【课堂新坐标】2018版高中数学(人教A版必修五)同步课件第1章1.1.2余弦定理_图文

阶 段 一

阶 段 三

1.1.2 余弦定理
阶 段 二 学 业 分 层 测 评

1.掌握余弦定理及其推论.(重点) 2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点) 3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)

[基础· 初探]
教材整理 1 余弦定理及其变形 阅读教材 P5~P6 完成下列问题. 1.三角形中任何一边的 平方 等于其他两边的 平方 的和减去这两边与它们 的 夹角 的余弦的积的 两倍 .
2 2 b + c -2bccosA 即a =
2

2 2 a + c -2accos B , ,b =
2

2 2 a + b -2abcos C . c=
2

2.余弦定理的变形

b2+c2-a2 2bc cos A= a2+c2-b2 cos B= 2ac a2+b2-c2 2ab cos C=





.

1.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120° ,则边 c=________.

【解析】 根据余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120° =76,c=2 19.

【答案】 2 19

2.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B=________.
【解析】 c2+a2-b2 4+1-3 1 cos B= 2ac = 4 =2,B=60° .

【答案】 60°

教材整理 2 余弦定理及其变形的应用 阅读教材 P6~P7,完成下列问题. 1.利用余弦定理的变形判定角 在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为 直角 ;c2>a2+b2?C 为 钝角 ;c2<a2+b2?C 为 锐角 . 2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. (1)已知三边,求 三角 . (2)已知 两边 和它们的 夹角 ,求第三边和其他两个角.

1.在△ABC 中,若 a2=b2+bc+c2,则 A=________.

【解析】 ∵a2=b2+bc+c2, ∴b2+c2-a2=-bc, b2+c2-a2 -bc 1 ∴cos A= 2bc = 2bc =-2, 又∵A 为△ABC 的内角, ∴A=120° .
【答案】 120°

2.以下说法正确的是________(填序号). ①在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形,但不能用 余弦定理去解; ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系, 因此, 它适应于任何三角形; ③利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题; ④在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.

【解析】 ①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已知两边及一 边的对角,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理求解. ②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. ③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确. ④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广.
【答案】 ②③④

[小组合作型]

已知两边及一角解三角形

在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30° ,求角 A,角 C 和边 a.

【精彩点拨】

解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和

角.也可以由余弦定理列出关于边长 a 的方程,首先求出边长 a,再由正弦定理 求角 A,角 C.

【自主解答】

法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30° , ∴a2-9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30° ,∴C=120° . 1 6×2 asin B 当 a=6 时,由正弦定理 sin A= b = 3 =1. ∴A=90° ,∴C=60° .

1 3 3 法二:由 b<c,B=30° ,b>csin 30° =3 3×2= 2 知本题有两解. 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C= b = 3 = 2 , ∴C=60° 或 120° ,当 C=60° 时,A=90° , 由勾股定理 a= b2+c2= 32+?3 3?2=6, 当 C=120° 时,A=30° ,△ABC 为等腰三角形, ∴a=3.

已知三角形的两边与一角解三角形, 必须先判断该角是给出两边中一边的对 角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若 是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第 三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边.)

[再练一题] 1.在△ABC 中,边 a,b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根,C=60° ,求 边 c.

【解】 由题意:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19, ∴c= 19.

已知三边解三角形
在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sin C.
【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角?

(2)求 sin C 能否应用余弦定理?

【自主解答】

∵a>c>b,∴A 为最大角,

由余弦定理的推论,得: b2+c2-a2 32+52-72 1 cos A= 2bc = =-2, 2×3×5 3 ∴A=120° ,∴sin A=sin 120° =2. a c 由正弦定理sin A=sin C,得: 3 5× 2 csin A 5 3 sin C= a = 7 = 14 , 5 3 ∴最大角 A 为 120° ,sin C= 14 .

1.本题已知的是三条边,根据大边对大角,找到最大角是解题的关键. 2.已知三边解三角形的方法:先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或 余弦定理求出另一角,最后用三角形的内角和定理求第三角.

[再练一题] 2.在△ABC 中,a2-c2+b2=ab,求角 C.
【解】 ∵c2=a2+b2-2abcos C,

∴a2-c2+b2=2abcos C. ∴ab=2abcos C. 1 ∴cos C=2. ∴C=60° .

[探究共研型]

正、余弦定理的综合应用
探究 1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2=b2+c2, 则 sin2A=sin2B+sin2C 成立吗?反之说法正确吗?为什么?

【提示】 设△ABC 的外接圆半径为 R. 由正弦定理的变形,将 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入 a2=b2 a b c +c 可得 sin A=sin B+sin C.反之将 sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R代入 sin2A
2 2 2 2

=sin2B+sin2C 可得 a2=b2+c2.因此,这两种说法均正确.

π π 探究 2 在△ABC 中,若 c =a +b ,则 C=2成立吗?反之若 C=2,则 c2
2 2 2

=a2+b2 成立吗?为什么?
【提示】 因为 c2=a2+b2,所以 a2+b2-c2=0,由余弦定理的变形 cos C a2+b2-c2 a2+b2-c2 π π = 2ab =0, 即 cos C=0, 所以 C=2, 反之若 C=2, 则 cos C=0, 即 2ab =0,所以 a2+b2-c2=0,即 c2=a2+b2.

在△ABC 中,若(a-c· cos B)· sin B=(b-c· cos A)· sin A,判断△ABC 的形状.

【精彩点拨】

【自主解答】

法一:∵(a-c· cos B)· sin B=(b-c· cos A)· sin A,

∴由正、余弦定理可得:
2 2 2? 2 2 2? ? ? a + c - b b + c - a ? ? ? ? · b = a, a - c · b - c · ? ? ? ?· 2 ac 2 bc ? ? ? ?

整理得:(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2, 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2+b2-c2=0 或 a2=b2. ∴a2+b2=c2 或 a=b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形.

法二:根据正弦定理,原等式可化为: (sin A-sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A, 即 sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A. ∵sin C≠0, ∴sin Bcos B=sin Acos A. ∴sin 2B=sin 2A. ∴2B=2A 或 2B+2A=π, π 即 A=B 或 A+B=2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正、余弦定 理将已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系, 从而判断三角形的形状,也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的 关系,通过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断三角形形状. 2.在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边 的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余 弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,应注 意角的限制范围.

[再练一题] cos A-2cos C 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = cos B 2c-a b . sin C (1)求sin A的值; 1 (2)若 cos B=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.

【解】 (1)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,(其中 R 为 △ABC 外接圆半径) cos A-2cos C 2c-a 2sin C-sin A 所以 = b = , cos B sin B 所以 sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B, sin Acos B+sin Bcos A=2sin Bcos C+2sin Ccos B, 所以 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π, 所以 sin C=2sin A, sin C 所以sin A=2.

sin C c sin C (2)由(1)知sin A =2,由正弦定理得a=sin A=2, 即 c=2a. 又因为△ABC 的周长为 5, 所以 b=5-3a. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 1 即(5-3a) =a +(2a) -4a ×4,
2 2 2 2

解得 a=1 或 a=5(舍去), 所以 b=5-3×1=2.

1.已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,若满足等式(a+b-c)· (a+b+c)=ab, 则角 C 的大小为( A.60° C.120° ) B.90° D.150°

【解析】 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab, ∴c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C, 1 ∴cos C=-2,∴C=120° .
【答案】 C

2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为( π A.3 π C.4 π B.6 π D.12

)

【解析】 由三角形边角关系可知,角 C 为△ABC 的最小角,则 cos C= a2+b2-c2 72+?4 3?2-? 13?2 3 π = 2 ,所以 C=6,故选 B. 2ab = 2×7×4 3

【答案】 B

3.在△ABC 中,若 a=2bcos C,则△ABC 的形状为________.

a2+b2-c2 a2+b2-c2 【解析】 法一:∵a=2bcos C=2b· 2ab = , a ∴a2=a2+b2-c2,即 b2=c2,b=c, ∴△ABC 为等腰三角形.

法二:∵a=2bcos C,∴sin A=2sin Bcos C, 而 sinA=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C, ∴cos Bsin C=sin Bcos C, 即 sin Bcos C-cos Bsin C=0, ∴sin(B-C)=0. 又-180° <B-C<180° , ∴B-C=0,即 B=C. ∴△ABC 为等腰三角形.

【答案】 等腰三角形

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=C,2b= 3a, 则 cos A=________.

【解析】

由 B=C,2b= 3a,

3 可得 b=c= 2 a, b2+c2-a2 所以 cos A= 2bc 3 2 3 2 2 a + a - a 4 4 1 = =3. 3 3 2× 2 a× 2 a

1 【答案】 3

5.在△ABC 中,已知 a=5,b=3,角 C 的余弦值是方程 5x2+7x-6=0 的 根,求第三边 c 的长.

【解】

5x2+7x-6=0 可化为(5x-3)· (x+2)=0,

3 ∴x1=5,x2=-2(舍去), 3 ∴cos C=5. 根据余弦定理, c2=a2+b2-2abcos C 3 =5 +3 -2×5×3×5=16,
2 2

∴c=4,即第三边长为 4.


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