襄阳高中数学2011年4月高三调研测试理科数学答案


20 11 年 4 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 高三数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题 A 卷:DBBCA 选择题 B 卷:ACBCB 二.填空题:11.2 三.解答题: 16.(1)解: f ( x) ? 2(
2 2 ? sin x ? cos x) ? 2 sin( x ? ) 2 2 4

CACCB BABCC

12.

1 3

13.

10 2

14. 5 2

15.③④

2分 4分 6分

∴ 函数的最小正周期为 2? ,值域为 { y | ? 2 ≤ y ≤ 2} . (2)解:依题意得: 2sin(? ? ∵

?
2

)?

3? ? ? ,∴ 0 ? ? ? ? 4 4 4 2 ? ? 4 ∴ cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 4 4 5 ?? ?
f(

?

6 ? 3 , sin(? ? ) ? 5 4 5

8分

?
4

? ? ) ? 2sin ? ? 2sin[(? ?

?
4

)?

?
4

]

? 2[sin(? ?

?
4

) cos

?
4

? cos(? ?

?
4

) sin

?
4

]

10 分 12 分 2分 4分 5分
P(? ? 4) ? C C ?C 13 ? C 45
1 2 1 5 2 10 2 3

3 2 4 2 7 2 ? 2( ? ? ? )? . 5 2 5 2 5

17.(1)解:由已知有 又 m ? n ? 8 , m ? n ,∴

1 1 1 Cm ? Cn mn ? ? ,∴ mn ? 15 , 2 3 45 C10

?m ? 3 ?n ? 5 ?

(2)解: ? 的可能取值为 2,3,4,5,6
P(? ? 2) ? P(? ? 5) ? C 1 ? C 45
1 1 C3 C5 1 ? 2 C10 3 2 2 2 10

P(? ? 3) ? P(? ? 6) ?

C ?C 2 ? 2 C10 15
1 2 1 3

C52 2 ? 2 C10 9

10 分 4 13 45 5 1 3 6 2 9

? 的分布列为

?

P

2 1 45

3 2 15

高三数学(理科)第 1 页 (共 5 页)

? 的数学期望为: E? ? 2 ?

1 2 13 1 2 23 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6? ? ? 4.6 45 15 45 3 9 5

12 分

18.(1)证明:在 ?ABC 中, AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC
? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos 45? ? 2

2分 4分 6分 Q P

∴ AC ? BC ? AB , AB ? AC ,又 AB∥CD,∴ CD⊥ AC
2 2 2

由 PA ? 平面 ABCDE 得:PA⊥ CD,∴ CD⊥ 平面 PAC , ∴ 平面 PCD⊥ 平面 PAC (2)解法一:由(1)知,△ PAC 是等腰直角三角形 取 PC 中点 F,连结 AF,则 AF⊥ PC 又 CD⊥ 平面 PAC ,∴ CD⊥ AF 故 AF⊥ 平面 PCD 过 P 作 PQ∥AB 且 PQ = AB, ∵ AB∥CD,∴ PQ∥CD,因此点 Q 在平面 PCD 内 连结 AQ,则 AQ∥PB ∴ PB 与平面 PCD 所成角等于 AQ 与平面 PCD 所成角 连结 QF,则∠ AQF 就是 AQ 与平面 PCD 所成角 在△ PAB 中, PB ? PA2 ? AB2 ? 2 ∴ AQ = PB = 2 在△ PAC 中,AF = 1,∴ sin ?AQF ?
AF 1 ? AQ 2

8分 A 10 分 F E D B C

∴ AQ 与平面 PCD 所成角为 30° ,即 PB 与平面 PCD 所成角为 30° . 解法二:设点 B 到平面 PCD 的距离为 d,PB 与平面 PCD 所成角为 ? 在三棱锥 B-PCD 中, PC ? PA2 ? AC 2 ? 2 在直角梯形 ACDE 中, ?EAC ? ?ACB ? 45? ,∴ CD ? AE ? cos ?EAC ?
S?PCD ? 2 , 2

12 分

1 1 2 2 CD ? PC ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 1 1 2 1 ? sin135? ? 在三棱锥 P ? BCD 中, S?BCD ? BC ? CD ? sin ?BCD ? ? 2 ? 2 2 2 2 1 1 由 VB ? PCD ? VP ? BCD 得; S?PCD ? d ? S?BCD ? PA ,解得:d = 1 3 3 d 1 ∴ sin ? ? ? , ? ? 30? PB 2 即 PB 与平面 PCD 所成角为 30 ? .

8分

10 分

12 分

???? ???? ? ???? 解法三:以 AB 、AC 、 AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,则
高三数学(理科)第 2 页 (共 5 页)

P(0,0, 2 ),B( 2 ,0,0),C(0, 2 ,0) 在直角梯形 ACDE 中, ?EAC ? ?ACB ? 45? ,∴ CD ? AE ? cos ?EAC ? ∴ D( ?
2 , 2 ,0) 2
2 , 0, 0) 2 2 2

8分

???? ???? ? ???? PB ? ( 2 , 0, ? 2 ),PC ? (0, 2 , ? 2 ), CD ? (?

设 n = (x,y,z)为平面 PCD 的一个法向量,则
?( x,y,z ) ? (0, 2 , ? 2 y ? 2z ? 0 ? 2) ? 0 ? ? ,即 ? ? 2 2 y ,z ) ? (? , 0, 0) ? 0 x?0 ?( x, ?? ? 2 ? 2 ? ?x ? 0 ?y ? z ?

10 分

不妨取 n = (0,1,1),则
| ( 2, 0, ? 2 ) | ? | (0,, 1 1) | ??? ? ∴ PB 与 n 的夹角为 120° ???? cos ? PB , n ?? ( 2, 0, ? 2 ) ? (0,, 1 1) ?? 1 2

故 PB 与平面 PCD 所成角为 120° -90°= 30 ?

12 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 1 1 则 2a ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ? 4 ,得 a ? 2 , b ? 1 4 4 x2 ∴ 椭圆方程为 ? y2 ? 1. 4
19.(1)解:由题意,设椭圆方程为 (2)解:当直线 MN⊥ x 轴时,直线 MN 的方程为 x ? ?

4分

6 x2 ,代入椭圆方程 ? y2 ? 1得 5 4

y??

4 6 4 6 4 ,∴ M (? , ? ), N (? , ) 5 5 5 5 5

4 4 设直线 MN 与 x 轴交于点 P,且 A(-2,0);得 AP ? , PN ? 5 5
∴ ?NAP ?

?

4

,得 ?MAN ?

?

2

∴ 若 ?MAN 的大小为定值,则必为

?
2



6分

下面判断当直线 MN 的斜率存在且不为 0 时 ?MAN 的大小是否为定值

?
2

6 设直线 MN 的方程为: x ? ky ? , 5
6 ? x ? ky ? ? 12 64 ? 5 联立直线 MN 和曲线 C 的方程可得: ? 2 得: (k 2 ? 4) y 2 ? ky ? ? 0, 5 25 ? x ? y2 ? 1 ? ?4
高三数学(理科)第 3 页 (共 5 页)

8分

12k 64 , y1 y2 ? ? 2 5(k ? 4) 25( k 2 ? 4) ???? ? ???? 4 16 则 AM ? AN ? ( x1 ? 2,y1 )( x2 ? 2,y2 ) ? (k 2 ? 1) y1 y2 ? k ( y1 ? y2 ) ? ?0 5 25

设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x2 ,y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

10 分

∴ ?MAN ?

?

2

∴ ?MAN 的大小为定值 20.(1)解:∵ Sn ?

?
2

. ①

12 分

n(a1 ? an ) ,∴ 2Sn ? n(a1 ? an ) 2 当 n≥ 2 时, 2Sn?1 ? (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ②
进而 a1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan ④

①-②得: 2an ? a1 ? nan ? (n ? 1)an ?1 ,即 a1 ? (n ? 2)an ? (n ? 1)an ?1



③-④得 2(n ? 1)an ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ,由于 n≥ 2,∴ an ?1 ? an ? an ? an ?1 所以数列 {an } 是等差数列.
a2 ? 2 ,所以 an ? n (2)解:由(1)知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? 1, n ∵ b1 ? 3b2 ? 32 b3 ? ? ? 3n?1 bn ? ⑤ 3 1 n ?1 ∴ 当 n = 1 时, b1 ? ,当 n≥ 2 时, b1 ? 3b2 ? 32 b3 ? ? ? 3n?2 bn?1 ? ⑥ 3 3 1 1 1 由⑤-⑥得: 3n?1 bn ? ,∴ bn ? n ,而 b1 ? 也符合, 3 3 3 1 故 an ? n , bn ? n , n ? N? 3

4分

7分

(3)解:

an ? n ? 3n ,∴ Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n bn



3Tn ? 1 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? n ? 3n?1

⑧ 10 分

⑦-⑧并化简得: Tn ? 所以

3[(2n ? 1)3n ? 1] 4

4 Tn ? (2n ? 1)3n ? 1 3

4 Tn ? (2n2 ? 3n ? 2) ? 2n?1 ? (2n ? 1)[3n ? (n ? 2)2n?1 ] ? 1 3 1 n ?1 2 ? ?≥ 2n ? n ? 2n?1 ? (n ? 2)2n?1 因为 3n ? (2 ? 1)n ? 2n ? Cn
所以 3n ≥ (n ? 2)2n?1 对于 n ? N? 成立, ∴ 3n ? (n ? 2)2n?1 ≥ 0 ,又由于 2n-1 >. 0 4 所以 Tn ? (2n2 ? 3n ? 2) ? 2n?1 ? (2n ? 1)[3n ? (n ? 2)2n?1 ] ? 1 ? 0 3

高三数学(理科)第 4 页 (共 5 页)

所以

4 Tn ? (2n2 ? 3n ? 2) ? 2n?1 . 3

13 分

21.(1)解:由题意: g ?( x) ? ? +∞ )上恒成立

1 1 x sin ? ? 1 ? ≥ 0 在[1,+∞ )上恒成立,即 2 ≥ 0 在[1, x2 sin ? x x sin ?
2分

? ) ,∴ sin ? ? 0 ,故 x sin ? ? 1 ≥ 0 在[1,+∞ )上恒成立, ∵ ? ? (0,
只需 1 ? sin ? ? 1 ≥ 0 ,即 sin ? ≥ 1 ,只有 sin ? ? 1

? ) ,∴ ? ? 又 ? ? (0,

?
2



4分

m ? 2 ln x x m 2 mx2 ? 2x ? m ( f ( x) ? g ( x))? ? m ? 2 ? ? x x x2 ∵ f (x)-g (x)在其定义域内为单调函数,
(2)解: f ( x) ? g ( x) ? mx ? ∴ mx2-2x + m≥ 0 或 mx2-2x + m≤ 0 在[1,+∞ )上恒成立, 2x 2x 即 m≥ 或 m≤ 在[1,+∞ )上恒成立,故 m≥ 1 或 m≤ 0, 2 1? x 1 ? x2 综上,m 的取值范围是(-∞ ,0]∪ [1,+∞ ) (3)解:构造函数 F(x) = f (x)-g (x)-h (x),则 F ( x) ? mx ?

8分

m 2e ? 2 ln x ? x x

m 2e ≤ 0, ? 2 ln x ? ?0, x x ∴ 在[1,e]上不存在一个 x0,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) .
当 m≤ 0 时,由 x∈ [1,e]得: mx ?

10 分

m 2 2e mx ? 2 x ? m ? 2e ? ? ? x 2 x x2 x2 ∵ x∈ [1,e],∴ 所以 2e-2x≥ 0,mx2 + m > 0
当 m > 0 时, F ?( x) ? m ?
2

∴ F ?( x) ? 0 在[1,e]上恒成立,故 F(x)在[1,e]上单调递增, m m 4e ∴ F ( x)max ? F (e) ? me ? ? 4 ,只要 me ? ? 4 ? 0 ,解得: m ? 2 e e e ?1 4e 故 m 的取值范围是 ( 2 , ? ?) e ?1 另:∵ x∈ [1,e],∴ f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? mx ?

12 分

14 分

m 2e 2e ? 2x ln x ? 2 ln x ? ?0 ? m? x x x2 ? 1 (?2 x 2 ? 2) ln x ? (2 x 2 ? 4ex ? 2) 2e ? 2 x ln x ? F ( x ) ? ?0 令 F ( x) ? , ( x 2 ? 1)2 x2 ? 1 4e ∴ F(x)在[1,e]上单调递减,故 F ( x)min ? 2 e ?1 4e ∴ m? 2 . 14 分 e ?1
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