2014.04海淀高一下学期期中考试数学试题


海淀区高一年级第二学期期中练习 数学 一选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 1.若 1 和 a 的等差中项是 2,则 a 的值为 A. 4 B. 3 C. 1 2.计算 2cos 15? ? 1的结果为
2

2014.04 ( D. )

?4
( )

A.

?

3 2

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2
( )

3.在△ABC 中, a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,则 cos A 等于 A.

?

1 2

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2
( )

4.已知函数 f ( x) ? A.

3 1 sin x ? cos x 在 x0 处取得最大值,则 x0 可能是 2 2

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
S4 ? 3 ,则 a5 的值为 S2
( )

5.等比数列 ?an ? 的首项为 1,其前 n 项和为 Sn ,如果 A. 2 B. 2 或 ?2
2

C. 4

D. 4 或 ?4 ( )

6.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? A.

9 10

B.

10 11

1 ,其前 n 项和为 Sn ,则 S10 的值为 n ?n 11 12 C. D. 12 13

7.等差数列 ?an ? 满足 an ? N ? ,且前 10 项和 S10 ? 280 ,则 a9 最大值是 A. 28 B. 49 C. 50 D. 52 ( )





8.若在△ABC 中,有 sin

C ? cos A ,则△ABC 一定是 2

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.

D. 等腰三角形

9.在△ABC 中, AB ? 3 , AC ? 1 , ?A ? 30? ,则△ABC 的面积为 10.若角 ? 的终边经过点 P(?1, 2) ,则 tan ? ? , tan(? ?

. . ,

?
4

)?

11.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?9 ,且

S3 ? S1 ? 1 ,则 ?an ? 的公差是 3

Sn 的最小值为

.

12.已知在△ABC 中,有 CB CA ? 0 ,则下列说法中: ①△ABC 为钝角三角形; 正确说法的序号是
第 1 页 共 5 页

②c ? a ?b ;
2 2 2

③ cos A cos B ? sin A sinB .

.(填上所有正确说法的序号)

13.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 1, a3 ? 2 ,若 数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 = .

an a ? n?3 (n ? N ? , n ? 4) ,则 a5 = an?2 an?1



1 ? 2an , 0 ? an ? ? ? 2 14.已知 0 ? a1 ? 1,定义 an ?1 ? ? . 1 ?2a ? 1, a ? n n ? ? 2
(I)如果 a2 ? a3 ,则 a2 ? ; (II)如果 a1 ? a3 ,则 a1 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2x . (I)求 f ( ) 值;

?

4

(II)求 f ( x ) 的最小值正周期; (III)求 f ( x ) 的单调递增区间. 16. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? n ? (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (III)若 a1 , am , a3m 成等比数列,求 m 的值. 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 中, c ? 6 , ?C ?

1 . 2

?
2

,且 a cos B ? b sin A .

(I)求∠B 的值; (II)若点 E,P 分别在边 AB,BC 上,且 AE=4,AP⊥CE,求 AP 的长; 18. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且有 | an?1 |?| an ? 1| . (I)写出 a3 所有可能的值; (II)是否存在一个数列 ?an ? 满足:对于任意正整数 n ,都有 an?6 ? an 成立?若有,请写出这个数列的 前 6 项,若没有,说明理由; (III)求 | a1 ? a2 ?

? a10 | 的最小值.

第 2 页 共 5 页

海淀区高一年级第二学期期中练习


一、 选择题. 题号 答案 二、填空题. 9.
[来源:Z。xx。k.Com]


2014.4

参考答案及评分标准

1 B

2 D

3 A

4 C

5 C

6 B

7 B

8 D

3 4

10. ?2, ? 13. 4,

1 3

11. 1, ? 45

12. ①②③

527 1 1 1 2 3 0 1 (II)(0, ) ( , ) ( , ) 14.(I)或 16 4 3 2 3 4

说明:12 题如果填写两个选项给 2 分,只填一个选项不给分;其余两空题目都是每个空 2 分. 三、解答题 15.解: ( I ) f ( ) ? (

? 4

2 2 2 ? ? ) ? cos ? 2 2 2 2

…………………….2 分.

( II ) 因为 f ( x) ? sin2 x ? 2sin x cos x ? cos2 x ? cos2 x 所以 f ( x) ? 1 ? sin 2x ? cos2 x 所以 f ( x ) ? …………………….4 分 …………………….6 分

π 2sin(2x ? ) ? 1 4
2π |? | ?

所以 f ( x ) 的最小正周期为 T = (Ⅲ)令 2kπ ?

2π ? π …………………….8 分 2

[来源:学_科_网]

π π π ? 2x ? ? 2kπ ? 2 4 2

所以 kπ ?

3π π ? x ? kπ ? 8 8

(kπ ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为
16.解: ( I )解法一:设 {an } 的公差为 d ,

3π π , kπ ? ),k ? Z …………………….10 分 8 8 1 因为 an ? an ?1 ? n ? , 2

1 ? a1 ? a2 ? 1 ? ? 1 ? 2 所以有 ? ,两式相减得到, 2d ? 1 ,即 d ? 2 ? a 2 ? a3 ? 2 ? 1 ? ? 2
代入得到 a1 ? 所以 an ?
第 3 页 共 5 页

… ……………….2 分

1 2

………………….4 分 ………………….6 分

1 1 n +(n ? 1) ? ? 2 2 2

解法二:设 {an } 的公差为 d , 则 an ? a1 +(n ? 1) ? d ,

an?1 ? a1 +n ? d ,

………………….2 分

[来源:学科网]

(2n ? 1) ? d ? 2dn ? 2a1 ? d 所以 an ? an?1 ? 2a1 ?
所以有 2dn ? 2a1 ? d =n ?

1 对 n ? N* 成立, 2

? 1 d= ? 2d =1 ? ? 2 ? 所以有 ? 1 ,解得 ? 2a1 ? d = ? a1 = 1 ? ? 2 ? ? 2

………………….4 分

1 1 n +(n ? 1) ? ? 2 2 2 ( a ? an ) n, (II) 因为 S n ? 1 2
所以 an ?

………………….6 分 所以 Sn ?
2

( n ? 1)n 4

………………….9 分 ………………….10 分

(Ⅲ)因为 a1, am , a3m 成等比数列,所以 (am ) =a1a3m 即

m 2 1 3m ? ? 4 2 2
所以 m ? 3

………………….11 分 ………………….12 分 ………………….2 分 ………………….3 分 ………………….4 分 ………………….5 分

解得 m ? 3, m ? 0 (舍掉) 17. 解: ( I ) 由正弦定理

a b ? 得到 a sin B ? b sin A sin A sin B

所以有 a sin B ? a cos B 所以 sin B ? cos B ,即 tan B ? 1

(0,?) , 所以 ?B ? 因为 B ?
(II)在 ?ACE 中,根据余弦定理

π 4

CE 2 =AC 2 ? AE 2 ? 2 AC ? AEcos?CAE
得到 CE =(3 2) ? 4 ? 2 ? 3 2 ? 4 ? cos
2 2 2

………………….7 分

π 4
………………….8 分 ………………….9 分
[来源:学+科+网]

化简得 CE = 10 在 ?ACE 中,

sin ?ACE sin ?CAE ? AE CE

化简得到 sin ?ACE =

2 5 5

………………….10 分

因为 ?ACE ? ?CAP ?

π 2 5 ,所以 cos ?CAP ? sin ?ACE ? 2 5

第 4 页 共 5 页

所以在 Rt?ACP 中, cos ?CAP ?

AC 2 5 = AP 5

[来源:学科网]

代入得到 AP ? 18 解: (I) a3 可能取的值 (II) 存在

3 10 2
3, ? 3,1, ?1

……………….12 分

………………….2 分 ………………….3 分

1, ? 2 (或者取 1,2, ? 3, ?2, ? 1, 0) 这个数列的前 6 项可以为 1, ? 2,1, ?2,
………………….5 分 (Ⅲ) | a1 ? a2 ? ... ? a10 | 的最小值为 1 ………………….6 分

解法一:因为 a1 ? 1,| an?1 |?| an ? 1| ,所以 an ? Z ,且所有的奇数项都为奇数,偶数项为偶数 因此 a1, a2 ,..., a10 中一定有 5 个奇数,5 个偶数, 所以 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | 一定是奇数,所以 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |? 1

1, ? 2, 1, ? 2, 1, 2 (或者为 令这 10 项分别为 1, ? 2,1, ?2, 1,2, ?3, ?2, ? 1, 0, 1,, 2 3, ? 4 ,或者为 1,, 2 3, ? 4, ?3, ?2, ? 1, 0, 1, 2)
则有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | =1 ………………….10 分

解法二:因为 a1 ? 1,| an?1 |?| an ? 1| , 所以 an ? Z ,且所有的奇数项都为奇数,偶数项为偶数 又因为 (an?1 ) ? (an ? 1)
2 2 2 2

所以 (an?1 ) ? (an ) ? 1 ? 2an
2 2

所以有 a11 ? a10 ? 1 ? 2a10

a102 ? a92 ? 1 ? 2a9
......

a32 ? a22 ? 1 ? 2a2 a22 ? a12 ? 1 ? 2a1
把上面的 10 个式子相加,得到 a11 ? a1 ? 10 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? a10 )
2 2

所以有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |?

1 | a112 ? 11| 2 1 | 9 ? 11|=1 2

因为离 11 最近的奇数的平方是 9, 所以有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |?

1, ? 2, 1, ? 2, 1, 2 (或者为 令这 10 项分别为 1, ? 2,1, ?2, 1,2, ?3, ?2, ? 1, 0, 1,, 2 3, ? 4 ,或者为 1,, 2 3, ? 4, ?3, ?2, ? 1, 0, 1, 2)
则有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | =1
第 5 页 共 5 页

………………….10 分


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