2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——《对数》教学设计(评委版)_图文

课题:3.2.1 对数
授课教师:无锡市辅仁高级中学 张长贵 教材:苏教版普通高中课程标准实验教科书 数学必修 1 一、教学目标: 1.通过具体实例使学生认识到引进对数的必要性, 让学生在实际背景中了解对 数的意义,经历对数概念的形成过程; 2.帮助学生理解对数的概念,引导学生认识对数与指数的相互联系,会熟练地 进行指数式与对数式的互化,体会转化与化归的思想; 3.引导学生发现关于对数的几个常用结论,了解常用对数和自然对数,了解对 数的发明历史,培养学生的探究意识和发现问题、分析问题、解决问题的能力. 二、教学重点、难点: 重点:对数的概念,指数式与对数式的互化; 难点:对数概念的理解. 三、教学方法与手段: 运用引导发现和讲练结合的教学方法,突出教师的“导”和学生的“探”,借 助多媒体课件、计算器等工具让学生在教师的引导下,学会思考,大胆探索,建构 知识,体会思想,形成技能. 四、教学过程: (一)问题情境 课本第 68 页 例 4 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年,这种 物质剩留的质量是原来的 84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. 设该物质最初的质量是 1,则经过 x 年,该物质的剩留量为 y ? 0.84 x . 问题1:我们建立这个函数关系式可以实现计算预测的功能,只要知道时间 x 就可以计算剩留量 y.比如,经过了 3 年,剩留量是多少? 问题 数学语言 运算类型 经过了
0.84 3 ?

3

年,剩留量是多少? 0.592704

指数运算 ab ? N (已知底数 a 和指数 b ,求幂值

N)
问题2:反过来,如果我们知道了该物质的剩留量 y,怎么求出所经过的时间 x
1

呢?比如经过多少年,剩留量为 0.5? 问题 数学语言 运算类型 经过多少年,剩留量为
0.84 x ? 0.5 ,则 x=

0.5 ?



(一种新运算)已知底数 a 和幂值 N,求指 数b

“已知底数和幂值求指数”是一个新运算,这是我们这节课将要研究的问题. 【设计意图】通过具体实例说明研究对数的必要性.引导学生用数学语言表述 问题,回顾指数运算. 由剩留量 y 求出所经过的时间 x 的设问让学生发现“已知底 数和幂值求指数”的新问题,引发学生的认知冲突,激发学生的兴趣. 问题3: .84 x ? 0.5 中的 x 存在吗?唯一吗? 能否借助之前所学的指数函数内 0 容加以说明? [师生活动]引导学生利用指数函数的图像和性质分析得出 0.84 x ? 0.5 中的 x 存 在且唯一. 【设计意图】关注学生的认知规律,引导学生用旧知识解决新问题,反映知识 的联系性,体现数形结合的思想,同时为引入对数打下基础. (二)建构数学 1.定义概念 板书课题:对数 读法 写法

一般地,如果 a (a ? 0 , a ? 1) 的 b 次幂等于 N ,即 a b ? N ,那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数 (logarithm) 记作 log a N ? b ,其中, 叫做对数的底数(base , a of logarithm), N 叫做真数(proper number). 2.概念解读 b 叫做以 a 为底 N 的对数, a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 问题4:在指数式中,a,b,N 的名称叫什么?
指数—对数

ab ? N
底数—底数

log a N ? b

幂—真数

2

学生回答指数式中的字母名称,教师完成上述连线图. 【设计意图】明确指数式和对数式中 a,b,N 的名称与位置变化,让学生了解对 数式与指数式的关系,明确对数式与指数式形式的区别. 指出:对数的写法和符号表示也有讲究.我们用四线三格来规范书写. 正确写法:
N log a log aN

loga N

错误写法

loga N 是一个整体, 离开了底数和真数的孤立符号 log 是没有意义的.

【设计意图】对数符号是学生学习的难点,注意对数的书写,避免因书写不规 范而产生的错误,进一步强化学生对对数符号的认识和理解. 问题5:我们用 log a N 表示 b,对数式 log a N ? b 的含义是什么呢? 对数式 log a N ? b 的含义就是指 a b ? N .因此根据对数的定义可知, a b ? N 与
log a N ? b 两个等式所表示的是 a,b,N 这 3 个量之间的同一个关系.两种写法可以相

互转化.
指数—对数

ab ? N

互化

log a N ? b

底数—底数

幂—真数

【设计意图】明确指数式和对数式中 a,b,N 是同一个量,理解指数式与对数式 的相互关系,互化也体现了等价转化这个重要的数学思想,为探究对数的基本性质 和对数式指数式的互化做好铺垫. 3.性质探究 问题6:对数式中 a、b、N 的取值范围是什么? [师生活动]基于上述互化关系,教师引导学生认识到两个式子中字母的位置和 名称发生了变化,但它们表示的是同一个量. 学生回忆指数函数 y ? a x 的图像和性 质,回答 a, N,b 的范围.

3

底数 a ? 0 , a ? 1 , b ? R,N>0. 【设计意图】引导学生利用指数式与对数式的互化关系和已学过的指数函数的 相关知识来认识 a,b,N 的范围,促进学生加深对定义的理解. 例如: 3 ? 9
2

1 l o g9 ? 2 ; log 4 2 ? 3 2

1

42 ? 2 .

问题 7:根据对数的定义,写出下列各对数的值( a ? 0 , a ? 1 ) :
(1) log5 1 ? (4) log 5 5 ?



(2) log 3 1 ?

, (3) log a 1 ? , (6) log a a ?

, .

, (5) log 3 3 ?

[学生活动]学生口答, 并提炼一般性结论: a ? 0 ,a ? 1 )log a 1 ? 0 ,log a a ? 1 . ( 【设计意图】尝试使用对数的定义探究出对数的一些基本性质,体会数学定义 的价值和指数式与对数式相互转化过程中蕴含的等价转化的思想方法. (三)数学运用 例1 将下列指数式改写成对数式: 指数 式 (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) 例 2 将下列对数式改写成指数式: 指数式 (1) 对数式
log5 125 ? 3

对 数式

24 ? 16

3? 3 ?

1 27

5a ? 20

1 ( )b ? 0.45 2

4

(2)

log 1 3 ? ?2
3

(3)

log10 a ? ?1.699

【设计意图】熟悉指数式对数式的相互转化,加深理解对数概念. 从说、写两 个角度来规范学生的数学表达. 例 3 求下列各式的值: (1) log 2 64 ; (2) log 9 27 .

[师生活动]学生解答,教师巡视答题情况,并请学生交流解法. 解: (1)法一:由 26 ? 64 ,得 log 2 64 ? 6 . 法二:设 log 2 64 ? x ,则 2 x ? 64 ? 26 ,所以 x ? 6 . [教学预设]由于很容易看出 26 ? 64 ,故此处学生可能不需要设 x ,不强求.第 (2)问中学生不会很容易地得出相对应的指数式,可以通过设 x 将对数式转化为 指数式. (2)设 log9 27 ? x ,根据对数的定义知 9 x ? 27 ,即 32 x ? 33 ,得 2x ? 3 , x ? 所以 log 9 27 =
3 . 2 3 , 2

在对数还不熟练的时候可以先假设要算的对数值为 x ,再转化为指数式,根据 指数式确定 x 的值,用对数的定义去解决问题. 【设计意图】帮助学生在应用的过程中进一步理解对数的概念,掌握对数式与 指数式的互化方法,培养学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力. 练习 求下列各式的值:
1 (1) log 4 64 ; (2) log 7 7 ; (3) log 1 9 ; (4) log 2 ; (5) log10 100 . 8 3

【设计意图】了解学生对数概念的掌握情况,巩固所学知识,为引入两个重要 结论做好准备. 探究

5

1

(1)log 4 64 = log 4 43 ? 3 ; log 7 7 = log 7 7 2 ? (2)

1 1 ; (3) log 1 9 = log 1 ( ) ?2 ? ?2 ; 3 2 3 3

1 (4) log 2 = log 2 2?3 ? ?3 ;(5) log10 100 ? log10 10 2 ? 2 . 8

你能提炼出一般性结论吗?

a ? 0 , a ? 1 , b ? R, log a a b ?

b

.

[师生活动]师生探讨如何证明这个结论. 定义中两个式子 ab ? N ①和 b ? log a N ②中 a,b,N 是同一个量,那么能否通过 代换得到结论? 猜想: a ? 0 , a ? 1 ,N >0, a loga N ? 将②代入①,可以得到结论 a loga N ? N . 板书 结论: a ? 0, a ? 1, b ? R, N ? 0 .
l o g a b ? b , a loga N ? N . a

N

.

【设计意图】通过思考题的设置,借助练习与讨论的方式,让学生自己提炼出 结论并进行证明,培养学生分析问题、观察归纳的能力. 重要结论的发现和证明又 进一步深化学生对对数概念的理解. [回扣例题] 例 3 求下列各式的值: (1) log 2 64 ; (2) log 9 27 .

[学生活动]学生利用结论 log a a b ? b ( a ? 0, a ? 1, b ?R)来解决问题. 【设计意图】利用发现的结论再次来解答前面的例题,将例题和练习融合,从 概念到应用,从练习再回到例题,交替螺旋上升,始终围绕着对数概念这个中心. 介绍 (1)常用对数
log10 100 这是一个以 10 为底的对数. 通常将以 10 为底的对数称为常用对数

(common logarithm) ,如 log10 12 , log10 0.84 等.为了方便起见,对数 log10 N 简记为
lg N ,如 lg 12 , lg 0.84 .

问题 8: lg 12 , lg 0.84 的值是多少?

6

[师生活动] 教师指导学生使用计算器计算 lg 12 和 lg 0.84 (保留四位小数). 【设计意图】鼓励学生使用计算器等进行探索发现,感受现代信息技术在数学 中的作用,促进学生的学习. (2)自然对数 在科学技术中,常常使用以 e 为底的对数,这种对数称为自然对数(natural logarithm)e ? 2.71828 ?是一个无理数.正数 N 的自然对数 log e N 一般简记为 ln N , . 如 log e 2, log e 15 分别记为 ln 2, ln 15 等. 链接 “常用对数”“自然对数”这两个特殊对数的名称很特别.为什么称之为常用对 数?自然对数又自然在哪里?有两本课外阅读书《不可思议的 e》和《漫话 e》,从 中你一定能找到答案.

【设计意图】 指导学生查阅有关资料、 书籍, 多了解一些数学文化方面的知识, 激发学生学习数学的兴趣. 回到开头的问题,计算 log 0.84 0.5 ? 3.9755,让学生了解经过大约 4 年剩留量是 原来的一半. [教学预设] 有些同学的计算器上不能设置底数和真数,是计算器的设计缺陷 吗?那么碰到底数不是 10 和 e 的对数怎么办?还能用计算器计算吗?这个问题通 过后面的学习也能解决. 【设计意图】呼应本节课开头的问题.借用计算器能否设定底数和真数的问题 激发学生对后续相关内容的求知欲. (四)课堂总结
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结合课本中的阅读材料和学生一起回顾整个知识的探究和发生的过程. 【设计意图】通过小结对本节课的教学内容进行梳理和概括. 将课本的《阅读》 内容有机地融合到课堂总结中,通过数学史的学习既让学生了解了对数的发明历 史,又向学生介绍了对数在简化运算中的价值,感受数学对推动社会发展的作用, 激发学生学习数学的热情,将本节课与后续内容的学习连贯起来. (五)课后巩固 布置作业:课本第 79 页:习题 3.2(1)感受理解 1,2,3,4. 附:教学设计说明 本节课是苏教版必修一第 3.2 节《对数函数》的第一课时.本章学习的主要内 容为三个基本初等函数及其性质,以及运用它们解决一些实际问题.本节内容安排 在指数函数后,对数函数前,因此对数概念的学习是指数概念和指数函数的回顾、 深化和延续,同时又是学习对数运算性质和对数函数的基础,在高中的函数内容中 起到承上启下的作用.数学概念的教学要将数学概念在数学思想的整体连贯性中的 作用体现出来. 数学概念是构成数学知识的基础,数学概念的内涵外延及其所反映的思想方 法,其与相关概念之间的联系都是概念教学的重点.对数是一个比较抽象的数学概 念,但对数又是为了生产生活中的计算需要而必然产生的. 本设计从第 3.1.2 节中 例 4“放射性物质剩留量”问题作为引入,通过具体问题说明研究对数的必要性, 调动学生学习对数的积极性,也体现了知识的系统性和知识之间的有机联系.教材 从指数到对数的过程以及强调指数式与对数式的互化关系, 有利于学生理解对数的 概念,也易于后续的对数运算性质及对数函数的教学.通过对数概念的教学让学生 感受转化与化归的思想,能用相互联系的观点看问题. 设计例 1 例 2 的目的是让学生进一步熟悉对数式与指数式的互化, 加深对数概 念的理解,并配以练习加以巩固.例 3 的设计是一个亮点,也是本节课的一个高潮 点.一个方法是将对数化为指数处理,回扣了定义.另一个方法是利用练习中发现的 结论来解决.而重要结论的发现和证明过程恰恰又是对数概念的深层次运用,将例 题和练习完美融合,从概念到例题,从练习再回到例题,交替螺旋上升,始终围绕 着本节课教学重难点—对数概念的理解来做文章.本段教学还注重培养学生观察归

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纳类比的能力. 根据本节内容的特点,教学过程中笔者注重信息技术的作用,鼓励学生使用计 算器,促进学生的数学学习.通过推荐书目的介绍激发学生学习数学的兴趣. 对数的发明者与发展历史及其价值是数学文化的重要体现, 能让学生感受数学 知识的产生和发展源于实践又不断推动社会发展.将课本第 79 页的《阅读》内容有 机地融合到课堂总结中,既向学生介绍了对数的发明历史,又向学生展示了对数的 真正价值,将学生对知识的渴望延伸至课外.

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