江苏省徐州市、连云港市、宿迁市2016年高考数学三模试卷 Word版含解析


2016 年江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写 在答题卡的指定位置上. 1.已知集合 A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5},则 A∩B= . 2. z=10i 已知复数 z 满足 (3+i) (其中 i 为虚数单位) , 则复数 z 的共轭复数是 . 3.如图是一次摄影大赛上 7 位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个 最高分和一个最低分后,算得平均分为 91 分,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图 中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是 .

4.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手 背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出; 其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是 5.执行如图所示的算法流程图,则输出 k 的值为 . .

6. 已知点 F 为抛物线 y2=4x 的焦点, 该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5, 则直线 AF 的斜率为 . 7.已知公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 = . cm3.

8.已知圆锥的母线长为 10cm,侧面积为 60πcm2,则此圆锥的体积为

9.若实数 x,y 满足约束条件

,则|3x﹣4y﹣10|的最大值为



10.已知函数 f(x)=sinx(x∈[0,π])和函数 g(x)= tanx 的图象交于 A,B,C 三点, 则△ABC 的面积为 .

11.若点 P,Q 分别是曲线 y= 为 .

与直线 4x+y=0 上的动点,则线段 PQ 长的最小值

12.已知 , , 是同一平面内的三个向量,其中 , 是相互垂直的单位向量,且( ?( ﹣ )=1,| |的最大值为 .



13.已知对满足 x+y+4=2xy 的任意正实数 x,y,都有 x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0,则实数 a 的取值范围为 . 14.已知经过点 P(1, )的两个圆 C1,C2 都与直线 l1:y= x,l2:y=2x 相切,则这两 圆的圆心距 C1C2 等于 .

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题卡的指定区域内. 15.如图,在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AD=1,BD=2 ﹣2,求: (1)CD 的长; (2)△BCD 的面积. ,∠CAD= ,tan∠ADC=

16.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB=AC,M,N,P 分别为 BC,CC1,BB1 的中点.求证: (1)平面 AMP⊥平面 BB1C1C; (2)A1N∥平面 AMP.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(1, )在椭圆 C:

=1(a>b>0)上,

P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 M,N 是椭圆 C 上的两点,且四边形 POMN 是平行四边形,求点 M,N 的坐标.

18.经市场调查,某商品每吨的价格为 x(1<x<14)百元时,该商品的月供给量为 y1 万 吨,y1=ax+ a2﹣a(a>0) ;月需求量为 y2 万吨,y2=﹣ x2﹣ x+1.当该商品的需求

量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求 量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. (1)若 a= ,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大? (2) 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格, 若该商品的均衡价格不低于每吨 6 百元, 求实数 a 的取值范围. 19.已知函数 f(x)= ,g(x)=ax﹣2lnx﹣a (a∈R,e 为自然对数的底数) .

(1)求 f(x)的极值; (2)在区间(0,e]上,对于任意的 x0,总存在两个不同的 x1,x2,使得 g(x1)=g(x2) =f(x0) ,求 a 的取值范围. 20.在数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+2= (k∈N*) .

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求满足 2an+1=an+an+2 的正整数 n 的值; (3)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,问是否存在正整数 m,n,使得 S2n=mS2n﹣1?若存在, 求出所有的正整数对(m,n) ;若不存在,请说明理由. 三.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内 作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修 4-1:几何证明选讲](本 小题满分 10 分) 21.如图,AB 是圆 O 的直径,弦 BD,CA 的延长线相交于点 E,过 E 作 BA 的延长线的垂 线,垂足为 F.求证:AB2=BE?BD﹣AE?AC.

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 0 分) 22.已知矩阵 A= ,向量 = ,计算 A5 .

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 0 分)

23.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标.

,以极点为原点,极轴为 x 轴 (α 为参数) ,求直线 l

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 0 分) 24.已知 a、b∈R,a>b>e(其中 e 是自然对数的底数) ,求证:ba>ab. (提示:可考虑用 分析法找思路) 四.[必做题]第 22、23 题,每小题 0 分,计 20 分.请把答案写在答题卡的指定区域内. 25.已知甲箱中装有 3 个红球、3 个黑球,乙箱中装有 2 个红球、2 个黑球,这些球除颜色 外完全相同.某商场举行有奖促销活动,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱中各随机摸 出 2 个球,共 4 个球.若摸出 4 个球都是红球,则获得一等奖;摸出的球中有 3 个红球,则 获得二等奖;摸出的球中有 2 个红球,则获得三等奖;其他情况不获奖.每次摸球结束后将 球放回原箱中. (1)求在 1 次摸奖中,获得二等奖的概率; (2)若连续摸奖 2 次,求获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X) . * 26.在集合 A={1,2,3,4,…,2n}中,任取 m(m≤n,m,n∈N )个元素构成集合 Am.若 Am 的所有元素之和为偶数,则称 Am 为 A 的偶子集,其个数记为 f(m) ;若 Am 的所有元 素之和为奇数,则称 Am 为 A 的奇子集,其个数记为 g(m) .令 F(m)=f(m)﹣g(m) . (1)当 n=2 时,求 F(1) ,F(2) ,F(3)的值; (2)求 F(m) .

2016 年江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写 在答题卡的指定位置上. 1.已知集合 A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5},则 A∩B= {1,3} . 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5}, ∴A∩B={1,3}, 故答案为:{1,3}. 2.已知复数 z 满足(3+i)z=10i(其中 i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数是 1﹣3i .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解:∵(3+i)z=10i,∴(3﹣i) (3+i)z=10i(3﹣i) ,∴10z=10(3i+1) , 化为:z=1+3i, 则复数 z 的共轭复数是 1﹣3i. 故答案为:1﹣3i. 3.如图是一次摄影大赛上 7 位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个 最高分和一个最低分后,算得平均分为 91 分,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图 中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是 1 .

【考点】茎叶图. 【分析】根据讨论 x>4 时,求出平均分不是 91 分,显然 x≤4,表示出平均分,得到关于 x 的方程,解出即可. 【解答】解:若 x>4,去掉一个最高分(90+x)和一个最低分 86 后, 平均分为 (89+91+92+92+94)=91.6 分,不合题意, 故 x≤4,最高分是 94, 去掉一个最高分 94 和一个最低分 86 后, 故平均分是 (89+92+90+x+91+92)=91,解得 x=1, 故答案为:1.

4.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手 背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出; 其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】根据题意,分析可得甲、乙、丙出的方法种数都有 2 种,由分步计数原理可得三人 进行游戏的全部情况数目,进而可得甲胜出的情况数目,由等可能事件的概率,计算可得答 案. 【解答】解:一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有 2 种,所以总共有 23=8 种方案, 而甲胜出的情况有:“甲黑乙白丙白”,“甲白乙黑丙黑”,共 2 种, 所以甲胜出的概率为 = , 故答案为: .

5.执行如图所示的算法流程图,则输出 k 的值为 3 .

【考点】程序框图. 【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件 n=1,跳出循环,确定输出 k 的值. 【解答】解:n=13 是奇数,n= =6>1,不符,此时 k=1,

n=6 是偶数,n=3>1,不符,此时 k=2, n=3 是奇数,n=1=1,符合,此时 k=3, 故答案为:3. 6. 已知点 F 为抛物线 y2=4x 的焦点, 该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5, 则直线 AF 的斜率为 .

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出抛物线的焦点坐标,设出 A,利用抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的 距离为 5,求出 A 的横坐标,然后求解斜率.

【解答】解:由题可知焦点 F(1,0) ,准线为 x=﹣1 设点 A(xA,yA) , ∵抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5, ∴xA+ =5, ∴xA=4, ∴yA=4, ∴点 A(4,4) , ∴直线 AF 的斜率为 故答案为: . = ,

7.已知公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】设出等差数列的首项,由

=3,则

=



=3 得到首项和公差的关系,代入等差数列的通项公式

可得



【解答】解:设等差数列{an}的首项为 a1,则 =3,得 ,即 d=4a1,







=



故答案为:



8.已知圆锥的母线长为 10cm,侧面积为 60πcm2,则此圆锥的体积为 96π cm3. 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【分析】根据侧面积计算圆锥的底面半径,根据勾股定理得出圆锥的高,代入圆锥的体积公 式计算体积. 【解答】解:设圆锥的底面半径为 r,则 S 侧=π×r×10=60π,解得 r=6. ∴圆缀的高 h= ∴圆锥的体积 V= 故答案为:96π. =8, = =96π.

9.若实数 x,y 满足约束条件

,则|3x﹣4y﹣10|的最大值为



【考点】简单线性规划. 【分析】由题意作平面区域,而根据点到直线的距离公式可知转化为求阴影内的点到直线 l 的距离最大,从而解得. 【解答】解:由题意作平面区域如下,



直线 l 的方程为 3x﹣4y﹣10=0, 点 A 到直线 l 的距离最大, 由 解得,A( , ) ,

故点 A 到直线 l 的距离 d=

=



故|3x﹣4y﹣10|的最大值为 故答案为: .

×5=



10.已知函数 f(x)=sinx(x∈[0,π])和函数 g(x)= tanx 的图象交于 A,B,C 三点, 则△ABC 的面积为 π .

【考点】正切函数的图象;正弦函数的图象.

【分析】根据题意,令 sinx= tanx,结合 x∈[0,π]求出 x 的值,得出三个点 A、B、C 的 坐标,即可计算△ABC 的面积. 【解答】解:根据题意,令 sinx= tanx, 即 sinx(1﹣ 解得 sinx=0 或 1﹣ 即 sinx=0 或 cosx= ; 又 x∈[0,π], 所以 x=0 或 x=π 或 x= ; , ) ; = π. )=0, =0,

所以点 A(0,0) ,B(π,0) ,C(

所以△ABC 的面积为 S= |AB|h= ×π× 故答案为: π.

11.若点 P,Q 分别是曲线 y= .

与直线 4x+y=0 上的动点,则线段 PQ 长的最小值为

【考点】两点间距离公式的应用. 【分析】求出原函数的导函数,得到与直线 4x+y=0 平行的曲线的切线方程,由平行线间的 距离公式求得线段 PQ 长的最小值. 【解答】解:由 y= 由 ∴x=±1. y=5, 当 x=1 时, 则与 4x+y=0 且与曲线 y= ﹣9=0. 此时两平行线间的距离为 ; 相切的直线方程为 y+3=﹣4(x+1) ,即 相切的直线方程为 y﹣5=﹣4 (x﹣1) , 即 4x+y =1+ ,得 y′= ,

,得 x2=1,

当 x=﹣1 时,y=﹣3,则与 4x+y=0 且与曲线 y= 4x+y+7=0. 此时两平行线间的距离为 .

∴曲线 y= 故答案为:

与直线 4x+y=0 上两动点 PQ 距离的最小值为 .



12.已知 , , 是同一平面内的三个向量,其中 , 是相互垂直的单位向量,且( ?( ﹣ )=1,| |的最大值为 1+ .



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】不妨设 =(1,0) , =(0,1) ,设 =(x,y) ,根据向量的坐标运算和数量积运 算得到(x﹣ )2+(y﹣ )2=2,结合图形即可求出最大值.

【解答】解:∵ , 是相互垂直的单位向量, 不妨设 =(1,0) , =(0,1) , 设 =(x,y) , ∴ ∵( =(1﹣x,﹣y) , )?( ﹣ =(﹣x, ﹣y) ,

﹣ )=1,

∴﹣(1﹣x)x﹣y( ﹣y)=1, ∴x2﹣x+y2﹣ y=1, ∴(x﹣ )2+(y﹣ )2=2, )为圆心,以 为半径的圆,

∴向量 的轨迹为以( , ∴圆心到原点的距离为 1, ∴| |的最大值为 1+ 故答案为:1+

13.已知对满足 x+y+4=2xy 的任意正实数 x,y,都有 x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0,则实数 a 的取值范围为 (﹣∞, ] .

【考点】基本不等式. 【分析】依题意,由正实数 x,y 满足 x+y+4=2xy,可求得 x+y≥4,由 x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1 ≥0 恒成立可求得 a≤x+y+ 恒成立,利用双钩函数的性质即可求得实数 a 的取值范围.

【解答】解:因为正实数 x,y 满足 x+y+4=2xy,而 4xy≤(x+y)2,代入原式得(x+y)2 ﹣2(x+y)﹣8≥0,解得(x+y)≥4 或(x+y)≤﹣2(舍去) 由 x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0 可得 a(x+y)≤(x+y)2+1,即 a≤x+y+ 令 t=x+y∈[4,+∞) , 则问题转化为 a≤t+ , 因为函数 y=t+ 在[4,+∞)递增, 所以 ymin=4+ = 所以 a≤ 故答案为: (﹣∞, ]. ,

14.已知经过点 P(1, )的两个圆 C1,C2 都与直线 l1:y= x,l2:y=2x 相切,则这两 圆的圆心距 C1C2 等于 .

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】设圆心坐标为(x,y) ,由于圆与直线 l1:y= x,l2:y=2x 都相切,根据点到直线 的距离公式得圆心只能在直线 y=x 上,设 C1(a,a) ,C2(b,b) ,推导出 a,b 是方程(1 ﹣x)2+( )2= 的两根,由此能求出.这两圆的圆心距 C1C2.

【解答】解:设圆心坐标为(x,y) ,由于圆与直线 l1:y= x,l2:y=2x 都相切, 根据点到直线的距离公式得: ∴圆心只能在直线 y=x 上, 设 C1(a,a) ,C2(b,b) , 则圆 C1 的方程为(x﹣a)2+(y﹣a)2= 圆 C2 的方程为(x﹣b)2+(y﹣b)2= , , ,解得 y=x,

将(1, )代入,得:



∴a,b 是方程(1﹣x)2+( ∴ ∴|C1C2|= 故答案为: . ,ab= ,

)2=

,即

=0 的两根,

=

?

=

?

=



二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题卡的指定区域内. 15.如图,在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AD=1,BD=2 ﹣2,求: (1)CD 的长; (2)△BCD 的面积. ,∠CAD= ,tan∠ADC=

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】 (1)根据 tan∠ADC=﹣2 计算 sin∠ADC,得出 sin∠ACD,在△ACD 中使用正弦 定理求出 CD;

(2)根据∠ADC+∠BCD=180°求出 sin∠BCD,cos∠BCD,在△BCD 中使用余弦定理解出 BC,则 S△ BCD= . ,cos∠ADC=﹣ .

【解答】解: (1)∵tan∠ADC=﹣2,∴sin∠ADC=

∴sin∠ACD=sin(∠CAD+∠ADC)=sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ ADC= = .

在△ACD 中,由正弦定理得 解得 CD= . (2)∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴sin∠BCD=sin∠ADC=

,即



,cos∠BCD=﹣cos∠ADC=



在△BCD 中,由余弦定理得 BD2=CD2+BC2﹣2BC?CDcos∠BCD, 即 40=5+BC2﹣2BC,解得 BC=7 或 BC=﹣5(舍) . ∴S△ BCD= BC?CDsin∠BCD= =7.

16.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB=AC,M,N,P 分别为 BC,CC1,BB1 的中点.求证: (1)平面 AMP⊥平面 BB1C1C; (2)A1N∥平面 AMP.

【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)由已知条件推导出 AM⊥BC,AM⊥BB1,从而 AM⊥平面 BB1C1C,由此能 证明平面 AMP⊥平面 BB1C1C. (2)取 B1C1 中点 E,连结 A1E、NE、B1C,推导出平面 A1NE∥平面 APM,由此能证明 A1N∥平面 AMP. 【解答】证明: (1)∵在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,M 是 BB1 的中点, ∴AM⊥BC,AM⊥BB1, ∵BC∩BB1=B, ∴AM⊥平面 BB1C1C, ∵AM? 平面 AMP,∴平面 AMP⊥平面 BB1C1C. (2)取 B1C1 中点 E,连结 A1E、NE、B1C,

∵M,N,P 分别为 BC,CC1,BB1 的中点, ∴NE∥BC1∥PM,A1E∥AM, ∵PM∩AM=M,A1E∩NE=E,PM、AM? 平面 APM,A1E、NE? 平面 A1EN, ∴平面 A1NE∥平面 APM, ∵A1N? 平面 A1NE,∴A1N∥平面 AMP.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(1, )在椭圆 C:

=1(a>b>0)上,

P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 M,N 是椭圆 C 上的两点,且四边形 POMN 是平行四边形,求点 M,N 的坐标. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由点 P(1, )在椭圆上,P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4,列出方程 组求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2)由题意设直线 AB:y=

,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立

,消去 y,

得:3x2+3mx+m2﹣3=0,由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形性质,结合已知条件能 求出 M、N 的坐标. 【解答】解: (1)∵点 P(1, )在椭圆 C: 个焦点的距离之和为 4, =1(a>b>0)上,P 到椭圆 C 的两



,解得 a=2,b=



∴椭圆 C 的方程为



(2)由题意设直线 MN:y=

,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

联立

,消去 y,得:3x2+3mx+m2﹣3=0,

△>0, ∵四边形 POMN 是平行四边形, ∴|MN|= =



,解得 m=±3,

当 m=3 时,解方程:3x2+9x+6=0,得 M(﹣1, ) ,N(﹣2,0) ; 当 m=﹣3 时,解方程:3x2﹣9x+6=0,得 M(1, ) ,N(2,6) .

18.经市场调查,某商品每吨的价格为 x(1<x<14)百元时,该商品的月供给量为 y1 万 吨,y1=ax+ a2﹣a(a>0) ;月需求量为 y2 万吨,y2=﹣ x2﹣ x+1.当该商品的需求

量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求 量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. (1)若 a= ,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大? (2) 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格, 若该商品的均衡价格不低于每吨 6 百元, 求实数 a 的取值范围. 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)利用商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积,分类讨论,即可求解商品的 价格为多少时,该商品的月销售额最大? (2)设 f(x)=y1﹣y2=ax+ a2﹣a﹣(﹣ x2﹣ x+1)= x2+( +a)x+ a2﹣a

﹣1,因为 a>0,所以 f(x)在区间(1,14)上是增函数,若该商品的均衡价格不低于 6 百元,即函数 f(x)在区间[6,14)上有零点,即可得出结论. 【解答】解: (1)若 a= ,y1= x﹣ y2>y1,即﹣ , 商品的月销售额等于( x﹣ y2≤y1, 即﹣ x2﹣ x+1, x2﹣ )x,在(1,6)上单调递增, ( x﹣ )x< ; x2﹣ x+1> x﹣ , ,∵1<x<14,∴1<x<6,月销售量为 y1= x﹣

x+1≤ x﹣

, ∵1<x<14, ∴6≤x<14, 月销售量为 y2=﹣

商品的月销售额等于 y=(﹣

x2﹣

x+1)x,y′=﹣

(x﹣8) (3x+28) , > ,

∴函数在(6,8)上单调递增, (8,14)上单调递减,x=8 时,取得最大值 ∴商品的价格为 8 元时,该商品的月销售额最大; (2)设 f(x)=y1﹣y2=ax+ a2﹣a﹣(﹣ x2﹣ x+1)= x2+(

+a)x+ a2﹣a

﹣1 因为 a>0,所以 f(x)在区间(1,14)上是增函数, 若该商品的均衡价格不低于 6 百元,即函数 f(x)在区间[6,14)上有零点, 所以 f(6)≤0,f(14)>0,? 所以 0<a≤ .

19.已知函数 f(x)=

,g(x)=ax﹣2lnx﹣a (a∈R,e 为自然对数的底数) .

(1)求 f(x)的极值; (2)在区间(0,e]上,对于任意的 x0,总存在两个不同的 x1,x2,使得 g(x1)=g(x2) =f(x0) ,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值即可; (2)求出当 x∈(0,e]时,函数 f(x)的值域,通过讨论 a 的范围结合 g(x)的单调性, 求出 a 的具体范围即可. 【解答】解: (1)因为 f(x)= ,所以 f′(x)= ,…

令 f′(x)=0,得 x=1. … 当 x∈(﹣∞,1)时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 所以 f(x)在 x=1 时取得极大值 f(1)=1,无极小值. … (2)由(1)知,当 x∈(0,1)时,f(x)单调递增;当 x∈(1,e]时,f(x)单调递减. 又因为 f(0)=0,f(1)=1,f(e)=e?e1﹣e>0, 所以当 x∈(0,e]时,函数 f(x)的值域为(0,1].… 当 a=0 时,g(x)=﹣2lnx 在(0,e]上单调,不合题意; … 当 a≠0 时,g′(x)= ,x∈(0,e],

故必须满足 0< <e,所以 a> . 此时,当 x 变化时,g′(x) ,g(x)的变化情况如下: x g′(x) g(x) (0, ) ﹣ 单调减 0 最小值



( ,e] + 单调增

所以 x→0,g(x)→+∞,g( )=2﹣a﹣2ln ,g(e)=a(e﹣1)﹣2, 所以对任意给定的 x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的 x1,x2 使得 g(x1)=g(x2)=f(x0) , 当且仅当 a 满足下列条件 ,即 ,…

令 m(a)=2﹣a﹣2ln ,a∈( ,+∞) , m′(a)=﹣ ,由 m′(a)=0,得 a=2.

当 a∈(2,+∞)时,m′(a)<0,函数 m(a)单调递减; 当 a∈( ,2)时,m′(a)>0,函数 m(a)单调递增. 所以,对任意 a∈( ,+∞)有 m(a)≤m(2)=0, 即 2﹣a﹣2ln ≤0 对任意 a∈( ,+∞)恒成立. 由 a(e﹣1)﹣2≥1,解得 a≥ 综上所述,当 a∈[ ,

,+∞)时,对于任意给定的 x0(0,e], …

在区间(0,e]上总存在两个不同的 x1,x2,使得 g(x1)=g(x2)=f(x0) .

20.在数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+2=

(k∈N*) .

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求满足 2an+1=an+an+2 的正整数 n 的值; (3)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,问是否存在正整数 m,n,使得 S2n=mS2n﹣1?若存在, 求出所有的正整数对(m,n) ;若不存在,请说明理由. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)由题意可得数列{an}的奇数项是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列;偶数项是 以 2 为首项,公比为 3 的等比数列.分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出. ①当 n 为奇数时, (2) 由 2an+1=an+an+2 可得: =n+1,令 f(x)=2× =n+n+2, 化为:

﹣x﹣1(x≥1) ,利用导数研究函数的单调性即可得出.②当 n +2× ,化为:n+1=

为偶数时,由 2an+1=an+an+2 可得:2(n+1)=2 + ,即可判断出不成立.

(3)S2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+a4+…+a2n)=3n+n2﹣1,n∈N*.S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2 ﹣1.假设存在正整数 m,n,使得 S2n=mS2n﹣1,化为 3n﹣1(3﹣m)=(m﹣1) (n2﹣1) ,可 得 1,2,3.分类讨论即可得出. 【解答】解: (1)由 a1=1,a2=2,an+2= (k∈N*) .可得数列{an}的奇数

项是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列;偶数项是以 2 为首项,公比为 3 的等比数列. ∴对任意正整数 k,a2k﹣1=1+2(k﹣1)=2k﹣1;a2k=2×3k﹣1. ∴数列{an}的通项公式 an= ①当 n 为奇数时, (2) 由 2an+1=an+an+2 可得: =n+1, 令 f(x)=2× 由 f′(x)= × ﹣x﹣1(x≥1) , ×ln ﹣1≥ ﹣1=ln3﹣1>0, ,k∈N*.

=n+n+2, 化为:

可知 f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f(x)≥f(1)=0, ∴当且仅当 n=1 时,满足 =n+1,即 2a2=a1+a3. +2× ,

②当 n 为偶数时,由 2an+1=an+an+2 可得:2(n+1)=2 化为:n+1= + ,

上式左边为奇数,右边为偶数,因此不成立. 综上,满足 2an+1=an+an+2 的正整数 n 的值只有 1. (3)S2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+a4+…+a2n)= + =3n+n2﹣1,n∈

N*. S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1. 假设存在正整数 m,n,使得 S2n=mS2n﹣1, 则 3n+n2﹣1=m(3n﹣1+n2﹣1) , n﹣1 ∴3 (3﹣m)=(m﹣1) (n2﹣1) , (*) 从而 3﹣m≥0,∴m≤3, 又 m∈N*,∴m=1,2,3. ①当 m=1 时, (*)式左边大于 0,右边等于 0,不成立. ②当 m=3 时, (*)式左边等于 0,∴2(n2﹣1)=0,解得 n=1,∴S2=3S1. ③当 m=2 时, (*)式可化为 3n﹣1=(n+1) (n﹣1) , 则存在 k1,k2∈N*,k1<k2,使得 n﹣1= 从而 = ,n+1= ﹣ ,且 k1+k2=n﹣1, =2, =1,

=2,∴

∴k1=0,k2﹣k1=1,于是 n=2,S4=2S3. 综上可知,符合条件的正整数对(m,n)只有两对: (2,2) , (3,1) . 三.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内 作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修 4-1:几何证明选讲](本 小题满分 10 分) 21.如图,AB 是圆 O 的直径,弦 BD,CA 的延长线相交于点 E,过 E 作 BA 的延长线的垂 线,垂足为 F.求证:AB2=BE?BD﹣AE?AC.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】连接 AD,利用 AB 为圆的直径结合 EF 与 AB 的垂直关系,通过证明 A,D,E,F 四点共圆知,BD?BE=BA?BF,再利用△ABC∽△AEF 得到比例式,最后利用线段间的关系 即求得 AB2=BE?BD﹣AE?AC. 【解答】证明:连接 AD,因为 AB 为圆的直径, 所以∠ADB=90°, 又 EF⊥AB,∠AFE=90°, 则 A,D,E,F 四点共圆, ∴BD?BE=BA?BF, 又△ABC∽△AEF, ∴ ,即 AB?AF=AE?AC

∴BE?BD﹣AE?AC=BA?BF﹣AB?AF=AB?(BF﹣AF)=AB2.

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 0 分) 22.已知矩阵 A= ,向量 = ,计算 A5 .

【考点】特征向量的意义.

【分析】令 f(λ)=

=λ2﹣5λ+6=0,解得 λ=2 或 3.分别对应的一个特征向量





.设

=m

++n

.解得 m,n,即可得出. =λ2﹣5λ+6,由 f(λ)=0,解得 λ=2 或 3.

【解答】解:∵f(λ)=

当 λ=2 时,对应的一个特征向量为 α1= 设 =m ++n .解得 +1×35 = . .

;当 λ=3 时,对应的一个特征向量为 α2=



∴A5 =2×25

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 0 分) 23.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代 换将极坐标方程化成直角坐标方程. 再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程, 通 过直角坐标方程求出交点即可. 【解答】解:因为直线 l 的极坐标方程为 所以直线 l 的普通方程为 又因为曲线 C 的参数方程为 所以曲线 C 的直角坐标方程为 联立解方程组得 根据 x 的范围应舍去 或 , , , (α 为参数) , ,以极点为原点,极轴为 x 轴 (α 为参数) ,求直线 l

故 P 点的直角坐标为(0,0) . D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 0 分) 24.已知 a、b∈R,a>b>e(其中 e 是自然对数的底数) ,求证:ba>ab. (提示:可考虑用 分析法找思路) 【考点】分析法和综合法. 【分析】直接利用分析法的证明步骤,结合函数的单调性证明即可. 【解答】证明:∵ba>0,ab>0,

∴要证:ba>ab 只要证:alnb>blna 只要证 . (∵a>b>e)

取函数

,∵ ,∴函数 , 在 上是单调递减.

∴当 x>e 时, ∴当 a>b>e 时,有 即 .得证.

四.[必做题]第 22、23 题,每小题 0 分,计 20 分.请把答案写在答题卡的指定区域内. 25.已知甲箱中装有 3 个红球、3 个黑球,乙箱中装有 2 个红球、2 个黑球,这些球除颜色 外完全相同.某商场举行有奖促销活动,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱中各随机摸 出 2 个球,共 4 个球.若摸出 4 个球都是红球,则获得一等奖;摸出的球中有 3 个红球,则 获得二等奖;摸出的球中有 2 个红球,则获得三等奖;其他情况不获奖.每次摸球结束后将 球放回原箱中. (1)求在 1 次摸奖中,获得二等奖的概率; (2)若连续摸奖 2 次,求获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X) . 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)设“在 1 次摸奖中,获得二等奖”为事件 A,利用互斥事件概率计算公式能求出 在 1 次摸奖中,获得二等奖的概率. (2)设“在 1 次摸奖中,获奖”为事件 B,先求出 P(B) ,由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 E(X) . 【解答】解: (1)设“在 1 次摸奖中,获得二等奖”为事件 A, 则 P(A)= = .…

(2)设“在 1 次摸奖中,获奖”为事件 B, 则获得一等奖的概率为 = ,

获得三等奖的概率为 P3= 所以 P(B)= = .…

=



由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)=(1﹣ P(X=1)= )2= , = ,

P(X=2)=(

)2=



所以 X 的分布列是 X 0 1 P 所以 E(X)=0×

2

+2×

=

.…

26.在集合 A={1,2,3,4,…,2n}中,任取 m(m≤n,m,n∈N*)个元素构成集合 Am.若 Am 的所有元素之和为偶数,则称 Am 为 A 的偶子集,其个数记为 f(m) ;若 Am 的所有元 素之和为奇数,则称 Am 为 A 的奇子集,其个数记为 g(m) .令 F(m)=f(m)﹣g(m) . (1)当 n=2 时,求 F(1) ,F(2) ,F(3)的值; (2)求 F(m) . 【考点】子集与真子集;元素与集合关系的判断. 【分析】 (1)根据已知条件利用列举法能 F(1) ,F(2) ,F(3) ; (2)分 m 为奇数和 m 为偶数两种情况,再根据二项式定理和排列组合的知识即可求出答 案. 【解答】解: (1)当 n=2 时,集合为{1,2,3,4}, m=1 当 时,偶子集有{2},{4},奇子集有{1},{3},f(1)=2,g(1)=2,F(1)=0; 当 m=2 时,偶子集有{2,4},{1,3},奇子集有{1,2},{1,4},{2,4},{3,4}, f(2)=2,g(2)=4,F(2)=﹣2; 当 m=3 时,偶子集有{1,2,3},{1,3,4},奇子集有{1,2,4},{2,3,4}, f(3)=2,g(3)=2,F(3)=0; (2)当 m 为奇数时,偶子集的个数 f(m)=Cn0Cnm+Cn2Cnm﹣2+Cn4Cnm﹣4+…+Cnm﹣1Cn1, 奇子集的个数 g(m)=Cn1Cnm﹣1+Cn3Cnm﹣3+…+CnmCn0, 所以 f(m)=g(m) ,F(m)=f(m)﹣g(m)=0. 当 m 为偶数时,偶子集的个数 f(m)=Cn0Cnm+Cn2Cnm﹣2+Cn4Cnm﹣4+…+CnmCn0, 奇子集的个数 g(m)=Cn1Cnm﹣1+Cn3Cnm﹣3+…+Cnm﹣1Cn1, =f =Cn0Cnm﹣Cn1Cnm﹣1+Cn2Cnm﹣2﹣Cn3Cnm﹣3+…﹣Cnm﹣1Cn1+CnmCn0, 所以 F (m) (m) ﹣g (m) 一方面, (1+x)m(1﹣x)m=(Cm0+Cm1x+Cm2x2+…+Cmmxm)[Cm0﹣Cm1x+Cm2x2+…+(﹣1) m Cmmxm] 所以, (1+x)m(1﹣x)m 中 xm 的系数为 Cm0Cmm﹣Cm1Cmm﹣1+Cm2Cmm﹣2﹣Cm3Cmm﹣3+…﹣ Cmm﹣1Cm1+CmmCm0, 另一方面, (1+x)m(1﹣x)m=(1﹣x2)m, (1﹣x2)m 中 xm 的系数为(﹣1) ,

故 f(m)=(﹣1)



综上,F(m)=

2016 年 8 月 24 日


相关文档

2016年江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷(解析版)
江苏省徐州市、连云港市、宿迁市2018-2019学年高考数学三模试卷 Word版含解析
江苏省徐州市、连云港市、宿迁市2017-2018学年高考数学三模试卷 Word版含解析
江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷Word版含解析
【精选】江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷Word版含解析-数学
江苏省徐州市、宿迁市、连云港市2016届高考物理三模试卷 Word版含解析
江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷(含解析)【含答案】
2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷Word版含解析
江苏省连云港、徐州、宿迁三市2019届高三下学期第三次模拟数学试卷 Word版含解析
2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷(解析版)
电脑版