宿松2017届高三数学一轮复习第18讲等比数列教

等比数列 教 1.通过实例,理解等比数列的概念; 学 2.探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式; 目 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。体会等比 标 数列与指数函数的关系。 等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位,是高考出题的重点。客观性的试题考察 等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用,对基本的运算 命 要求比较高,解答题大多以数列知识为工具。 题 走 向 预测 2017 年高考对本讲的考察为: (1)题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的 1~2 道客观题目; (2)关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点; (3)解决问题时注意数学思想的应用,象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转 化、分类讨论等,它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。 教 学 多媒体课件 准 备 1.等比数列的有关概念 (1)定义 教 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列 学 就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示,定义的表达式为an+1= an 过 程 q(q≠0,n∈N*). (2)等比中项 如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即:G 是 a 与 b 的等比中项?G =ab. “a,G,b 成等比数列”是“G 是 a 与 b 的等比中项”的充分不必要条件. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1q n-1 2 . 1 na1,q=1, ? ? (2)前 n 项和公式:Sn=?a1(1-qn) a1-anq = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q 3.等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和.(m,n,p,q,r,k∈N ) (1)若 m+n=p+q=2r,则 am·an=ap·aq=ar; (2)数列 am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列; (3)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比 q≠-1). 2 * 1.辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不能为 0,但 q 可为 正数,也可为负数. (2)由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (3)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q =1 这一特殊情形而导致解题失误. 2.等比数列的三种判定方法 (1)定义: an+1 * =q(q 是不为零的常数,n∈N )?{an}是等比数列. an n-1 (2)通项公式:an=cq 2 (c、q 均是不为零的常数, n∈N )?{an}是等比数列. * * (3)等比中项法:an+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N )?{an}是等比数列. 3.求解等比数列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比数列的通项公式、前 n 项和公式中联系着五个量:a1,q,n,an,Sn, 已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是 a1 与 q,在解题中根据已 知条件建立关于 a1 与 q 的方程或者方程组,是解题的关键. (2)分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须分类求和,当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn= a1(1-qn) ;在判断等比数列单调性时,也必须对 a1 与 q 分类讨论. 1-q 1.(2014·高考重庆卷)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 ) 2 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 解析:选 D.设等比数列的公比为 q,因为 = =q ,即 a6=a3a9,所以 a3,a6,a9 成等比数 列.故选 D. 2. (2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=3, a1+a3+a5=21, 则 a3+a5+a7=( A.21 C.63 B.42 D.84 2 4 a6 a9 a3 a6 3 2 ) 解析:选 B.因为 a1=3,a1+a3+a5=21,所以 3+3q +3q =21. 所以 1+q +q =7.解得 q =2 或 q =-3(舍去). 所以 a3+a5+a7=q (a1+a3+a5)=2×21=42.故选 B. 3. (必修 5 P58 练习 T2 改编)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3, S4=15, 则 S6=( A.31 C.63 B.32 D.64 2 2 2 2 4 2 2 ) 解析:选 C.由等比数列的性质,得(S4-S2) =S2·(S6-S4),即 12 =3×(S6-15),解得 S6= 63.故选 C. 4.(必修 5 P54 习题 2.4A 组 T8(1)改编)在 9 与 243 中间插入两个数,使它们同这两个数成 等比数列,则这两个数为________. 解析:设该数列的公比为 q,由题意知, 243=9×q ,得 q =27,所以 q=3. 所以插入的两个数分别为 9×3=27,27×3=81. 答案:27,81 5. (2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和. 若 Sn=126, 则 n=________. 解析:因为 a1=2,an+1=2an, 所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 2(1-2 ) 又因为 Sn=126,所以 =126,所以 n=6. 1-2 答案:6 n 3 3 考点一 等比数列的基本运算(高频考点) 等比数列的基本运算是高考

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