【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题


2014 级哈师大附中高二上学期期中考试 文科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 抛物线 x2 ? 4 y 的焦点坐标是 A. (0,1) B. (1, 0) C. (0,

1 ) 16

D. (

1 , 0) 16

2. 若直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 ax ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于 A.1 B. ?

1 3

C. ?2

D. ?

2 3

3. 圆 O 1: x2 ? y 2 ? 2x ? 0 和圆 O 2: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切

4.焦点在 x 轴上的椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的焦距为 4 2 ,则长轴长是 a2
C. 6 2
2

A. 3

B. 6

D. 2
2

5. 一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的最短路径是 A.4 B.5 C. 3 2 ? 1 D. 2 6

6. 方程

x2 y2 ? ? 1表示椭圆,则 t 的取值范围是 4 ? t t ?1
B. t ? 1 或 t ? 4 C. t ? 4 D. 1 ? t ?

A. 1 ? t ? 4

5 5 或 ?t?4 2 2
)条

7. 过 P (?4,1) 的直线 l 与双曲线 A.1 B.2

x2 ? y 2 ? 1仅有一个公共点,则这样的直线 l 有( 4
C.3 D.4

8. 直线 y ? x ? m 与椭圆 A. ? 3

x2 ? y 2 ? 1 相切,则 m 的值为 2
C. ?1 D. ?3

B. ? 2

9.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 曲线的渐近线方程为 A. y ? ?3x

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B 两点,且 AB 的中点为 M (1,3) ,则双 a2 b2

B. y ? ? 3x

C. y ? ?

1 x 3

D. y ? ?

3 x 3

10.倾斜角为 A. 2

? 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,与抛物线相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长为 4
B. 4 C. 6 D. 8

11. 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左支有两个公共点,则 k 的取值范围是 A. (? 2,0) B. (? 2, 2) C. (? 2, ?1) D. (? 2, ?1]

12. 在直角坐标系中, O 为坐标原点, i 为 x 轴正方向上的单位向量,动点 P 满足 OP ? 2i ? OP ? 2i ? 4 3 , 则 | OP | 的最大值为 A. 2 B. 4 C. 2 2 D. 2 3

?

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. 已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 ,则动点 P 的轨迹方程 14. 已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为________. .

? x ? y ? 1 ? 0, ? 15.若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 0, ,则 x ? 3 y 的最大值为___ ____. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
x2 y 2 16.设 F1,F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,椭圆上存在一点 P ,使得 a b
| PF1 | ? | PF2 |? 2b,| PF1 | ? | PF2 |? 3 ab, 则椭圆的离心率为 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分)直线过点 P(?3,1) ,且与 x 轴, y 轴分别交于 A, B 两点. (Ⅰ)若点 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若 AP ? 2 PB ,求直线 l 的方程.
??? ? ??? ?

18.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 y ? x2 ? 6x ? 5 与坐标轴的交点都在圆 C 上。 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 CA ? CB, 求 a 的值.

x2 8 2 ? y 2 ? 1的右焦点, 19.(本题满分 12 分) 直线 l 经过椭圆 与椭圆交于 A 、B 两点, 且 AB ? , 求直线 l 的 2 7
方程.

20. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB,点 E 是 PB 的中点,点 F 是 EB 的中点. (Ⅰ) 求证: AE ? 平面 PBC ; (Ⅱ) 求证: DE // 平面 FAC .

21. 设椭圆 C:

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率与双曲线 x2-y2=1 的离心率互为倒数,且 P( 2,1) 在椭圆上. 2 a b

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若椭圆 C 左、右焦点分别为 F1,F2 ,过 F 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,求 ? F2 AB 面积的最大值.

22. (本题满分 12 分)椭圆 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,经过 P 1 ( 6,1), P 2 ( 3, 2) (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,定点 A(0, 3) ,若 AM ? AN ,求直线 l 的斜率 k 的 取值范围.

2014 级哈师大附中高二上学期期中考试 文科数学答案
一、 题号 答案 二、 13. 选择题 1 A 填空题 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D 11 C 12 D

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 2 2

14.8 或-18

15. 3

16.

3 2

三、解答题、 17. (本题满分 10 分)

a ? ? 3 ? ? a ? ?6 ? ? 2 ? x ? 3 y ? 6 ? 0 . ……………………5 分 (Ⅰ)设 A(a,0), B(0, b) ,则 ? b ?1 ? ? b ? 2 ? ? 2
(Ⅱ)

??? ? ??? ? AP ? (?3 ? a,1), PB ? (3, b ?1)
a ? ?9 ??? ? ??? ? ??3 ? a ? 6 ? ? AP ? 2 PB ? ? ?? 3 ? x ? 6y ? 9 ? 0 . b? ?1 ? 2 ? 2b ? ? 2

……………………10 分

18. (本题满分 12 分) (Ⅰ)曲线 y ? x ? 6x ? 5 与坐标轴的交点为 A(0,5), B(1,0), C (5,0) ,
2

设圆 C 的方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2 2

?25 ? 5 E ? F ? 0 ? D ? ?6 ? ? ? ? E ? 5 ? x2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 5 ? 0 ,即 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 则 ?1 ? D ? F ? 0 ?25 ? 5 D ? F ? 0 ? F ? ?6 ? ?
……………………8 分 (Ⅱ)由 CA ? CB, 得 ? ABC 为等腰直角三角形, AB ?

2r ,
……………………12 分

d?

a 2

?

2 13 ? a ? ? 13 2

19. (本题满分 12 ?

4( m2 ? 1) 分) m2 ? 2

? x2 2 ? ? y ?1 ? (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ?? ? 8(k 2 ? 1) ……………………5 分 ?2 ? y ? kx ? 1 ?

8(1 ? k 2 ) 2 2(k 2 ? 1) 8 2 ? k ? ? 3 ………………10 分 AB ? 1 ? k ? ? ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 7
2

? l : y ? ? 3( x ?1)
20.(本题满分 12 分) (Ⅰ)

…………………………………………12 分

PA ? AB

? ? ? AE ? PB E为PB中点?



? PA ? 平面ABCD ? PA ? BC ? ? ? BC ? 平面PAB ? 矩形ABCD中AB ? BC ? ? AE ? BC ? ? AE ? 平面PAB?
由①②得 AE ? 平面 PBC (Ⅱ)连 BD 交 AC 于点 O ,连 FO ,



…………………………………………6 分

? 矩形ABCD中O为BD中点? ? ? FO/ / DE ? F为BE中点 ? ? ? FO ? 平面FAC ? ? DE//平面FAC …………………12 分 DE ? 平面FAC ? ? ? ?
21. (本题满分 12 分)

c 2 b2 2 2 (Ⅰ)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为 e= = 1 ? 2 = ,解得 a ? 2b a 2 a
则椭圆 C 的方程为

x2 y2 x2 y 2 2 ? ? 1 ? ?1 b ? 2 , P ( 2 , 1 ) 代入得, ,所求椭圆 C 的方程为 2b 2 b 2 4 2
……………………4 分

(II) 过 F 1 的直线 l : my ? x ? 2 与 由韦达定理得, y1 ? y2 ?

x2 y 2 ? ? 1 联立得, (m2 ? 2) y2 ? 2 2my ? 2 ? 0 4 2
……………………6 分

?2 2 2 , y1 y2 ? 2 2 m ?2 m ?2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? m2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? m 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ?
设 F2 到直线 l 的距离 d ?

4(m2 ? 1) m2 ? 2

2 2 1 ? m2

……………………10 分

S?F 2 AB ?

1 4 2 2 | AB | d = = ? 2 2 (当且仅当 m ? 0 ) 1 2 2 1 ? m2 1? m ? 1 ? m2
……………………12 分

22. (本题满分 12 分) (Ⅰ)设椭圆 C: mx ? ny ? 1(m, n ? 0, m ? n)
2 2

P1( 6,1),P2(- 3,- 2)分别代入得

x2 y 2 ? ? 1. 9 3

……………………4 分

? x2 y 2 ?1 ? ? (Ⅱ) ? 9 ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6ktx ? 3(t 2 ? 3) ? 0 3 ? y ? kx ? t ?

……………………6 分

? ? 12(9k 2 ? 3 ? t 2 ) ? 0 ? t 2 ? 3(3k 2 ? 1)
x1 ? x2 ? ?6kt 3(t 2 ? 3) , x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
?3kt t , 2 ) 2 3k ? 1 3k ? 1

………… ①

MN 中点 B(

……………………10 分

由 AM ? AN ,得 k AB ? kMN ? ?1,得 t ? ? 由已知 k ? 0 得 k ? (?1,0) ? (0,1)

3 (3k 2 ? 1) ,代入①式得 ?1 ? k ? 1 , 2

………………………………………12 分


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