2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.1 函数及其表示

2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :2.1
一、选择题 1.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是( ) 2 3 B.y=( x )
x

函数及其表示

A.y=

x x

2

2 3

C.y=lg10

D .y=2

log x 2

解析:y= =x(x≠0); 2 3
x

x2 x

y=(x

)

2 3

=x(x≥0);

y=lg10 =x(x∈R);y=2 log2x=x(x>0).
答案:C
?2 ,x>0, ? 2.已知函数 f(x)=? ?x+1,x≤0. ?
x

若 f(a)+ f(1)=0,则实数 a 的值等于( D.3
1

)

A.-3

B.-1

C.1

解析:依题意,f(a)=-f(1)=-2 =-2, ∵2 >0,∴f(a)=a+1=-2,故 a=-3,所以选 A. 答案:A 1-x ?1? 3.若 g(x)=1-2x,f[g(x)]= 2 (x≠0),则 f? ?等于( x ?2? A.1 C.15 B.3 D.30
2

x

)

?1?2 1-? ? 1 1 ?1? ? 4? 解析:令 1-2x= ,∴x= ,f? ?= =15. 2 2 4 ? ? ?1?2 ? 4? ? ?
答案:C
? ?log4x ? x>0? , 4.( 2013·安徽名校联考)若函数 f(x)=? x ?3 ? x≤0? , ?

? ? 1 ?? 则 f?f? ??=( ? ?16??

)

A.9 C.-9

B.

1 9

1 D.- 9
1

1 ?1? 解析:∵f? ?=log4 =-2, 16 ?16? 1 ? ? 1 ?? -2 ∴f?f? ??=f(-2)=3 = ,选 B. 16 9 ? ? ?? 答案:B 5.若 f(x)对任意 实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A.x-1 C.2x+1 解析:∵2f(x)-f(-x)=3x+1,① 用-x 代替 x,得 2f(-x)-f(x)=-3x+1,② ①×2+②,得 3f(x)=3x+3,∴f(x)=x+1. 答案:B 6. (2012·中山三模)定义一种运算: a?b=? 那么函数 y=f(x+1)的大致图像是( )
? ?a? ?b? ?

)

B.x+1 D.3x+3

a≥b? , a<b? ,

已知函数 f(x)=2 ?(3-x),

x

A.

B.

2

C.

D.
?3-x? x<1? , ? x 解析:f(x)=2 ?(3-x)=? x ? ?2 ? x≥1? ,

作出 f(x)的图像,再将其向左平移一个

单位即为 f(x+1)的图 像,应选 B. 答案:B 二、填空题 7.(2013·济宁月考)已知 f(2x+1)=3x-2,且 f(a)=4 ,则 a 的值是__________. 解析:令 2x+1=t,则 x= ∴a=5. 答案:5

t-1

3t-3 3 7 3 7 ,∴f(t)= -2,即 f(x)= x- ,又 a- =4, 2 2 2 2 2 2

?1? 8.设函数 f(x)=f? ?lgx+1,则 f(10)的值为__________. ?x? ?1? f ? 10? =f? ?+1, ? ? ?10? 1 解析:分别令 x=10, ,得? 10 ? 1 ?=-f? 10? +1, f ? ? ?? ?10?
答案:1
3

两式相加,得 f(10)=1.

9.已知定义域为{x|x∈R,且 x≠1}的函数 f(x)满足 f? __________. 解析:f? 令 令 令

? 1 ?=1f(x)+1,则 f(3 )= ? ?1-x? 2

? 1 ?=1f(x)+1, ? ?1-x? 2

1 2 1 ?2? =3,得 x= ,∴f(3)= f? ?+1.① 1-x 3 2 ?3? 1 2 1 ?2? 1 ? 1? = ,则 x=- ,∴f? ?= f?- ?+1.② 1-x 3 2 ?3? 2 ? 2? 1 1 ? 1? 1 =- ,得 x=3,∴f?- ?= f(3)+1.③ 1-x 2 ? 2? 2

由①②③联立可得 f( 3)=2. 答案:2 三、解答题

?2 ? 10.(1)已知 f? +1?=lgx,求 f(x); ?x ?
(2)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,试求 f(x)的表达式. 2 2 2 解析:(1)令 +1=t,则 x= ,∴f(t)=lg . x t-1 t-1 ∴f(x)=lg 2

x-1
2

,x∈(1,+∞).

(2)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 由 f(0)=0 知 c=0,f(x)=ax +bx. 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1) +b(x+1)=ax +bx+x+1. 即 ax +(2a+b)x+a+b=ax +(b+1)x+1,
? ?2a+b=b+1 故有? ?a+b=1 ?
2 2 2 2 2

1 ? a=b= . 2

1 2 1 ∴f(x)= x + x. 2 2 11. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园, 甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离 都是 2 km, 甲 10 时出发前往乙家. 如图所示, 表示甲从家出发到乙家为止经过的路程 y(km) 与时间 x(分)的关系.试写出函数 y=f(x)的解析式.

4

解析:当 x∈[0,30]时,设 y=k1x+b1, 由已知得?
? ?b1=0, ?30k1+b1=2, ?

1 ? ?k1= , 15 解得? ? ?b1=0,

1 ∴y= x. 15

当 x∈(30,40)时,y=2; 当 x∈[40,60]时,设 y=k2x+b2,
?40k2+b2=2, ? 由已知得? ? ?60k2+b2=4,

1 ? ?k2= , 10 解得? ? ?b2=-2.

1 ∴y= x-2. 10

x, 15 ? ? 综上,f(x)=?2, x∈? 1 ? ?10x-2,
1

x∈[0,30],
30,40? ,

x∈[40,60].

?x-1,x>0, ? 2 12.已知 f(x)=x -1,g(x)=? ?2-x,x<0. ?

(1)求 f[g(2)]和 g[f(2)]的值; (2)求 f[g(x)]和 g[f(x)]的表达式. 解析:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, ∴f[g(2)]=f(1)=0,g[f(2)]=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1,

5

故 f[g(x)]=(x-1) -1=x -2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f[g(x)]=(2-x) -1=x -4x+3; ∴f[g(x)]=?
?x -2x, ? ? ?x -4x+3,
2 2 2 2

2

2

x>0, x<0.

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 故 g[f(x)]=f(x)-1=x -2; 当-1<x<1 时,f(x)<0, 故 g[f(x)]=2-f(x)=3-x .
?x -2,x>1或x<-1, ? ∴g[f(x )]=? 2 ? ?3-x ,-1<x<1.
2 2 2

6


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