高中数学 1.1 空间几何体 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课堂探究 新人教B版必修2

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课堂探究 探究一 棱柱、棱锥、棱台的面积问题
对于多面体,只有直棱柱,正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面积,其余多面体的侧面 积要把每个侧面积求出来再相加,求解时还要注意区分是求侧面积还是表面积.
【典型例题 1】如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜高的夹角为 30°, 求该正四棱锥的侧面积和表面积.

思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高,

我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解. 解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°,

所以 PE= OE =4(cm). sin 30?

因此 S = 正四棱锥侧 1 ch′= 1 ×4×4×4=32(cm2),

2

2

S =S 正四棱锥表 +S 正四棱锥侧 正四棱锥底=32+4×4=48(cm2).

点评解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解相应的

元素,再代入面积公式求解.空间几何体的表面积运算,一般先转化为平面几何图形的运算,

再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算.

【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的

侧面积.

解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成的一部分(其余部分省略),则侧面

ABB1A1 为等腰梯形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C, C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
根据正六棱台的性质可得,

OC= 3 AB= 3 (cm),

2

2

O1C1= 3 A1B1= 3(cm), 2

所以 CC1=

OO12 ? (O1C1 ? OC)2 =

7 2

(cm).又知上、下底面周长分别为 c=6AB=

6(cm),c′=6A1B1=12(cm),斜高 h′=CC1= 7 cm.所以正六棱台的侧面积为 S = 正六棱台侧 2

1 (c+c′)h′= 1 ×(6+12)× 7 = 9 7 (cm2).

2

2

22

点评求正棱台的侧面积同正棱锥类似,除了利用相对应的侧面积公式,也要利用正棱台

中的核心直角梯形.

探究二 圆柱、圆锥、圆台的面积问题

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:S 圆柱侧=2π rl,S 圆锥侧=π rl,S 圆台侧=π (r1+r2)l,

如上图,当 r1 变化时,相应的图形也随之变化,当 r1=0,r2=r 时,相应的圆台就转 化为圆锥,而当 r1=r2=r 时,相应的圆台就转化为圆柱,相应的侧面积公式也随之变化.
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为

???? ????? S 圆柱侧=2π rl

r1 ?r2 ?r

S 圆台侧=π (r1+r2)l

r1 ?0.r2 ?r

S 圆锥侧=π rl.

2.对于圆锥还要明确如下结论:

(1)圆锥的侧面展开图是扇形.

(2)圆锥的底面周长?扇形的弧长. (3)圆锥的母线长?扇形的半径.

(4)S 扇形= n? r 2 (其中 n°为扇形圆心角的度数,r 为扇形的半径). 360
【典型例题 3】 (1)圆锥的底面直径为 6,高是 4,则它的侧面积为( )

A.12π

B.24π

C.15π

D.30

解析:作圆锥轴截面如图,高 AD=4,底面半径 CD=3,则母线 AC=5,得 S 侧=π ×3×5

=15π .

答案:C

(2)矩形的边长分别为 1 和 2,分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面

积之比为( )

A.1∶2

B.1∶1

C.1∶4

D.1∶3

解析:以边长 1 的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积 S1=2π ×2×1=4π ,以

2 所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积 S2=2π ×1×2=4π ,故 S1∶S2=1∶1,选 B.

答案:B

探究三 球的切接问题

对球的表面积公式的考查,通常与球的性质结合在一起.与其他多面体和旋转体组合也

是考查球的表面积的一种常见方式.

常见的有关球的一些性质:

(1)长方体的 8 个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;球与正方体

的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;球与正方体的 12 条棱均相切,则球的直

径是正方体的面对角线.

(2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直

径.

【典型例题 4】(1)已知长方体的长、宽、高分别为 2,3,6,则其外接球的表面积为( )

A.196π

B.49π

C.44π

D.36π

解析:长方体的体对角线长为 22 ? 32 ? 62 =7,所以其外接球的直径为 2R=7,即 R

= 7 ,所以它的表面积为 4π R2=49π .故选 B. 2

答案:B (2)已知圆台内有一表面积为 144π cm2 的内切球,如果圆台的下底面与上底面半径之 差为 5 cm,求圆台的表面积.
解:其轴截面如图所示,设圆台的上、下底面半径分别为 r1,r2,母线长为 l,球半径 为 R,则 r2-r1=5,母线 l=r1+r2.
因为 4π R2=144π ,所以 R=6. 又 l2=(2R)2+(r2-r1)2, 所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(2×6)2+52=132. 所以 r1+r2=13. 结合 r2-r1=5 得 r1=4,r2=9,所以 l=13.
所以 S ? = 圆台表 r12 + ? r22 +π (r1+r2)l
=π ·42+π ·92+π (4+9)·13=266π (cm2). 探究四 易错辨析
易错点:因考虑不全面而致误 【典型例题 5】 用互相平行且距离为 27 的两个平面截球面,两个截面圆的半径分别为 r1=15,r2=24,试求球的表面积. 错解:设球的半径为 R,由题意可设球心到两平行平面的距离为 OO1=d1,OO2=d2,如 图所示,

可得

d1,d2,R

?R2

之间的关系:

? ?

R2

? 152 ? d12 ,

?

242

?

d

2 2

,

??d1 ? d2 ? 27,

所以 225+ d12 =576+(27-d1)2, 解得 d1=20,d2=7,R=25.

所以 S 球=4π R2=2 500π . 错因分析:错解中只分析了两平行平面位于球心异侧的情况,还应该讨论两平行平面位 于球心同侧的情况. 正解:设球的半径为 R,球心 O 到两平行截面的距离分别为 OO1=d1,OO2=d2. (1)当两平行截面位于球心 O 异侧时,

如图①,则

?R2

? ?

R

2

? 152 ? 242

? d12 , ? d22 ,

??d1 ? d2 ? 27,

所以 225+ d12 =576+(27-d1)2. 解得 d1=20,d2=7,R=25. 所以 S 球=4π R2=2 500π .

(2)当两平行截面位于球心

O

?R2

同侧时,如图②,则

? ?

R

2

? 152 ? 242

? d12 ,

?

d

2 2

,

所以

225+ d12

=576

??d1 ? d2 ? 27,

+(d1-27)2.

解得 d1=20,d2=-7,不符合题意,即这种情况不存在.

综上可知,球的表面积为 2 500π .


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