最新专项练习题集-定积分的计算资料

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一、选择题

?1.

2 (5

?

x

2

)dx

=(

1



23 A. 3
B. 1 3
C. 4 3
8 D.3

2016 年专项练习题集-定积分的计算

【分值】5 分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。

【考查方向】求定积分

【解题思路】求出被积函数的原函数,应用微积分基本定理求解。

? 【解析】

2 (5
1

?

x

2

)dx

=

5

x

?

1 3

x3

2 1

8 =3.

2.直线 y ? 9x 与曲线 y ? x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A、 2 2 B、 4 2
C、2 D、4 【分值】5 分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积,可转化为函数在某个区间内的定积分来解决,被积函 精品文档

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数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数.

【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积

【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点,再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图

形的面积.

【解析】由

? ? ?

y y

? ?

9x x3

,得交点为

?0,0?,

?3,27

?,

??

3,?27

?



? ? ? 所以 S ? 3 9x ? x3 dx ? ?? 9 x2 ? 1 x4 ?? 3 ? 81 ,故选 D.

0

?2 4 ?0 4

3.

?

2 ?2

12 ? 4x ? x2 dx=(



A. 4?

B. 2?

C. ?

D. 3?

【分值】5 分

【答案】A

【易错点】利用定积分的几何意义,一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数,注意

理解所涉及的几何曲线类型.

【考查方向】求定积分

【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。

【解析】设 y=

12 ? 4x ?

x2

,即(x-2)2+y2=16(y≥0).∵

?

2 ?2

12 ? 4x ? x2 dx 表示以 4 为半

径的圆的四分之一面积.∴

?

2 ?2

12 ? 4x ? x2 dx= 4? .

4.F4 遥控赛车组织年度嘉年华活动,为了测试一款新赛车的性能,将新款赛车 A 设定 v=

3t2+1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶,老款赛车 B 设定在 A 的正前方 5 m 处,同时以 v

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=10t(m/s)的速度与 A 同向运动,出发后赛车 A 追上赛车 B 所用的时间 t(s)为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
【分值】5 分 【答案】A 【易错点】将问题转化为定积分的理解

【考查方向】本题主要考查了变速直线运动的路程问题。

【解题思路】先表示出变速直线运动物体的速率 v 关于时间 t 的函数是 v=v(t)(v(t)≥0),然

? 后应用“物体从时刻 t=a 到 t=b(a<b)所经过的路程为 s= b v(t)dt”求解定积分问题.
a

t

t

? ? 【解析】因为赛车 A 在 t 秒内行驶的路程为 (3t2+1)dt,赛车 B 在 t 秒内行驶的路程为

0

0

? 10tdt,所以

t 0

(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)????t0

=t3+t



5t2=5?(t-5)(t2+1)=0,即 t=5. 5.如图,阴影部分的面积为( )
A.9
B. 13 6
C. 9 2
D. 7 3
【分值】5 分

【答案】C

【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了曲线围成面积的求法。 精品文档

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【解题思路】首先应该根据图形的面积所表达的条件找出被积函数,写出积分形式,以 x 为

变量设定,被积函数即为 y=-x2-x+2,然后求定积分。

? y ? x ? 2,

【解析】由

? ?

y

?

?

x

2

求得两曲线交点为 A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知阴影部

? ? 分的面积为 S=

1 ?2

[-x2-(x-2)]dx=

1 ?2

(-x2-x+2)

dx=

? ??

?

1 3

x3

?

1 2

x2

?

2x

? ??

1 ?2

?

9 2

.所以选

C.

二、填空题
?6. 1 (x3 ? sin x)dx ? ___________. ?1
【分值】5 分 【答案】0 【易错点】微积分基本定理即导数的逆运算的应用。

【考查方向】本题主要考查了定积分的求解。

【解题思路】先将被积函数进行求导的逆运算,然后计算函数值的增量。

? 【解析】

1 (x3
?1

?

sin

x)dx

?

(

1 4

x4

?

c

os

x)

1 ?1

?

0

? 7.设

f(x)=

??e ? ??

x, 1
x

x ??0,1? ??1, e? (e

为自然对数的底数),则

e

f (x)dx

0

=________.

【分值】5 分 【答案】e

【易错点】应用微积分定理求积分的关键是求被积函数的原函数,注意求一个函数的原函数 与求一个函数的导数是互逆运算;当被积函数是分段函数时,依据定积分的性质,分段求定 积分,再求和. 【考查方向】本题主要考查了分段函数定积分的求解。 【解题思路】先将被积函数的各段进行求导的逆运算,然后分别计算函数值的增量。

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? ? ? 【解析】

e f (x)dx ?

1 e

x

dx

?

e 1 dx ? ex 1 ? ln x e =e-1+lne=e.

0

0

1x

01

8.设 a ? 0 .若曲线 y ? x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a2 ,则 a ? ______.
【分值】5 分 【答案】0 【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义。

【解题思路】先分清是求曲边图形面积,还是利用曲边图形面积解决其他问题,再正确作出 图形,确定积分区间和被积函数,然后根据条件,建立等量关系或方程,进行求解.

?a
【解析】由已知得 S ? 0

x

?

2 3

3
x2

|0a ?

2

a

3 2

3

?

1
a2 ,所以 a 2

?

2 3

,所以 a

?

4. 9

三、解答题

1
? 9.已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0, (x)dx=-2,求 a,b,c 的值.
0

【分值】10 分 【答案】a=6,b=0,c=-4

【易错点】定积分与导数逆运算的关系

【考查方向】本题主要考查了定积分的运算。 【解题思路】 根据题设条件,列出方程组,求出 a,b,c. 【解析】由 f(-1)=2,得 a-b+c=2.①

因为 f′(x)=2ax+b,所以 f′(0)=b=0.②

1

1

? ? 又因为 f(x)dx= (ax2+bx+c)dx

0

0

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=???13ax3+21bx2+cx???|10=31a+21b+c,
11 所以3a+2b+c=-2.③ 联立①②③,解得 a=6,b=0,c=-4. 10.已知两抛物线 y=-x2+2x,y=x2,以其图像在第一象限的交点为对角顶点恰好能 构建一正方形,设两抛物线所围成的图形区域为 M,则某人向该正方形区域内撒一粒黄豆, 求黄豆能落在 M 内的概率.

【分值】10 分
1 【答案】3 【易错点】注意应用定积分求面积,构建几何概型的几何测度。

【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义及运算,几何概型。

【解题思路】求出两抛物线的交点,画出图象,利用定积分求解.

【解析】函数 y=-x2+2x,y=x2 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示.
1
? 由图可知,图形 M 的面积 S= (-x2+2x-x2)dx
0

?=

1 0

(-2x2+2x)dx=???-23x3+x2???????10=13.

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1 正方形面积为 1,有几何概型的概率公式可得黄豆能落在 M 内的概率 P= 3 ? 1 。
13
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