≤r≤8 且 r∈Z,∴r=0,4,8 符合要求. 35 1 -2 4 故有理项有 3 项,分别是 T1=x ,T5= x,T9= x . 8 256
∵n=8,∴展开式中共 9 项, 35 中间一项即第 5 项的二项式系数最大且为 T5= x. 8

解题小结:
求 二 项 展 开 式 中 的 指 定 项 ,一 般 是 利 用 通 项 公 式 进 行 ,化 简 通 项 公 式 后 , 令 字 母 的 指 数 符 合 要 求 (求 常 数 项 时 , 指 数 为 零 ; 求 有 理 项 时 , 指 数 为 整 数 等 ), 解 出 项 数 r + 1 , 代 回 通 项 公 式 即可.

变式训练 1
?3 1 ? ? ? 已知在? x- 3 ?n 的展开式中,第 6 项为常数项. 2 x? ? (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.
n?r


r

(1)通项为 Tr+1= C r x
n

3

(?

1 2

) x

r

?

r 3

C n (?

1 2

) x

r

?

n?2r 3

.

n-2r 因为第 6 项为常数项,所以 r=5 时,有 =0, 3 即 n=10.

n-2r 1 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)= ×(10-6)=2, 3 2 2 ? 1? 45 2 ? ?2 = . ∴所求的系数为 C10 -2 4 ? ? ?10-2r ? ∈Z, 3 ? (3)根据通项公式,由题意? ?0≤r≤10, ?r∈N. ? 10-2r 3 令 =k (k∈Z),则 10-2r=3k,即 r=5- k. 3 2 ∵r∈N,∴k 应为偶数.
∴k 可取 2,0,-2,即 r 可取 2,5,8.
所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项, ? 1? ? 1? ? 1? - 2 ? 2 2 5 ? 5 8 ? 它们分别为 C10 -2? x ,C10 -2? ,C10 -2?8x 2. ? ? ? ? ? ?

二项式系数和或各项的系数和的问题
例 2 在(2x-3y)10 的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和. 解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+?+a10y10,(*)

各项系数和为 a0+a1+?+a10, 奇数项系数和为 a0+a2+?+ a10,偶数项系数和为 a1+a3+a5+?+a9,x 的奇次项系数和 为 a1+a3+a5+?+a9, 的偶次项系数和 a0+a2+a4+?+a10. x
由 于 (* )是 恒 等 式 , 故 可 用 “ 赋 值 法 ” 求 出 相 关 的 系 数 和 . (1 )二 项 式 系 数 的 和 为 C 1 0 + C 1 0 + ? + C 1 0 = 2 .
0 1 10 10

(2)令 x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
0 2 (3)奇数项的二项式系数和为 C10+C10+?+C10=29, 10

偶数项的二项式系数和为 C1 +C3 +?+C9 =29. 10 10 10 (4)令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+?+a10=1,



令 x=1,y=-1(或 x=-1,y=1), 得 a0-a1+a2-a3+?+a10=510, ①+②得 2(a0+a2+?+a10)=1+510, 1+510 ∴奇数项的系数和为 ; 2 ①-②得 2(a1+a3+?+a9)=1-510, 1-510 ∴偶数项的系数和为 . 2 ②

1-510 (5)x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+?+a9= ; 2 1+510 x 的偶次项系数和为 a0+a2+a4+?+a10= . 2

解题小结:
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形 如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m (a、b∈R)的式子求其展开式的各 项系数之和, 常用赋值法, 只需令 x=1 即可; 对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则 f(x)展开式中各项系 数 之 和 为 f(1) , 奇 数 项 系 数 之 和 为 a0 + a2 + a4 + ? = f?1?+f?-1? f?1?-f?-1? , 偶数项系数之和为 a1+a3+a5+?= . 2 2

变式训练 2
已知等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a9(x+ 1)9+a10(x+1)10,其中 ai(i=0,1,2,?,10)为实常数.
10 n 1 10 n 1

求:(1)∑ an 的值;(2) ∑ nan 的值. = = 解 (1)∵(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a9(x+ 1)9+a10(x+1)10, ∴令 x=0,则 a0+a1+a2+?+a9+a10=25=32;
10

令 x=-1,则 a0=1,即∑ an=31. =

(2)∵(x +2x+2) =[1+(x+1)2]5
2 =C0×15 +C1(x+1)2+C5 (x+1)4+C3(x+1)6+C4(x+1)8+C5 5 5 5 5 5

2

5

n 1

(x+1)10 =a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a10(x+1)10,

0 2 ∴a0=C5,a1=a3=a5=a7=a9=0,a2=C1,a4=C5,a6=C3, 5 5

a8=C4,a10=C5. 5 5
10

∴∑ nan=a1+2a2+3a3+?+10a10 =
n 1 3 4 =2C1+4C2+6C5+8C5+10C5 5 5 5 5 =10C1+10C2+10C5 5 5

=50+100+10=160.

多项式的处理
例3. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数. 解法一:
? ( x ? 3 x ? 2 ) ? [( x ? 3 x ) ? 2 ]
2 5 2 5

? (x ? 3x) ? C5(x ? 3x) ? 2 ? ?
2 5 1 2 4

?C5(x
4

2

? 3x)? 2 ? C5 ? 2
4 5

5

所以x的系数为 C 4 ? 3 ? 2 4 ? 2 4 0 . 5 【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化 为二项式.

例3. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数. 解法二:因为(x2 十3x十2)5 =(x2 十3x十2)(x2 十 3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2), 所以(x2 十3x十2)5 展开式的各项是由五个 因式中各选一项相乘后得到的. 则它的一次项只能从五个因式中的一个取 一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.
C 5 ? 3 x ? 2 ? 240 x .
4 4

所以x的系数为 240.

例3. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数. 解法三:
? ( x ? 3 x ? 2 ) ? [( x ? 1)( x ? 2 )]
2 5 5

? ( x ? 1) ( x ? 2 )
5

5

所以含x的项为
C 5 x ? C 5 2 +C 5 ? 1 ? C 5 x ? 2
4 5 5 5 5 4 4

= 5 ? 32 x ? 5 ? 16 x ? 240 x .

【1】 (1 ? x ) ? x (1 ? 2 x ) x 144 的系数是________.
4 2
3 3 2

8

? x (1 ? 3 x )
3

12

展开式中x4

C 4 ( ? x ) ? x + C 8 ( 2 x )2 ? x
3

2

+ C 12 ( 3 x ) ? x
1 1

3

? 144 x .
4

【2】多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数 是 -120 .
2 ? C 5 (?2 x ) ? x ? C 5 (?2 x )
3 3 2 2

? ?120 x .
3

【3】

2 3 ( x ? 12 ? 2) x

展开式中的常数项是_______. ?20
1 3 3

C3 x ? C2
1 2 1

1 x
2

? C1 ( ?2) ? C3 (?2) ?

?20.

2 3 6 ( x ? 12 ? 2) ? ( x ? 1 ) x x

Tr + 1 = ( ? 1 ) C 6 x
r r

6? 2r

? ( ? 1) C 6 ? ? 20.
3 3

【4】 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)
2 3 4

5

-20 的展开式中x2 的系数是_________. 原式 ?
( x ? 1)[1 ? ( x ? 1) ]
5

1 ? ( x ? 1)

?

( x ? 1) ? ( x ? 1) x

6

.

在(x-1)6的展开式中,含有x3项的系数为
? C 6 ? ?20.
3

? C 2 ? ( ? 1 )C 3 ? ( ? 1 ) C 4 ? ( ? 1 ) C 5
0 1 2 2 3

3

【5】三项式转化为二项式
( x ?1? 1 )8 展 开 式 中 的 常 数 项 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x

1 107

(

8 x ? 1 ? 1 ) ? [( x

x ?

1 ) ? 1] 8 x

0 8 1 7 7 8 ? C8( x ? 1 ) ? C8( x ? 1 ) ? ? ? C8( x ? 1 ) ? C8 x x x

再利用二项式定理逐项分析常数项得
C 8C 8 ? C 8C 6 ? C 8C 4 ? C 8C 2 ? C 8
0 4 2 3 4 2 6 1 8

=1107.

6 5 ( 【6】 x ? 1) ( 2 x ? 1) 的展开式中 x6 项的系数.

解: ( x ? 1) 的通项是 C 6 ( x )
6
r

6? r

? C6x
r
s

6? r 2

,
s 5? s

( 2 x ? 1) 的通项是
5
6 5

C 5 (2 x )

s

5? s

(? 1) ? C 5 (? 1) 2
s

x

5? s

.

( x ? 1) ( 2 x ? 1) 的通项是 C 6 C 5 ( ? 1 ) 2
r s s

5? s

x

16 ? r ? 2 s 2

.

由题意知

? r ? 2 s ? 4 , ( r ? 0 ,? , 6 , s ? 0 ,? , 5 )

16 ? r ? 2 s ? 6, 2

解得

?

r ? 0, s ? 2;
2 3

?

r ? 2, s ? 1;
1 2

所以 x6 的系数为:
2 0

?

r ? 4, s ? 0.
4
0

【点评】对于较为复杂的 二项式与二项式乘积,利用两 个通项之积比较方便运算.
4 0 5

C 5 C 6 ( ? 1 ) ? 2 ? C 5 C 6 ( ? 1) ? 2 ? C 5 C 6 ( ? 1) ? 2 ? ? 6 4 0 .

1. 求展开式中某些项的系数和或差.
     已知(1 ? 2 x) [例4]
7

? a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a7 x .求 : (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (4) | a0 | ? | a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a7 | .

2

7

(1) a1 ? a 2 ? ? ? a7 ; (3) a0 ? a 2 ? a 4 ? a6 ;

[解析] 令x=1及x= -1 则
a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? ?1, ① a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 3
0

7



(1) ? a0 ? C7 ? 1(或令x ? 0, 得a0 ? 1), ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? ?2.

(2) (①?②)÷2, 得 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? (3) (①+②)÷2, 得 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?

?1? 3

7

? ?1094.
? 1093.

2 7 ?1? 3
2

1. 求展开式中某些项的系数和或差.
     已知(1 ? 2 x) [例4]
7

? a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a7 x .求 : (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (4) | a0 | ? | a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a7 | .
?1? 3 2
?1? 3 2
7

2

7

(1) a1 ? a 2 ? ? ? a7 ; (3) a0 ? a 2 ? a 4 ? a6 ;

(2) (①?②)÷2, 得 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? (3) (①+②)÷2, 得
7

7

? ?1094.
? 1093.

a0 ? a 2 ? a4 ? a6 ?

(4)解1 :? (1 ? 2 x) 展开式中, a0 , a 2 , a 4 , a6 大于零, 而a1 , a3 , a5 , a7小于零. ? | a0 | ? | a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a7 |? (a0 ? a 2 ? a 4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? (3) ? (2)即可, 其值为2187 .

解2 : | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ? ? | a7 |, 即(1 ? 2 x) 展开式中各项的系数和 , ?| a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ? ? | a7 |? 3 ? 2187 .
7

7

点评:赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法,通过对二项展开式中的字 母或代数式赋予允许值,以达到解题目的.

2. 整除问题 [例5] (1) 9192除以100的余数是几? (2) 求证: 32n+2?8n ?9(n?N*)能被64整除.
解91
92

? (100 ? 9)
1

92

? 100

92

? C92 ? 100 ? 9 ? C92100 ? 9 ? ? C92 ? 100 ? 9
91 2 90 2 91

91

?9

92

前面各项均能被 100 整除, 只有末项 9 只须求9 除以100的余数
?9
92

92

不能被100 整除, 于是

92

? (10 ? 1)
1

92

? 10 ? 10

92

? C92 ? 10 ? C92 ? 10
1 1

91

? C92 ? 10
2

90

? ? ? C92 ? 10 ? C92 ? 10 ? ( ?1)
90 2 91

92

92

91

? C92 ? 10
2 2

90

? ? ? C92 ? 10 ? 920 ? 1
90 2

? (10

92

? C92 ? 10

91

? C92 ? 10

90

? ? ? C92 ? 10
90

2

? 1000) ? 81

? 被100除的余数为81, 即91 除以100的余数为81 .

92

2. 整除问题

[例5] (1) 9192除以100的余数是几? (2) 求证: 32n+2?8n ?9(n?N*)能被64整除.
( 2)证明 : 3
2n?2

? 8n ? 9 ? 8n ? 9
n ?1 n ?1

?9

n ?1

? (8 ? 1)
0

? 8n ? 9 ? Cn ?1 ? 8 ? Cn ?1 ? 8
1 n 2 1 n 2 n ?1

? (Cn ?1 8 ? Cn ?1 8
0 2n?2

? ? ? Cn ?1 ? 8 ? Cn ?1 ? 8 ? 1) ? 8n ? 9
2 n n ?1 2

n ?1

n ?1

? Cn ?1 ? 8 ? Cn ?1 ? 8

n ?1

? ? ? Cn ?1 ? 8

而上式各项均为64的倍数, ?3 ? 8n ? 9( n ? N*)能被64整除.

点评:利用二项式定理证明整除(或求余数)问题,通常把底数拆 成与除数的倍数有关的和式.

练习:
求证:1+2+22+?+25n
-1

(n∈N*)能被 31 整除;

25n-1 - 证明 ∵1+2+22+?+25n 1= 2-1 =25n-1=32n-1=(31+1)n-1
0 n 1 n- 1 n- 1 =Cn×31 +Cn×31 +?+Cn ×31+Cn-1 n

=31(C0 ×31n-1+C1 ×31n-2+?+Cn-1), n n n
1 显然 C0 ×31n 1+Cn×31n 2+?+Cn 1为整数, n n
- - -

∴原式能被 31 整除.

思考: 今天是星期二,则22013天后是星期几?

解题小结:
利用二项式定理解决整除问题时, 基本思路是:要证明一个式 子能被另一个式子整除, 只要证明这个式子按二项式定理展开 后的各项均能被另一个式子整除即可. 因此, 一般将被除式化 为含有相关除式的二项式, 然后再展开, 此时常用“配凑法”、 “消去法”结合有关整除知识来处理.

3. 求近似值

[例6] 求0.9986的近似值,使误差小于0.001 [解析]
0.998 ? (1 ? 0.002) ? 1 ? 6 ? ( ?0.002) ? 15 ? ( ?0.002) ? ? ? (?0.002)
6 6 2 6

T3 ? 15 ? (0.002) ? 0.00006 ? 0.001
2

即第3项以后的项的绝对值都小于0.001 ∴从第3项起,以后的项可以忽略不计,即
0.998 ? (1 ? 0.002) ? 1 ? 6 ? ( ?0.002) ? 0.988
6 6

点评: 由 (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x 知,当x的绝对值与1相 2 3 n x , x ,?, x 等项的绝对值就会更小,因此在 比很小且n足够大时, 精确度允许的范围之内可以忽略不计.因此可以使用近似计算公 式 (1 ? x)n ? 1 ? nx , 在使用这个公式时,要注意按问题对精确度 的要求,来确定对展开式中各项的取舍.
n 1 2 2 3 3 n n

4. 证明不等式
例 7. 求证:3n>(n+2)·n 2
-1

(n∈N*,n>2).

分析: 利用二项式定理对 3n=(2+1)n 展开证明. 因为 n∈N*,且 n>2,所以 3n=(2+1)n 展开后至少有 4 项.

证明:
(2+1)n=2n+C1 ·n-1+?+Cn-1· 2 2+1≥2n+n·n-1+2n+1 2 n n >2n+n·n-1=(n+2)·n-1, 2 2 故 3n>(n+2)·n 1. 2



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