【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:19 不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(教师版) ]

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换为求函数的最值

a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最大值; a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最小值。

f ?x ? ?
例 1、已知 解:等价于

x 2 ? 2x ? a , x ? ?1,???, f ?x ? ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。 x 对任意

? ?x? ? x 2 ? 2x ? a ? 0 对任意 x ? ?1,??? 恒成立,又等价于 x ? 1 时, ? ?x ? 的最小值 ? 0 成立。
a ? ?3 。

由于

? ?x? ? ?x ? 1?2 ? a ? 1 在 ?1,??? 上为增函数,则 ? min ?x? ? ? ?1? ? a ? 3 ,所以 a ? 3 ? 0,

? ?? ? ? ? 0, ? f ?x ? 在 R 上既是奇函数又是减函数, f cos2 ? ? 2m sin ? ? f ?? 2m ? 2? ? 0 恒 ? 2 ? 时, 例 2、 函数 且当 有

?

?

成立,求实数 m 的取值范围。

解:由 为

f cos2 ? ? 2m sin ? ? f ?? 2m ? 2? ? 0 得到: f cos2 ? ? 2m sin ? ? ? f ?? 2m ? 2? 因

?

?

?

?

f ?x ? 为奇函数,故有 f cos2 ? ? 2m sin ? ? f ?2m ? 2? 恒成立,
f ?x ? 为 R 减函数,从而有 cos2 ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 对
? ?? ? ? ? 0, ? ?

?

?

又因为 设 sin ?

2 ? 恒成立;

2 ? t ,则 t 2 ? 2mt ? 2m ? 1 ? 0 对于 t ? ?0,1?恒成立,函数 g?t ? ? t ? 2mt ? 2m ? 1,对称轴为 t ? m 。

①当 t

? m ? 0 时, g ?0? ? 2m ? 1 ? 0 ,即

m??

1 1 ? ?m?0 2 ,又 m ? 0 ∴ 2

②当

t ? m ? ?0,1? ,即 0 ? m ? 1 时, ? ? 4m 2 ? 4m?2m ? 1? ? 0 ,即 m 2 ? 2m ? 1 ? 0 ,
2 ? m ? 1 ? 2 ,又 m ? ?0,1? ,∴ 0 ? m ? 1
? m ? 1 时, g ?1? ? 1 ? 2m ? 2m ? 1 ? 2 ? 0 恒成立。∴ m ? 1

∴1 ? ③当 t

m??
故由①②③可知: 例 3、已知函数

1 2。

f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值 ?3 ? c ,其中 a , b 为常数。

(1)试确定 a , b 的值;

(2)讨论函数

f ( x) 的单调区间;
2 ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求实数 c 的取值范围。

(3)若对任意 x

解: (1) (2)略(3)由(2)知, 使

f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值。要

f ( x) ? ?2c 2 ( x ? 0) 恒成立,只需 ? 3 ? c ? ?2c 2 ,即 2c 2 ? c ? 3 ? 0 ,
3

(2c ? 3)(c ? 1) ? 0 ,解得 c ? 2 或 c ? ?1 ,? c 的取值范围为 ( ?? ,?1] ? [ 3 ,?? ) 。 从而 2
2、主参换位

例 4、若不等式 ax 例 5、若对于任意 解:

?1 ? 0 对

x ??1, 2?

恒成立,求实数 a 的取值范围。

a?

1 2

a ?1

,不等式

x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围。

x ? (??,1) ? (3, ??)

f ( x) ?
例 6、已知函数 意

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 f ?( x)>x2 ? x ? a ? 1 对任 3 2 ,其中 a 为实数。若不等式

a ? (0, ? ?) 都成立,求实数 x 的取值范围。

解:由题设知,对任意 即 设

a ? (0, ? ?) ,不等式 ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 都成立,

? ?) 都成立。 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2 x ? 0 , ? a ? (0,
g (a ) 是一个以 a 为自变量的一次函数。 g (a) ? ( x2 ? 2)a ? x2 ? 2x ( a ? R ) ,则

x 2 ? 2 ? 0 恒成立,则 ? x ? R , g (a) 为 R 上的单调递增函数。
所以对任意

a ? (0, ? ?) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0 , ? x 2 ? 2 x ? 0 ,

? ?2 ? x ? 0 ,于是 x 的取值范围是 {x | ?2 ? x ? 0} 。
3、分离参数

(1)将参数与变量分离,即化为 (2)求

g ?? ? ? f ? x?

(或

g ?? ? ? f ? x?

)恒成立的形式;

f ? x?

在 x ? D 上的最大(或最小)值;

(3)解不等式

g ? ? ? ? f ( x)max

(或

g ? ? ? ? f ? x ?min

) ,得 ? 的取值范围。

适用题型:参数与变量能分离;函数的最值易求出。

例 7、当

x ? (1, 2) 时,不等式 x 2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是



解:当

x ? (1, 2) 时,由 x 2 ? mx ? 4 ? 0 得

m??

x2 ? 4 x 。

f ( x) ?


x2 ? 4 4 ? x? x x ,则易知 f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数, (? x2 ? 4 ) min ? ?5 x ∴ m ? ?5 。

所以

x ? [1, 2] 时 f ( x)max ? f (1) ? 5 ,则

例 8、已知函数 (1)当

1 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? x ? 3 3 ,其中 a ? 0 。

a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值;
? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围。

(2)已知 a 解: (1) a (2)

? b2

f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增 ? f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立
ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] b ? (? ? ) max x ? (0,1] ; 2 2x 2 2x 恒成立 ? ,

?

b??

1 2 a ( x ? ) 1 1 ax 1 a 1 a x? x?? g ( x) ? ? ? g '( x) ? ? ? 2 ? ? a或 a (舍) 2 2x , 2 2x 2 x 2 ,令 g '( x) ? 0 得 设 ,
0?

当a

? 1 时,

1 1 ax 1 x ? (0, ) ?1 g ( x) ? ? ? a 时 g '( x) ? 0 , a 2 2 x 单调增函数; ,当

x?(


1 1 ax 1 ,1] g( ) ? ? a g ( x) ? ? ? a 时 g '( x) ? 0 , a 2 2 x 单调减函数,? g ( x)max ? ,? b ? ? a ;
1 ax 1 ?1 g ( x) ? ? ? g '( x) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 a 2 2 x 在区间 (0,1] ,此时
g (1) ? ? a ?1 a ?1 b?? 2 ,? 2 。

当0 ?

a ? 1 时,

g ( x)max ? 上单调递增,?

综上,当 a

? 1 时, b ? ? a ;当 0 ? a ? 1 时,

b??

a ?1 2 。

4、数形结合 例 9、若对任意 x ? R ,不等式 解: ?x ? R ,不等式

| x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是



| x |? ax 恒成立,则由一次函数性质及图象知 ?1 ? a ? 1 ,即 ?1 ? a ? 1 。
? loga x 恒成立,求实数 a 的取值范围。 (1,2]
2

例 10、当 x ? (1,2) 时,不等式 ( x ? 1) 2 例11、已知关于 x 的函数

y ? ?log2 x ?1?loga b ? 6 log2 x loga b ? log2 x ? 1 ,

其中 a ? 0, a ? 1, b ? 0 ,若当 x 在区间

?1,2?内任意取值时, y 的值恒为正,求实数 b 的取值范围。
? log2 x ,则 u ? ?0,1? ,
2

2 解: y ? log2 ,令 u a b ? 6 loga b ? 1 ? log2 x ? loga b ? 1

?

?

则有

y ? f ?u ? ? loga b ? 6 loga b ? 1 u ? loga b ? 1,于是问题转化为:
2

?

?

当u? 因为

?0,1? 时, y ? f ?u ? ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围。

y ? f ?u ? 是关于 u 的一次函数,则当 u ? ?0,1? 时, y ? f ?u ? ? 0 恒成立的充要条件是

1 ? f ?0 ? ? ? loga 2 b ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? log a b ? 。 ? 3 ? f ?1? ? ?6 loga b ? 2 ? 0
所以当 a 当0 ?

? 1 时, 1
a

?b?

3

a ; 1 。 a

a ? 1 时, 3

a ?b?

二、不等式能成立(有解)问题的处理方法 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式

f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ; f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B 。
? ? f ( x) 有解,则等价于在区间 D 上 a ? f ( x) 的最小值;

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 a 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 a

? ? f ( x) 无解,则等价于在区间 D 上 a ? f ( x) 的最小值。
在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围 a

例 12、已知不等式

x?4 ? x?3 ?a
2

?1。


例 13、若关于 x 的不等式 x

? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是

解:设

f ?x ? ? x 2 ? ax ? a 。则关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集 ? f ?x ? ? ?3 在
f min ?x ? ? ?3 ,即
f min ?x ? ? ? 4a ? a 2 ? ?3, 4 解得 a ? ?6 或 a ? 2 。

?? ?,??? 上能成立 ?
例 14、已知函数

1 f ? x ? ? ln x ? ax 2 ? 2 x 2 ( a ? 0 )存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围。 1 2 1 ax2 ? 2 x ? 1 ax ? 2 x h?( x) ? ? ax ? 2 ? ? . 2 x x ,则
h?( x) ? 0 有解。

b ? 2时, h( x) ? ln x ?
解:

因为函数

h ? x?

存在单调递减区间,所以

由题设可知,

h?x ? 的定义域是 ?0,???

,而

h??x ? ? 0 在 ?0,??? 上有解,
a? 1 2 ? x2 x , u ?x ? ? 1 2 ? x2 x ;

就等价于

h??x ? ? 0 在区间 ?0,??? 能成立,即

x ? ?0,??? 成立,

进而等价于
2

a ? u min ?x ?成立,其中

1 2 ?1 ? u ? x ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 1 u ?x ? ? ?1 。于是, a ? ?1 , x ?x ? x 由 得, min
由题设 a

? 0 ,所以 a 的取值范围是 ?? 1,0? ? ?0,??? 。

三、不等式恰成立问题的处理方法

1? ? ? x | ?1 ? x ? ? 2 3 ? ,则 a ? b ? 例 15、不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ?
f ?x ? ?
例 16、已知

6



x 2 ? 2x ? a , x ? ?1,???, f ?x ? 的值域是 ?0,??? ,试求实数 a 的值。 x 当 x 2 ? 2x ? a f ?x ? ? ?0 x ? ?1,??? ; x 的解集是

解:本题是一个恰成立问题,这相当于

当a

? 0 时,由于 x ? 1 时,

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a a ? x? ?2?3 ?0,??? 矛盾, x x ,与其值域是

当a

? 0 时,

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a a ? x? ?2 ?1,??? 上的增函数, x x 是

所以,

f ?x ? 的最小值为 f ?1? ,令 f ?1? ? 0 ,即 1 ? a ? 2 ? 0, a ? ?3.

四、应用举例

(m ? 1) x2 ? (m ?1) x ? 3(m ?1) ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 取值范围。 (?? ,? 11 ) 1、若不等式
kx 2 ? kx ? 6 ?2 2 [ 2,10) 2、已知不等式 x ? x ? 2 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围。

13

ax ? x(4 ? x) 在 x ? [0,3] 内恒成立,求实数 a 的取值范围。 4、不等式
5、 (1)对一切实数 x ,不等式 (2)若不等式 (3)若方程

a?

3 3
? ?5

x ?3 ? x ? 2 ? a

恒成立,求实数 a 的范围。 a

x ?3 ? x ? 2 ? a

有解,求实数 a 的范围。 a

?5

x ?3 ? x ? 2 ? a

有解,求实数 a 的范围。

a ? [?5,5]

6、 (1)若 x, y 满足方程 (2)若 x, y 满足方程 7、已知 x
2

x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,求实数 c 的范围。 c ? 2 ? 1

x2 ? ( y ?1)2 ? 1 , x ? y ? c ? 0 ,求实数 c 的范围。 c ? [?1 ? 2 ,?1 ? 2 ]


1 2 ) x ? ? 0 ,x ? ? ?1, 1? 恒成立,则 m 的取值范围是 m m 1 2 2 解:设 g ( x ) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数图象的开口向上, m m ? 2(1 ?

2 2 ? ?4 ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 ? ? ?3 4 ?? ?? ? ?m ? ? ? m, m m 3 ? g (1) ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? ?1 ? 0
又m

? 0 ,? ?

4 4 ? m ? 0 ,即 m 的取值范围是 ? ? m ? 0 。 3 3
2

2) 时,不等式 x 8、当 x ? (1,
解析: x ? (1, 2)

? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是



4? ? x 2 ? mx ? 4 ? 0调整为m ? ? ? x ? ? x? ? 4? 4? ? ? x ? (1, 2) ,? x ? ? ? ? 4 , 5 ? ?? ? x ? ? ? ? ?5 , ? 4 ? ? m ≤ ?5 x x? ? ? ?

9、已知不等式

? x ? y??

?1 a? ? ? ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y? ?



解析:右边是常数,左边的 min ? 9即可,

? x ? y??
?

?1 a? y ax ? ? ? 1? a ? ? ? 1? a ? 2 a ? x y ?x y?

?

a ?1

?

2

?

a ?1

?

2

?9?

a ?2?a? 4

10、不等式 m

?

x2 ? 2 对一切非零实数 x 总成立,则 m 的取值范围是 (??, 2 2] 。 x
2

11、 已知 x1 , x2 是方程 x 则实数 m 的取值范围是 12、若不等式 loga ( x 13、已知 a 范围是
2

? ax ? 2 ? 0 的两个实根,不等式 m 2 ? 5m ? 3 ? x1 ? x2 , ?a ? [?1,1] 恒成立,
。 (??,?1] ? [0,5] ? [6,??)

? 2x ? 3) ? ?1 在 x ? R 上恒成立,则实数 a

的取值范围是

。[

1 ,1) 2

? 0 ? a ? 1,函数 f ( x) ? x 2 ? a x 当 x ? (?1,1) 时,恒有 f ( x ) ?
。[

1 成立,则实数 a 的取值 2

1 ,1) ? (1,2] 2

? 1? 2 ? 0, ? x ? log x ? 0 2 ? 内恒成立,则实数 m 的取值范围是 m 14、若不等式 在?
1 15、若不等式 2 ? loga x ? 0 ,当 x ? ( 0, ) 时恒成立,则实数 a 的取值范围是 2
x

1 [ ,1) 。 16
1 。[ 2
2 2

,1)

16、若方程 log2 (ax

2

1 ? 2 x ? 2) ? 2 在区间 [ ,2] 内有解,则实数 a 2

的取值范围是



17、 (1)已知 0 ? b ? 1 ? a ,若关于 x 的不等式 ( x ? b) A、 ? 1 ?

2

? (ax)2 的解集中的整数恰有 3 个,则(
D、 3 ?

C )

a?0

B、 0 ?

a ?1

C、 1 ?

a?3

a?6

(2)已知不等式组 范围是 (3)若关于 x 的不等式 。 [?3,2)

的解集中只含有一个整数解—2,则实数 k 的取值

? 2 x ? 1?

2

? ax 2 的解集中的整数恰有 3 个,则实数 a 的取值范围是



解:已知不等式化为

? 4 ? a ? x2 ? 4x ?1 ? 0 ,因为解集中的整数恰有 3 个,则

4 ? a ? 0, ? ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 4 。

不等式的解满足

2? a 2? a ?x? 4?a 4?a

,即

1 1 ?x? 2? a 2? a



显然, 0 ?

1 1 ? 1 ,为使解集中的整数恰有 3 个,则必须且只须满足 3 ? ? 4。 2? a 2? a
,解得

即?

? ? 6 ? 3 a ? 1, ? ?8 ? 4 a ? 1.

25 49 ?a? , 9 16

所以实数 a 的取值范围是 ? 18、 ?n ? N ,不等式
*

? 25 49 ? 。 , ? 9 16 ? ?
恒成立,则实数 a 的取值范围是 。 [ ? 2,

3 ) 2

19、设

f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,若对任意的 x ??t,t ? 2? ,不等式
C ) C、 ?

f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是(
A、

? ? ?2,∞

B、 ? ?

?

2, ? 1? ?

?0, 2 ? ? ?

?∞ ? 2,

?

D、

2? ? 0,

20、设函数 f ( x) ? x ?

1 对任意 x ? [1,??) f ( m x) ? m f ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x

(??,?1) 。

21、设函数

3 f ( x) ? x 2 ? 1,对任意 x ?[ , ??) , 2
3 3 ] ?[ ,??) 。 2 2

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立, ?m?

则实数 m 的取值范围是 ( ??,?

解:依据题意得

x2 ? 1 ? 4m2 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4(m2 ? 1) m2

1 3 2 3 3 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 ? 4m 2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立; m x x 2 2 3 5 3 2 当x? 时,函数 y ? ? 2 ? ? 1 取得最小值 ? , 2 3 x x
在 所以

3 3 1 5 或m ? ? 4m2 ? ? ,即 (3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ? 2 2 2 m 3




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