【课堂新坐标】2018版高中数学(人教A版必修五)同步课件第1章1.2第2课时角度问题_图文

阶 段 一

阶 段 三

第2课时
阶 段 二

角度问题
学 业 分 层 测 评

1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题.(重点) 2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点) 3.能根据题意画出几何图形.(易错点)

[基础· 初探]
教材整理 方位角 阅读教材 P15 例 6 和 P19A 组 T1,完成下列问题. 方位角 从指北方向 顺时针 转到目标方向线所成的水平角. 如点 B 的方位角为 α(如 图 1216 所示). 方位角的取值范围: 0°~360° .
图 1216

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如图 1217 所示,该角可以说成北偏东 110° .( )

图 1217

(2)方位角与方向角其实质是一样的, 均是确定观察点与目标点之间的位置关
? π? 系,其范围均是?0,2?.( ? ?

) )

(3)方位角 210° 的方向与南偏西 30° 的方向一致.(

【解析】 (1)×, 因本图所标角应为方位角, 可以说成点 A 的方位角为 110° . (2)×,因为方向角的范围为 0° ~90° ,而方位角的范围 为 0° ~360° . (3)√,由方位角与方向角的定义知正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)√

2.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系是 ( A.α>β C.α+β=90° B.α=β D.α+β=180° )

【解析】 要正确理解仰角、俯角的含义,准确地找出仰角、俯角的确切位 置,如图,在 A 处望 B 处的仰角 α 与从 B 处望 A 处的俯角 β 是内错角(根据水平 线平行),即 α=β.

【答案】 B

3.某人从 A 处出发,沿北偏东 60° 行走 3 3 km 到 B 处,再沿正东方向行走 2 km 到 C 处,则 A,C 两地的距离为________km.

【解析】 如图所示,由题意可知 AB=3 3,BC=2,∠ABC=150° . 由余弦定理得 AC2=27+4-2×3 3×2×cos 150° =49,AC=7. 所以 A,C 两地的距离为 7 km.
【答案】 7

[小组合作型]

角度问题
(1)如图 1218,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯 塔 A 在观察站南偏西 40° , 灯塔 B 在观察站南偏东 60° , 则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 80° D.南偏西 80°
图 1218

)

(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为 6 m,下底长为 10 m,高 为 2 3m,那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( 3 A. 3 ,60° C. 3,30°
【精彩点拨】

)

B. 3,60° 3 D. 3 ,30°
(1)两座灯塔 A、B 与观察站 C 的距离相等,说明∠A 与∠B

有何大小关系?灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,说明∠CBD 是多少度? (2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.

【自主解答】 (1)由条件及图可知,∠A=∠B=40° ,又∠BCD=60° ,所以 ∠CBD=30° ,所以∠DBA=10° ,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80° . (2)如图所示,横断面是等腰梯形 ABCD,AB=10 m,CD=6 m,高 DE=2 3 AB-CD m,则 AE= =2 m, 2 DE 2 3 ∴tan ∠DAE= AE = 2 = 3, ∴∠DAE=60° .

【答案】 (1)D (2)B

测量角度问题画示意图的基本步骤

[再练一题] 1.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力 的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东 30° ,风速是 20 km/h;水的流向是 正东,流速是 20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向 为北偏东________,大小为________km/h.

【解析】 ∠AOB=60° , 由余弦定理知 OC2=202+202-800cos 120° =1 200, 故 OC=20 3,∠COY=30° +30° =60° .

【答案】 60° 20 3

求航向的角度
某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉 后,立即测出该渔轮在方位角为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿 方位角为 105° 的方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.

【精彩点拨】 本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用 时间相等,先设出所用时间 t,找出等量关系,然后解三角形.

【自主解答】

如图所示,根据题意可知 AC=10,∠ACB=120° ,设舰艇

靠近渔轮所需的时间为 t h,并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC=9t,在△ ABC 中,根据余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 120° ,所以 212t2=102+ 1 2 5 2 81t +2×10×9t×2,即 360t -90t-100=0,解得 t=3或 t=-12(舍去).所以舰
2

2 艇靠近渔轮所需的时间为3 h. 此时 AB=14,BC=6.

BC AB 在△ABC 中,根据正弦定理得 = , sin∠CAB sin 120° 3 6× 2 3 3 所以 sin∠CAB= 14 = 14 , 即∠CAB≈21.8° 或∠CAB≈158.2° (舍去). 即舰艇航行的方位角为 45° +21.8° =66.8° . 2 所以舰艇以 66.8° 的方位角航行,需3 h 才能靠近渔轮.

1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形, 并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解 得的结果转化为实际问题的解. 2.在解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理求角.因为余 弦函数在(0,π)上是单调递减的,而正弦函数在(0,π)上不是一一对应,一个正
? π? 弦值可以对应两个角.但角在?0,2?上时,用正、余弦定理皆可. ? ?

[再练一题] 2.某海上养殖基地 A,接到气象部门预报,位于基地南偏东 60° 相距 20( 3 +1) n mile 的海面上有一台风中心,影响半径为 20 n mile,正以每小时 10 2 n mile 的速度沿某一方向匀速直线前进, 预计台风中心将从基地东北方向刮过且 3 +1 h 后开始影响基地持续 2 h.求台风移动的方向.

【解】 如图所示,设预报时台风中心为 B,开始影响基地时台风中心为 C, 基地刚好不受影响时台风中心为 D,则 B、C、D 在一直线上,且 AD=20,AC =20.

由题意 AB=20( 3+1),DC=20 2, BC=( 3+1)· 10 2.

在△ADC 中,∵DC2=AD2+AC2, ∴∠DAC=90° ,∠ADC=45° . 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+AB2-BC2 3 cos∠BAC= =2. 2AC· AB ∴∠BAC=30° , 又∵B 位于 A 南偏东 60° ,60° +30° +90° =180° , ∴D 位于 A 的正北方向, 又∵∠ADC=45° , → 的方向.即北偏西 45° ∴台风移动的方向为向量CD 方向. 答:台风向北偏西 45° 方向移动.

[探究共研型]

求解速度问题

探究 1 某物流投递员沿一条大路前进,从 A 到 B,方位角是 50° ,距离是 4 km,从 B 到 C,方位角是 80° ,距离是 8 km,从 C 到 D,方位角是 150° ,距离 是 6 km,试画出示意图.

【提示】

如图所示:

探究 2 在探究 1 中,若投递员想在半小时之内,沿小路直接从 A 点到 C, 则此人的速度至少是多少?

【提示】

在上图中,在△ABC 中,∠ABC=50° +(180° -80° )=150° ,由

余弦定理得 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos 150° =4 7,则此人的最小速度为 v= 4 7 1 =8 7(km/h). 2

探究 3 在探究 1 中若投递员以 24 km/h 的速度匀速沿大路从 A 到 D 前进, 10 分钟后某人以 16 7 km/h 的速度沿小路直接由 A 到 C 追投递员, 问在 C 点此 人能否与投递员相遇?
4+8 1 【提示】 投递员到达 C 点的时间为 t1= 24 =2(小时)=30(分钟),追投递 员的人所用时间由探究 2 可知 4 7 1 t2 = = (小时)=15 分钟; 由于 30>15+10, 所以此人在 C 点能与投递员 16 7 4 相遇.

如图 1219 所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里/ 小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距 汽车出发点 O 点的距离为 5 公里、距离公路线的垂直距离为 3 公里的 M 点的地 方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多 大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?

图 1219

【精彩点拨】 根据已知图形构造三角形,利用余弦定理建立速度与时间的 函数求解.

【自主解答】

作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3,

4 ∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI=5.

设骑摩托车的人的速度为 v 公里/小时,追上汽车的时间为 t 小时, 4 由余弦定理得(vt) =5 +(50t) -2×5×50t×5,
2 2 2

?1 ? 25 400 即 v = t2 - t +2 500=25? t -8?2+900≥900, ? ?
2

1 ∴当 t=8时,v 取得最小值为 30, 30 15 ∴其行驶距离为 vt= 8 = 4 公里. 故骑摩托车的人至少以 30 公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望,此时他 15 驾驶摩托车行驶了 4 公里.

解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知与所求,再根 据题意画出正确的示意图,这是最关键最主要的一步. (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后, 要正确使用正、 余弦定理 解决问题.

[再练一题] 3.如图 1220,在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向,距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉 私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的 速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?

图 1220

【解】

设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,

则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° , ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC=( 3-1)2+22-2· ( 3-1)· 2· cos 120° = 6, ∴BC= 6, 2 3 2 AC 且 sin∠ABC=BC· sin∠BAC= · 2 = 2 , 6 ∴∠ABC=45° , ∴BC 与正北方向垂直.

∵∠CBD=90° +30° =120° , 在△BCD 中,由正弦定理,得 BD· sin∠CBD 10tsin 120° 1 sin∠BCD= = =2, CD 10 3t ∴∠BCD=30° . 即缉私船沿北偏东 30° 方向能最快追上走私船.

1.海上 A、B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角, 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距离是( A.10 3 n mile C.5 2 n mile 10 6 B. 3 n mile D.5 6n mile )

【解析】

BC AB 如图.∵sin 60° =sin 45° ,

3 ∴BC= ×10=5 6(n mile). 2

【答案】 D

2.如图 1221,线段 AB,CD 分别表示甲,乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD, 从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角为 α=30° ,测得乙楼底部 D 的俯角 β =60° ,已知甲楼高 AB=24 米,则乙楼高 CD 为( A.28 米 C.36 米 B.30 米 D.32 米 )

图 1221

ED 【解析】 过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,ED=AB=24 米,则 AE=tan 60° = 24 =8 3(米), 3 3 在 Rt△ACE 中,CE=AE· tan 30° =8 3× 3 =8(米), ∴CD=CE+ED=8+24=32(米).

【答案】 D

3.已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测 站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离 为________km.
【解析】 ∠ACB=120° ,AC=BC=a,由余弦定理, 得 AB2=a2+a2-2a×a×cos 120° =3a2,AB= 3a.

【答案】

3a

4.一轮船从 A 点沿北偏东 70° 的方向行驶 10 海里至海岛 B,又从 B 沿北偏 东 10° 的方向行驶 10 海里至海岛 C,若此轮船从 A 点直接沿直线行驶至海岛 C, 则此船沿________方向行驶________海里至海岛 C.

图 1222

【解析】 在△ABC 中,∠ABC=110° +10° =120° . 又 AB=BC,故∠CAB=∠ACB=30° , AC= 102+102-2×10×10cos 120° =10 3. 故此船沿着北偏东 70° -30° =40° 方向行驶 10 3海里到达海岛 C.
【答案】 北偏东 40° 10 3

5.如图 1223,某海轮以 60 海里/小时的速度航行,在 A 点测得海面上油 井 P 在南偏东 60° ,向北航行 40 分钟后到达 B 点,测得油井 P 在南偏东 30° ,海 轮改为北偏东 60° 的航向再行驶 80 分钟到达 C 点,求 P,C 间的距离.

图 1223

【解】

因为 AB=40,∠A=120° ,∠ABP=30° ,

所以∠APB=30° ,所以 AP=40, 所以 BP2=AB2+AP2-2AP· AB· cos 120° =40 +40
2 2

? 1? -2×40×40×?-2?=402×3, ? ?

所以 BP=40 3. 又∠PBC=90° ,BC=80, 所以 PC2=BP2+BC2=(40 3)2+802=11 200, 所以 PC=40 7海里.


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